Die Schönheit der Fraktale und der Selbstähnlichkeit

Fraktale

Fraktale werden aus nichtlinearen Gleichungen generiert und entstehen durch Rekursion. In der fraktalen Geometrie untersucht man, ob für individuelle Punkte der Gaußebene, eine nichtlineare rekursive Gleichung gegen einen Grenzwert oder gegen unendlich konvergiert (=sich diesem Wert kontinuierlich annähert, ihn aber nie erreicht) oder ob sie divergiert (=zwischen mehreren Werten hin und her springt, also keinen Grenzwert besitzt).

\({z_{n + 1}} = {z_n}^2 + c\)

Zwei besonders bekannte Beispiele für Fraktale sind die Mandelbrot-Menge und die Julia-Menge die auf der gleichen quadratischen Gleichung basieren.

Selbstähnlichkeit

Viele, aber nicht alle, Fraktale zeichnen sich durch Selbstähnlichkeit aus. Man bezeichnet ein Fraktal als selbstähnlich, wenn bei unendlicher Vergrößerung, also beim "hineinzoomen" in das Fraktal, immer wieder die ursprüngliche Struktur, also jene aus dem unvergrößerten Zustand, auftaucht. Sowohl die Mandelbrot-Menge als auch die Julia-Menge sind selbstähnlich. 

Julia Menge

Die Darstellung der Julia Menge ist ein Beispiel für ein Fraktal, welches durch Rekursion aus einer nichtlinearen Gleichungen generiert wird. Nicht zusammenhängende Julia Mengen werden Cantor Mengen genannt, zusammenhängende Julia Mengen werden Mandelbrot Mengen genannt.

\({z_{n + 1}} = {z_n}^2 + c\)

Bild

Indem man z₀ variiert, kann man herausfinden, welche komplexen Startwerte z_o , für ein gewähltes konstantes c , zur Julia Menge gehören und welche nicht. Die Julia-Menge ist also die Menge aller komplexer Startwerte z₀, für welche die Folge z_n für ein gewähltes konstantes c stets beschränkt bleibt, also konvergiert, d.h. sich immer mehr einem Grenzwert annähert.

Die Julia-Menge kann eine Staubwolke aus unendlich vielen Punkten sein, dann ist sie eine sogenannte Cantor-Menge, oder sie ist zusammenhängend, also verbunden, dann nennt man sie Mandelbrot Menge und stellt sie als Apfelmännchen-Fraktal dar. Für diese Unterscheidung muss man für das gewählte c nur einen einzigen Punkt untersuchen: Und zwar z₀=0. Divergiert dieser Punkt in Richtung unendlich, so ist die Julia-Menge nicht zusammenhängend.

In der grafischen Darstellung hat die Julia Menge Im Unterschied zur Mandelbrot-Menge, unterschiedliche Aussehen, abhängig wie man c am Beginn festgelegt hat. D.h. für jedes c gibt es eine eigene Julia-Menge. Viele Julia-Mengen entsprechen der leeren Menge! Eine Julia-Menge ist genau dann nicht leer, wenn der Punkt c in der Mandelbrot-Menge liegt.

Mandelbrot Menge

Die Mandelbrot Menge ist jene Untermenge der Julia Menge, die aus zusammenhängenden Punkten besteht. Die Darstellung der Mandelbrot Menge ist ein Beispiel für ein Fraktal, welches durch Rekursion aus einer nichtlinearen Gleichungen generiert wird.

\({z_{n + 1}} = {z_n}^2 + c\)

Bild

Indem man c variiert, kann man herausfinden, welche Punkte c der gaußschen Ebene zur Mandelbrot-Menge gehören und welche nicht. Zur Mandelbrot Menge gehören jene c, für die die komplexe Folge beschränkt bleibt, also konvergiert, d.h. sich immer mehr einem Grenzwert annähert.

In der grafischen Darstellung als „Apfelmännchen-Fraktal“ werden die Elemente der Mandelbrot-Menge rot dargestellt. Alle anderen Punkte c, deren Zahlenfolge vor dem Erreichen der Iterationsgrenze divergieren, erhalten oft eine Farbe, die davon abhängt, nach wie vielen Iterationsschritten n die Divergenz festgestellt werden konnte, im obigen Bild sind diese Punkte aber alle weiß dargestellt..