Mengen

Menge

Die Mengenlehre beschäftigt sich mit Mengen M, die eine die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten {x₁, x₂, …, x_n} aus der Grundmenge G sind.

• Eindeutigkeit der Elemente: Für jedes Objekt muss man eindeutig entscheiden können, ob es zur Menge M gehört, dann nennt man es Element der Menge, oder ob es kein Teil der Menge ist. Eine Menge ist also durch ihre Elemente vollständig beschrieben.
• Unabhängigkeit der Repräsentation: Jedes Element kann nur einmal in der Menge enthalten sein. Das mehrfache Anschreiben von ein und demselben Element einer Menge ist daher nicht sinnvoll. {1,1,2,2,3,3}={1,2,3}. Es ist egal, in welcher Reihenfolge die Elemente aufgezählt werden. Wenn es hingegen auf die Aufzählreihenfolge ankommt, dann spricht man von einem Tupel, nicht von einer Menge.
• Zur Beschreibung von Mengen wird häufig der Ausdruck " für die gilt" - dargestellt durch einen Längsstrich "|" verwendet. Für alle Elemente der Menge gilt dann der nachfolgende Term. z.b.: x<7
• Gleichheit von Mengen: Mengen sind gleich, wenn sie die unabhängig von der Reihenfolge oder Darstellung die selben Elemente enthalten. 
• Verknüpfung von Mengen: Zwei Mengen A und B können durch Mengenoperationen mit einander verknüpft werden.
• Beziehungen zwischen Mengen: Zwei Mengen A und B können in unterschiedlichen Relationen zu einander stehen.

Mathematisch schreibt man eine Menge in geschweiften Klammern "{}" auf und listet die Elemente der Menge innerhalb dieser Klammern auf.

\(\eqalign{ & {M_1} = \left\{ {x \in N|x < 7} \right\} \cr & {M_2} = \left\{ {1,2,3,4,5,6} \right\} \cr & {M_3} = \left\{ {} \right\} \cr & {M_4} = \left\{ {{\text{Karl}}{\text{, Kurt}}{\text{, Sophie}}} \right\} \cr} \)

Schreibweise für Mengen in der Mengenlehre:

• aufzählende Darstellung. \(M = \left\{ {3,4,5,...\infty } \right\}\)
  Man verwendet geschwungene Klammern und separiert die einzelnen Elemente durch Beistriche. Die Reihenfolge in der die Elemente angeschrieben werden spielt keine Rolle. {1,2,3}={3,1,2}}={2,3,1}.
• beschreibende Darstellung: \(M = \left\{ {x\left| {x \geqslant 3} \right.} \right\}\)
  Man verwendet geschwungene Klammern. Dazwischen steht dann eine mathematische Formulierung vom Typ: "Variable für die gilt" + "mathematischer Term".

Grundmenge

Die Grundmenge G setzt sich aus allen, in einem konkreten mathematischen Zusammenhang betrachteten Objekten zusammen. Ihr Symbol sieht wie folgt aus: \(G\)

Element einer Menge

Um anzugeben ob ein Objekt zu einer Menge gehört verwendet man das "Element von" Symbol ∈

• x ist Element der Menge M: \(x \in M\)

Nicht Element einer Menge

Um anzugeben, dass ein Objekt nicht zu einer Menge gehört, verwendet man das "kein Element von" Symbol ∉

• x ist kein Element der Menge M: \(x \notin M\)

Mächtigkeit oder die Kardinalität einer Menge

Die Mächtigkeit oder die Kardinalität einer endlichen Menge, ist gleich der (abzählbaren) Anzahl n ihrer Elemente. Null ist die Kardinalität der leeren Menge

\(\eqalign{
& \left| M \right| = n \cr
& \cr
& M = \left\{ {} \right\} \cr
& \left| M \right| = 0 \cr} \)

Beispiel:

\(\eqalign{ & M = \left\{ {a,b,c,d,e} \right\} \cr & \left| M \right| = 5 \cr} \)

Leere Menge

Die leere Menge enthält kein Element, also auch nicht die „Null“. Die leere Menge ist Teilmenge von jeder Menge. Die leere Menge hat wiederum die leere Menge als einzige Teilmenge.

\(M = \left\{ {} \right\}\)

Endliche Menge

Eine endliche Menge enthält endlich viele Elemente.

Genauer: Eine nichtleere Menge M heißt endlich, wenn es eine natürliche Zahl n gibt, und nachfolgende bijektive Abbildung gilt.

\(\eqalign{ & f:M \to \left\{ {1,2,3,...,n} \right\} \cr & n = \left| M \right| \cr}\)

Unendliche Menge

Eine unendliche Menge enthält unendlich viele Elemente.

Genauer: Eine nichtleere Menge M heißt unendlich, wenn es eine natürliche Zahl n gibt, und nachfolgende bijektive Abbildung gilt.

\(\eqalign{ & f:M \to \left\{ {1,2,3,...,\infty } \right\} \cr & \infty = \left| M \right| \cr}\)

Beziehungen zwischen Mengen

Zwei Mengen A und B können in unterschiedlichen Relationen zu einander stehen.

• Gleiche Mengen: Die Mengen enthalten die selben Elemente
• Gleichmächtige Mengen: Es gibt eine bijektive (umkehrbare) Abbildung zwischen den Elementen der beiden Mengen
• (echte) Teilmenge: Jedes Element der einen Menge ist auch in der anderen Menge enthalten, wodurch diese zur Obermenge wird.
• Disjunkte Mengen: Die beiden Mengen besitzen kein gemeinsames Element.

Gleiche Mengen

Zwei Mengen A, B heißen gleich (A=B), wenn beide dieselben Elemente besitzen, wobei es auf die Reihenfolge der Elemente nicht ankommt. Sprich: „Menge A gleich der Menge B, sodass für alle x gilt: Wenn x Element von A, dann muss x auch Element von B sein und umgekehrt.“

\(A = B \Leftrightarrow \forall x:x \in A \Leftrightarrow x \in B;\)

Gleichmächtige Mengen

Endliche Mengen sind gleichmächtig, wenn sie eine idente Anzahl an Elementen haben, sodass man diese 1:1 einander zuordnen kann.

\(A \sim B\)

Teilmenge

Eine Menge A heißt Teilmenge von der Menge B , wenn jedes Element von A auch Element von B ist. Die Menge B kann zusätzliche Elemente gegenüber der Menge A haben, muss aber nicht unbedingt mehr Elemente haben. Weniger Elemente als A kann B freilich nicht haben.

\(\left( {A \subseteq B} \right)\)

Echte Teilmenge

Eine Menge A heißt echte Teilmenge von der Menge B, wenn A eine Teilmenge von B ist und die beiden Mengen ungleich sind, d.h. die Menge B muss auf jeden Fall zusätzliche Elemente enthalten, die nicht in A sind.

\(\left( {A \subset B} \right)\)

Potenzmenge

Die Potenzmenge P(A) ist jene Menge, die alle Teilmengen von A umfasst.

\(P\left( A \right) = \left\{ {M\left| {M \subseteq A} \right.} \right\}\)

Beispiel:

\(\eqalign{ & A = \left\{ {1,2} \right\} \cr & P\left( A \right) = \left\{ {\left\{ {} \right\},\left\{ 1 \right\},\left\{ 2 \right\},\left\{ {1,2} \right\}} \right\} \cr} \)

Disjunkte Mengen

Die disjunkten Mengen A und B besitzen kein gemeinsames Element. Der Durchschnitt / die Schnittmenge von A und B ist die leere Menge.

\(A \cap B = \emptyset\)

Verknüpfungen zwischen Mengen

Zwei Mengen A und B können durch Mengenoperationen mit einenander verknüpft werden.

• Vereinigungsmenge: Die Menge all jener Elemente die zur einen oder zur anderen oder zu beiden Mengen gehören
• Schnittmenge: Die Menge aller Elemente, die zu beiden Mengen gehören
• Differenzmenge: Die Menge aller Elemente, die zwar zur einen, nicht aber zur anderen Menge gehören
• Symmetrische Differenzmenge: Die Menge aller Elemente, die ausschließlich in einer der beiden Mengen, nicht aber in beiden Mengen, enthalten sind
• Komplementärmenge: Die Elemente die zwar der Obermenge, nicht aber der darin enthaltenen Teilmenge angehören
• Produktmenge bzw. Kartesisches Produkt: Die Menge der geordneten Paare, wobei die 1. Komponente aus der Menge A und die 2. Komponente aus der Menge B stammt.

Vereinigungsmenge

Die Vereinigungsmenge umfasst jene Elemente, die zur Menge A oder zur Menge B gehören. Die Vereinigung der Mengen A und B, das sind alle jene x aus der Grundmenge, für die gilt: x ist Element von A oder x ist Element von B .

\(A \cup B: = \left\{ {x \in G\left| {x \in A \vee x \in B} \right.} \right\}\)
Sprich: " Die Vereinigungsmenge ist die Menge aller Elemente x aus einer gegebenen Grundmenge, für die gilt, dass x entweder ein Element der Menge A ist oder ein Element der Menge B ist."

Beispiel:
\(\eqalign{ & A = \left\{ {1,2,3} \right\} \cr & B = \left\{ {2,3,4} \right\} \cr & A \cup B = \left\{ {1,2,3,4} \right\} \cr} \)

Schnittmenge

Die Schnittmenge umfasst jene Elemente die zur Menge A und zur Menge B gehören. Der Durchschnitt der Mengen A und B, das sind alle jene x aus der Grundmenge, für die gilt: x ist Element von A und x ist auch Element von B.

\(A \cap B: = \left\{ {x \in G\left| {x \in A \wedge x \in B} \right.} \right\}\)
Sprich: "Die Schnittmenge ist die Menge aller Elemente x aus einer gegebenen Grundmenge, für die gilt, dass x ein Element der Menge A und ein Element der Menge B ist."

Beispiel:
\(\eqalign{ & A = \left\{ {1,2,3} \right\} \cr & B = \left\{ {2,3,4} \right\} \cr & A \cap B = \left\{ {2,3} \right\} \cr} \)

Differenzmenge

Die Differenzmenge umfasst jene Elemente die zur Menge A aber nicht zur Menge B gehören. Der Differenz der Mengen A und B, das sind alle jene x aus der Grundmenge für die gilt: x ist Element von A und x ist kein Element von B.

\(A\backslash B: = \left\{ {x \in G\left| {x \in A \wedge x \notin B} \right.} \right\}\)
Sprich: "Die Differenzmenge ist die Menge aller Elemente x aus einer gegebenen Grundmenge, für die gilt, dass x ein Element der Menge A, aber kein Element der Menge B ist."

Beispiel:

\(\eqalign{ & A = \left\{ {1,2,3} \right\} \cr & B = \left\{ {2,3,4} \right\} \cr & A{\text{\ }}B = \left\{ 1 \right\} \cr} \)

Symmetrische Differenzmenge

Die symmetriesche Differenzmenge umfasst jene Elemente, die ausschließlich in einer der beiden Mengen, nicht aber in beiden Mengen, enthalten sind.

\(A\Delta B = \left\{ {\left( {x \in A \wedge x \notin B} \right) \vee \left( {x \notin A \wedge x \in B} \right)} \right\}: = \left( {A\backslash B} \right) \cup \left( {B\backslash A} \right)\)
Sprich: "Die symmetrische Differenzmenge A Delta B enthält alle Elemente x, die Element der Menge A nicht aber der Menge B sind, sowie alle Elemente x die Element der Menge B nicht aber Element der Menge A sind". Oder anders formuliert: Die symmetrische Differenzmenge enthält die Menge aller Elemente, die ausschließlich in einer der beiden Mengen, nicht aber in beiden Mengen, enthalten sind.

Beispiel:
\(\eqalign{ & A = \left\{ {1,2,3} \right\} \cr & B = \left\{ {2,3,4} \right\} \cr & A\Delta B = \left\{ {1,4} \right\} \cr} \)

Komplementäre Menge

Die komplementäre Menge A Querstrich enthält all jene Elemente von der Grundmenge G, die nicht in der Menge A enthalten sind. Die komplementäre Menge von A ist die Grundmenge, ohne den Elementen der Menge A.

\(\mathop A\limits^ - : = \left\{ {x \in B\left| {x \notin A} \right.} \right\} = B\backslash A\)
Sprich: "Die komplementäre Menge von A ist die Menge aller Elemente x, die Element von der Menge B sind, für die gilt, dass x kein Element von der Menge A ist"

Beispiel:
Die Grundmenge sei \({{\Bbb N}_0}\)
\(\eqalign{ & {{\Bbb N}_0} \cr & A = \left\{ {x \in {{\Bbb N}_0}\left| {{\text{x ist gerade}}} \right.} \right\} \cr & \overline A = \left\{ {x \in {{\Bbb N}_0}\left| {{\text{x ist ungerade}}} \right.} \right\} \cr} \)

Produktmenge

Die Produktmenge bzw. das kartesische Produkt "A kreuz B" ist die Menge der geordneten Paare, wobei die erste Komponente aus der Menge A und die zweite Komponente aus der Menge B stammt.

\(A \times B = \left\{ {\left( {a,b} \right)\left| {a \in A \wedge b \in B} \right.} \right\}\)
Sprich: "A Kreuz B ist die Menge aller geordneten Paare für die gilt dass a Element von der Menge A und b Element von der Menge B ist."

Beispiel:
\(\eqalign{ & A = \left\{ {1,2,3} \right\} \cr & B = \left\{ {s,t} \right\} \cr & A \times B = \left\{ {\left( {1,s} \right),\left( {1,t} \right),\left( {2,s} \right),\left( {2,t} \right),\left( {3,s} \right),\left( {3,t} \right)} \right\} \cr} \)

Ereignisse in Mengenschreibweise

• \(E \in \left( {A \cap B} \right)\): Schnittmenge von A und B
  • Das Ereignis E muss der Menge A und B angehören
• \(E \in \left( {A \cup B} \right)\):  Vereinigungsmenge von A und B
  • Das Ereignis E muss der Menge A oder der Menge B oder beiden Mengen angehören
• \(E \in \overline A \): nicht A
  • Das Ereignis E gehört nicht der Menge A an
• \(E \in \left( {A\backslash B} \right)\): A ohne B
  • Das Ereignis E muss der Menge A angehören, darf aber nicht auch der Menge B angehören

Mengenalgebra

Die Mengenalgebra beschäftigt sich mit den Rechenregeln, die für die Schnitt- bzw. Vereinigungsmenge zweier gegebener Mengen A und B gelten.

Standard Zahlenmengen

Eine Standard Zahlenmenge umfasst alle Zahlen, die bei bestimmten Arten von Rechnungen gebräuchlich sind. Die einzelnen Mengen bauen auf einander auf, wobei jede Zahlenmenge in der darauf aufbauenden Zahlenmenge vollkommen enthalten ist. Alle Zahlen gehören einer oder mehreren der nachfolgenden Standard Zahlenmengen an.

\({\Bbb N} \subset {\Bbb Z} \subset {\Bbb Q} \subset {\Bbb R} \subset {\Bbb C}\)

• Natürliche Zahlen: Null, sowie alle positiven ganzen Zahlen
• Ganze Zahlen: Alle positiven und negativen ganzen Zahlen
• Rationale Zahlen: Alle positiven und negativen Kommazahlen, die grundsätzlich als Bruch mit ganzen Zahlen im Zähler und im Nenner dargestellt werden können
• Irrationale Zahlen: Alle positiven und negativen Kommazahlen, die grundsätzlich nicht als Bruch mit ganzen Zahlen im Zähler und im Nenner dargestellt werden können
• Reelle Zahlen: Die Summe aus den rationalen und irrationalen Zahlen. Bilden den Realteil der komplexen Zahlen.
• Imaginäre Zahlen: Eine komplexe Zahl, deren Realteil null ist, zugleich eine komplexe Zahl, deren Quadrat eine nicht positive reelle Zahl ist. Bilden den Imaginärteil einer komplexen Zahl.
• Komplexe Zahlen: Zahlenpaare, die sich aus einem Real- und einem Imaginärteil zusammensetzen und die nicht mehr nur am Gaußschen Zahlenstrahl sondern in der Gaußschen Ebene liegen.

Bild

Menge der natürlichen Zahlen

Die Menge der natürlichen Zahlen, ist die Menge der nicht negativen ganzen Zahlen, bzw. die Menge aller positiven ganzen Zahlen, zu denen auch Null zählt.

Null ist die kleinste natürliche Zahl. Man kann keine größte natürliche Zahl benennen, weil es - am positiven Zahlenstrahl - unendlich viele natürliche Zahlen mit 1 als Abstand gibt.

\({\Bbb N} = \left\{ {0,1,2,3,4...\infty } \right\} \)

Beispiele:

\(\eqalign{ & 0,\mathop 9\limits^ \bullet = 1 \in {\Bbb N} \cr & \dfrac{9}{3} = 3 \in {\Bbb N} \cr} \)

Menge der natürlichen Zahlen ohne Null

Die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null, ist die Menge aller positiven ganzzahligen Zahlen. Man schreibt ein kleines hochgestelltes "+" hinter dem "N".

\({{\Bbb N}^+} = \left\{ {1,2,3,4...\infty } \right\}\)

Menge der geraden natürlichen Zahlen

Die Menge der geraden natürlichen Zahlen ist die Menge der geraden nicht negativen ganzen Zahlen, zu denen auch Null zählt, weil die geraden Zahlen durch 2 stets ohne Rest teilbar sind.

\({{\Bbb N}_g} = \left\{ {0,2,4,6..\infty } \right\}\)

Menge der ungeraden natürlichen Zahlen

Die Menge der ungeraden natürlichen Zahlen ist die Menge der ungeraden nicht negativen ganzen Zahlen.

\({{\Bbb N}_u} = \left\{ {1,3,5,7..\infty } \right\}\)

Menge der Primzahlen

Primzahlen sind jene Zahlen, die größer als 1 sind, die aber ausschließlich durch sich selbst und durch 1 ganzzahlig teilbar sind. Primzahlen lassen sich daher durch exakt zwei Faktoren darstellen. Sie sind somit eine Teilmenge der natürlichen Zahlen.

\(P = \left\{ {2,3,5,7,11,13...} \right\}\)

• "1" ist keine Primzahl, weil eine Primzahl genau zwei Teiler haben muss, nämlich 1 und sich selbst. "1" hat aber nur einen Teiler, nämlich 1 und ist daher keine Primzahl.
• "2" ist die kleinste Primzahl

Der Satz von Euklid zu Primzahlen

Der „Satz von Euklid“ besagt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Fundamentalsatz der Arithmetik

Der Fundamentalsatz der Arithmetik besagt, dass sich jede natürliche Zahl, die größer als 1 ist und die selbst keine Primzahl ist, als Produkt von zwei oder mehreren Primzahlen darstellen lässt. Darauf basiert die Primfaktorenzerlegung. Es wurde noch keine Regelmäßigkeit gefunden, nach der Primzahlen auftreten.

Die Menge der natürlichen Zahlen lässt sich somit unterteilen in

• 0
• 1
• Primzahlen (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,...)
• aus 2 oder 3 Primzahlen zusammengesetzte Zahlen (1742 vom Mathematiker Goldbach, in einem Brief an Euler, formulierte und bis heute unbewiesene Vermutung) 
  • starke, oder binäre Goldbachsche Vermutung: Jede gerade Zahl, die größer als 2 ist, kann als Summe von 2 Primzahlen dargestellt werden
    \(\eqalign{ & 4 = 2 + 2 \cr & 6 = 3 + 3 \cr & 8 = 3 + 5 \cr & 10 = 3 + 7 \cr & 12 = 5 + 7 \cr & 14 = 3 + 11 \cr & 16 = 3 + 13 \cr & 18 = 5 + 13 = 7 + 11 \cr & 20 = 7 + 13 \cr} \)
  • schwache, oder ternäre Goldbachsche Vermutung: Jede ungerade Zahl, die größer als 5 ist, kann als Summe von 3 Primzahlen dargestellt werden
    \(\eqalign{ & 7 = 2 + 2 + 3 \cr & 9 = 2 + 2 + 5 = 3 + 3 + 3 \cr & 11 = 2 + 2 + 7 = 3 + 3 + 5 \cr & 13 = 5 + 5 + 3 = 3 + 3 + 7 \cr & 15 = 5 + 5 + 5 = ... \cr & 17 = 5 + 5 + 7 = ... \cr & 19 = 5 + 7 + 7 = ... \cr} \)

Einige Beispiele

\(\eqalign{ & 144 = {2^4} \cdot {3^2} \cr & 145 = 5 \cdot 29 \cr & 146 = 2 \cdot 73 \cr & 147 = 3 \cdot {7^2} \cr} \)

Menge der ganzen Zahlen

Die Menge der ganzen Zahlen sind die um die negativen ganzen Zahlen erweiterten natürlichen Zahlen. Die Menge der ganzen Zahlen ist gegenüber der Addition, der Multiplikation und der Subtraktion abgeschlossen.

\({\Bbb Z} = \left\{ { - \infty ,..., - 1,0,1,2,...\infty } \right\}\)

Beispiel:

\( - \root 2 \of 4 = - 2 \in {\Bbb Z}\)

• Nachfolger: Zu jeder ganzen Zahl kann man 1 dazuzählen, dann erhält man den Nachfolger, der wiederum eine ganze Zahl ist
• Vorgänger: Von jeder ganzen Zahl kann man 1 abziehen, dann erhält man den Vorgänger, der wiederum eine ganze Zahl ist

Menge der rationalen Zahlen

Die Menge der rationalen Zahlen sind die um die Brüche erweiterten Zahlen. Alle positiven oder negativen Zahlen, die sich als Quotient (als Bruch) darstellen lassen, wobei sowohl im Zähler als auch im Nenner ganze Zahlen stehen. Umgekehrt können diese Brüche wiederum durch Division des Zählers durch den Nenner, als endliche oder als periodische Dezimalzahlen dargestellt werden. Die Menge der rationalen Zahlen ist gegenüber der Addition und der Multiplikation sowie der Subtraktion und der Division abgeschlossen.

\({\Bbb Q} = \left\{ {\dfrac{p}{q}\left| {p \in {\Bbb Z},q \in {{\Bbb N}^*}} \right.} \right\} \)

Beispiele:

\(\eqalign{ & \frac{\pi }{2} \notin {\Bbb Q};\,\,\,\,\,\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \notin {\Bbb Q} \cr & - 2,234 \in {\Bbb Q};\,\,\,\,\,2,\mathop 2\limits^ \bullet \in Q \cr} \)

Menge der irrationalen Zahlen

Die Menge der irrationalen Zahlen umfasst jene Zahlen die sich aus unendlich vielen, nicht periodischen Dezimalstellen zusammensetzen. Man kann irrationale Zahlen nicht als Bruch mit ganzen Zahlen im Zähler und im Nenner darstellen.

\({\Bbb I} = {\Bbb R}\backslash {\Bbb Q}\)

Beispiele:

\(\pi \in {\Bbb I};\,\,\,\,\,e \in {\Bbb I};\,\,\,\,\,\sqrt 2 \in I;\,\,\,\,\,\sqrt 4 \notin {\Bbb I}\left( { \in {\Bbb N}} \right)\)

Menge der reellen Zahlen

Die Menge der reellen Zahlen sind die um die irrationalen Zahlen erweiterten rationalen Zahlen. Die Menge der reellen Zahlen setzt sich also aus der Menge der rationalen und der irrationalen Zahlen zusammen. Die Menge der reellen Zahlen ist gegenüber allen 4 Grundrechnungsarten abgeschlossen.

\({\Bbb R} = {\Bbb Q} \cup {\Bbb I}\)

Menge der komplexen Zahlen

Die Menge der komplexen Zahlen sind die um die imaginären Zahlen erweiterten reellen Zahlen. Die Menge der komplexen Zahlen erweitert den Zahlenbereich der reellen Zahlen so, dass die Gleichung x²+1=0 lösbar wird. Dazu führt man die imaginäre Einheit i als neue Zahl ein, wobei gilt i²=-1

\({\Bbb C} = \left\{ {z = a + ib\left| {a,b \in {\Bbb R},{i^2} = - 1} \right.} \right\} \)

Beispiele:

\(\sqrt { - 2} \in {\Bbb C};\,\,\,\,\, - \sqrt 2 \in {\Bbb I} \in {\Bbb C};\)