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  4. Berechnung von Wechselstromkreisen

Berechnung von Wechselstromkreisen

Hier findest du folgende Inhalte

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Formeln
2
Aufgaben
    Formeln
    Wissenspfad

    Gegenüberstellung Wechselstrom und Gleichstrom

    Haben in einem Leiter Strom und Spannung einen sinusförmigen Verlauf mit der gleichen Periodenlänge, dann spricht man von Wechselstrom. Im Gegensatz zum Gleichstrom sind beim Wechselstrom die elektrischen Größen zeitabhängig, was man durch die Verwendung von Kleinbuchstaben i(t), u(t) hervorhebt.

    Funktion f f(x) = sin(x) Funktion g g(x) = sin(x + 2) i=i(t) Text1 = “i=i(t)” u=u(t) Text2 = “u=u(t)”


    Vorteil von Wechselstrom gegenüber Gleichstrom

    • Reduzierung der Leitungsverluste: Man kann bei gegebener Leistung \(S = U \cdot I\) das Verhältnis von Strom und Spannung mit Hilfe eines Transformators indirektproportional ändern. Da die ohmschen Leitungsverluste mit dem Quadrat der Stromstärke steigen, transformiert man am Leitungsanfang die Spannung rauf. Da der Strom im selben Verhältnis sinkt, reduzieren sich so die Verluste entlang der Leitung. Am Ende der Leitung transformiert man die Spannung wieder runter. Dies ermöglicht Drehstromleitungen mit 1.150 kV, 5,5 GVA und Leitungslängen von 700 km (Kasachstan; Erkbastus - Kökschetau).
    • Stromunterbrechbarkeit: Auf Grund der 2 Nulldurchgänge des Wechselstroms pro Periode (also 100 Mal pro Sekunde bei f=50Hz) kann Wechselstrom leichter ausgeschaltet werden, als Gleichstrom
    • Lange Lebensdauer der Primärtechnik: Keine Leistungselektronik, also kein Gleich- und Wechselrichter wie bei HGÜ erforderlich
      Kreis c Kreis c: Kreis durch B mit Mittelpunkt A Kreis c_1 Kreis c_1: Kreis durch B_2 mit Mittelpunkt A_2 Strecke f Strecke f: Strecke C, D Strecke g Strecke g: Strecke D, E Strecke h Strecke h: Strecke E, F Strecke i Strecke i: Strecke H, G Strecke j Strecke j: Strecke G, I Strecke k Strecke k: Strecke I, J Strecke l Strecke l: Strecke K, L Strecke m Strecke m: Strecke M, N Strecke n Strecke n: Strecke N, O Strecke p Strecke p: Strecke O, P Strecke q Strecke q: Strecke R, Q Strecke r Strecke r: Strecke Q, S Strecke s Strecke s: Strecke S, T Strecke t Strecke t: Strecke U, V Strecke a Strecke a: Strecke W, Z Strecke b Strecke b: Strecke Z, A_1 Strecke d Strecke d: Strecke A_1, B_1 Strecke e Strecke e: Strecke D_1, C_1 Strecke f_1 Strecke f_1: Strecke C_1, E_1 Strecke g_1 Strecke g_1: Strecke E_1, F_1 Strecke h_1 Strecke h_1: Strecke G_1, H_1 Strecke l_1 Strecke l_1: Strecke K_1, L_1 Punkt K K = (5, 6) Punkt L L = (10, 6) Punkt U U = (15, 6) Punkt V V = (20, 6) Punkt G_1 G_1 = (25, 6) Punkt H_1 H_1 = (30, 6) Punkt K_1 K_1 = (-4.63, 6.01) Punkt L_1 L_1 = (0.37, 6.01) Generator- klemmen- spannung 10 kV Text1 = “Generator- klemmen- spannung 10 kV” Generator- klemmen- spannung 10 kV Text1 = “Generator- klemmen- spannung 10 kV” Generator- klemmen- spannung 10 kV Text1 = “Generator- klemmen- spannung 10 kV” Generator- klemmen- spannung 10 kV Text1 = “Generator- klemmen- spannung 10 kV” Kraftwerk Trafo 10 kV →110 kV U↑ I↓ Text2 = “Kraftwerk Trafo 10 kV →110 kV U↑ I↓” Kraftwerk Trafo 10 kV →110 kV U↑ I↓ Text2 = “Kraftwerk Trafo 10 kV →110 kV U↑ I↓” Kraftwerk Trafo 10 kV →110 kV U↑ I↓ Text2 = “Kraftwerk Trafo 10 kV →110 kV U↑ I↓” Kraftwerk Trafo 10 kV →110 kV U↑ I↓ Text2 = “Kraftwerk Trafo 10 kV →110 kV U↑ I↓” Hochspannung Freileitung 110 kV einige 10 .. 100 km Text3 = “Hochspannung Freileitung 110 kV einige 10 .. 100 km” Hochspannung Freileitung 110 kV einige 10 .. 100 km Text3 = “Hochspannung Freileitung 110 kV einige 10 .. 100 km” Hochspannung Freileitung 110 kV einige 10 .. 100 km Text3 = “Hochspannung Freileitung 110 kV einige 10 .. 100 km” Hochspannung Freileitung 110 kV einige 10 .. 100 km Text3 = “Hochspannung Freileitung 110 kV einige 10 .. 100 km” Umspannwerk Trafo 110 kV→20 kV U↓ I↑ Text2_1 = “Umspannwerk Trafo 110 kV→20 kV U↓ I↑” Umspannwerk Trafo 110 kV→20 kV U↓ I↑ Text2_1 = “Umspannwerk Trafo 110 kV→20 kV U↓ I↑” Umspannwerk Trafo 110 kV→20 kV U↓ I↑ Text2_1 = “Umspannwerk Trafo 110 kV→20 kV U↓ I↑” Umspannwerk Trafo 110 kV→20 kV U↓ I↑ Text2_1 = “Umspannwerk Trafo 110 kV→20 kV U↓ I↑” Mittelspannungs Kabelleitung 20 kV einige 10 km Text4 = “Mittelspannungs Kabelleitung 20 kV einige 10 km” Mittelspannungs Kabelleitung 20 kV einige 10 km Text4 = “Mittelspannungs Kabelleitung 20 kV einige 10 km” Mittelspannungs Kabelleitung 20 kV einige 10 km Text4 = “Mittelspannungs Kabelleitung 20 kV einige 10 km” Ortsnetz Trafo 20 kV→400 V Text5 = “Ortsnetz Trafo 20 kV→400 V” Ortsnetz Trafo 20 kV→400 V Text5 = “Ortsnetz Trafo 20 kV→400 V” Ortsnetz Trafo 20 kV→400 V Text5 = “Ortsnetz Trafo 20 kV→400 V” Verbraucher Motor 400 V Text6 = “Verbraucher Motor 400 V” Verbraucher Motor 400 V Text6 = “Verbraucher Motor 400 V” Verbraucher Motor 400 V Text6 = “Verbraucher Motor 400 V” Verteiletz Kabel 400 V eingige 100 m Text7 = “Verteiletz Kabel 400 V eingige 100 m” Verteiletz Kabel 400 V eingige 100 m Text7 = “Verteiletz Kabel 400 V eingige 100 m” Verteiletz Kabel 400 V eingige 100 m Text7 = “Verteiletz Kabel 400 V eingige 100 m” Verteiletz Kabel 400 V eingige 100 m Text7 = “Verteiletz Kabel 400 V eingige 100 m” Hochstrom Generatorableitung 10 kV einige 10 m Text8 = “Hochstrom Generatorableitung 10 kV einige 10 m” Hochstrom Generatorableitung 10 kV einige 10 m Text8 = “Hochstrom Generatorableitung 10 kV einige 10 m” Hochstrom Generatorableitung 10 kV einige 10 m Text8 = “Hochstrom Generatorableitung 10 kV einige 10 m” Hochstrom Generatorableitung 10 kV einige 10 m Text8 = “Hochstrom Generatorableitung 10 kV einige 10 m” G~ Text9 = “G~” M~ Text10 = “M~”

    Vorteile von Gleichstrom gegenüber Wechselstrom

    • Keine Blindleistungskompensation: Sehr lange Wechselstrom-Freileitungen (> 700 km) und lange Wechselstrom-Kabel (>10km) verschieben auf Grund von Leitungskapazitäten und der Ummagnetisierung des Feldes zufolge der Frequenz des Wechselstroms die eingespeiste Wirkleistung in unerwünschte Blindleistung, was den Einsatz von Blindleistungskompensatoren erforderlich macht. Dieses Problem gibt es bei Gleichstrom nicht. Hochspannungs-Gleichstromübertragungen ermöglichen +/- 800 kV, 8 GW über 2.000 km zu übertragen (China; Hami - Zhengzhou).
    • Ermöglicht lange (Untersee-)Kabelleitungen und funktioniert mit 2 statt 3 Leitern
    • Kopplung von Wechselstromnetzen: HGÜ von wenigen Metern Leitungslänge ermöglichen die Kopplung von Wechselstromnetzen bei unterschiedlicher Netzfrequenz oder unterschiedlicher Leistungs-Frequenzregelungskonzepten

    Bei Wechselspannung handelt es sich in der Praxis um die Strangspannung, d.h. um die Spannung zwischen einem Außenleiter und dem Sternpunkt in einem Dreiphasenwechselstromsystem, kurz Drehstromsystem genannt.

    Strecke j Strecke j: Strecke H, J Strecke k Strecke k: Strecke J, I Strecke l Strecke l: Strecke I, G Strecke m Strecke m: Strecke G, H Strecke q Strecke q: Strecke M, P Strecke r Strecke r: Strecke P, O Strecke s Strecke s: Strecke O, N Strecke t Strecke t: Strecke N, M Strecke a Strecke a: Strecke A, Q Strecke b Strecke b: Strecke R, D Strecke c Strecke c: Strecke D, S Strecke d Strecke d: Strecke T, B Strecke e Strecke e: Strecke U, V Strecke f_1 Strecke f_1: Strecke V, W Strecke g_1 Strecke g_1: Strecke W, Z Strecke h_1 Strecke h_1: Strecke Z, U Strecke i_1 Strecke i_1: Strecke D, A_1 Strecke j_1 Strecke j_1: Strecke B_1, C Strecke k_1 Strecke k_1: Strecke A, F_1 Strecke l_1 Strecke l_1: Strecke F_1, E_1 Strecke m_1 Strecke m_1: Strecke B, C_1 Strecke n_1 Strecke n_1: Strecke C, D_1 Strecke p_1 Strecke p_1: Strecke D, O_1 Vektor u Vektor u: Vektor(P_1, C_2) Vektor u Vektor u: Vektor(P_1, C_2) Vektor v Vektor v: Vektor(E_2, D_2) Vektor v Vektor v: Vektor(E_2, D_2) Vektor w Vektor w: Vektor(G_2, F_2) Vektor w Vektor w: Vektor(G_2, F_2) Vektor u_1 Vektor u_1: Vektor(H_2, I_2) Vektor u_1 Vektor u_1: Vektor(H_2, I_2) Vektor v_1 Vektor v_1: Vektor(J_2, K_2) Vektor v_1 Vektor v_1: Vektor(J_2, K_2) Vektor w_1 Vektor w_1: Vektor(L_2, M_2) Vektor w_1 Vektor w_1: Vektor(L_2, M_2) Punkt A A = (1, 12) Punkt B B = (15, 12) Punkt C C = (8, 2) Punkt D D = (8, 8.5) Punkt D D = (8, 8.5) Punkt C_1 C_1 = (27, 12) Punkt D_1 D_1 = (27, 2) Punkt E_1 E_1 = (27, 14) Punkt O_1 O_1 = (32, 8.5) 1 Text1 = “1” 2 Text2 = “2” 3 Text3 = “3” Wicklung 1 Text4 = “Wicklung 1” Wicklung 2 Text5 = “Wicklung 2” Wicklung 3 Text6 = “Wicklung 3” Sternpunkt Text7 = “Sternpunkt” L_1 Text8 = “L_1” L_1 Text8 = “L_1” L_2 Text9 = “L_2” L_2 Text9 = “L_2” L_3 Text10 = “L_3” L_3 Text10 = “L_3” N Text11 = “N” 230V Text12 = “230V” 400V Text13 = “400V” Außenleiter 1 Text14 = “Außenleiter 1” Außenleiter 2 Text14_1 = “Außenleiter 2” Außenleiter 3 Text14_2 = “Außenleiter 3” Neutralleiter Text14_4 = “Neutralleiter” Unterspannungsseite eines Ortsnetztrafos Sternschaltung mit herausgeführtem Sternpunkt bzw. Neutralleiter Text15 = “Unterspannungsseite eines Ortsnetztrafos Sternschaltung mit herausgeführtem Sternpunkt bzw. Neutralleiter” Unterspannungsseite eines Ortsnetztrafos Sternschaltung mit herausgeführtem Sternpunkt bzw. Neutralleiter Text15 = “Unterspannungsseite eines Ortsnetztrafos Sternschaltung mit herausgeführtem Sternpunkt bzw. Neutralleiter” Unterspannungsseite eines Ortsnetztrafos Sternschaltung mit herausgeführtem Sternpunkt bzw. Neutralleiter Text15 = “Unterspannungsseite eines Ortsnetztrafos Sternschaltung mit herausgeführtem Sternpunkt bzw. Neutralleiter” Niederspannungsverteilung Text16 = “Niederspannungsverteilung”


    Strom und Spannung (als zeitunabhängige, konstante Größen im eingeschwungenen) Gleichstromkreis

    \(\begin{array}{} I\\ U \end{array}\)

    Strom und Spannung als sich zeitlich ändernde Wechselgrößen

    \(\eqalign{ & i\left( t \right) = \widehat i \cdot \sin \left( {\omega t + {\varphi _i}} \right) \cr & u\left( t \right) = \widehat u \cdot \sin \left( {\omega t + {\varphi _u}} \right) \cr} \)


    Strom und Spannung in komplexer Zeigerdarstellung

    \(\eqalign{ & \underline i \left( t \right) = \widehat i \cdot \left[ {\cos \left( {\omega t + {\varphi _i}} \right) + j \cdot \sin \left( {\omega t + {\varphi _i}} \right)} \right] = \widehat i \cdot {e^{j\left( {\omega t + {\varphi _i}} \right)}} \cr & \underline u \left( t \right) = \widehat u \cdot \left[ {\cos \left( {\omega t + {\varphi _u}} \right) + j \cdot \sin \left( {\omega t + {\varphi _u}} \right)} \right] = \widehat u \cdot {e^{j\left( {\omega t + {\varphi _u}} \right)}} \cr}\)

    Wechselstrom
    Zeigerdarstellung von Wechselstromgrößen
    Momentanwert von Wechselstromgrößen
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    Phasenlage von Strom und Spannung im Wechselstromkreis

    Unter der Phasenlage versteht man die unterschiedlichen Zeitpunkte der Nulldurchgänge von 2 Sinusschwingungen (Strom u. Spannung), obwohl sie die gleiche Frequenz (50 Hz) haben. Die Phasenverschiebung wird als Winkel angegeben, wobei einer vollen Periode der Winkel von 360° bzw. \(2\pi\) entspricht.


    Phasenverschiebungswinkel zwischen Strom und Spannung im Wechselstromkreis

    Der Phasenverschiebungswinkel \(\varphi\) ist ein Maß für den zeitlichen Abstand der Nulldurchgänge von Spannung und Strom.

    \(\eqalign{ & {\varphi _{Str}} = {\varphi _{u,\,Str}} - {\varphi _{i,\,Str}}; \cr & \varphi = {\varphi _u} - {\varphi _i}; \cr}\)

    • \(\varphi = 0^\circ\) Ohmscher Widerstand: Spannung und Strom liegen in Phase
    • \(\varphi = 90^\circ\) Induktivität: Spannung eilt dem Strom um 90° voraus
    • \(\varphi = - 90^\circ\) Kapazität: Spannung eilt dem Strom um 90° nach

    Ohmscher Widerstand

    Beim ohmschen Widerstand sind Strom und Spannung sind in Phase. Der komplexe Widerstand ZR hat nur einen Realteil aber keinen Imaginärteil

    \(\eqalign{ & \dfrac{u}{R} = i \cr & {Z_R} = \dfrac{{\underline u }}{{\underline i }} = R \cr & U{e^{j0}} = R{e^{j0}} \cdot I{e^{j0}} \cr} \)


    Induktiver Widerstand

    Beim induktiven Widerstand elt der Strom der Spannung nach. Die Spannung ist proportional zur Änderung der Stromstärke. Eine ideale Spule (R=0) bewirkt, dass die Spannung dem Strom um \(\dfrac{\pi }{2} = 90^\circ\) voreilt. Der komplexe Widerstand XL wird auf der positiven imaginären Achse aufgetragen.

    \(\eqalign{ & \dfrac{{\underline u }}{L} = \dfrac{{di}}{{dt}} = \widehat i \cdot {e^{j\left( {\omega t + {\varphi _i}} \right)}} \cdot j\omega = \underline i \cdot j\omega \cr & {Z_L} = {X_L} = \dfrac{{\underline u }}{{\underline i }} = j \cdot \omega L = \omega L \cdot {e^{j\dfrac{\pi }{2}}} = \omega L \cdot {e^{j90^\circ }} \cr & U{e^{j0}} = \omega L{e^{j\varphi }} \cdot I{e^{ - j\varphi }} \cr} \)


    Kapazitiver Widerstand

    Beim kapazitiven Widerstand eilt der Strom der Spannung vor. Die Stromstärke ist proportional zur Änderung der Spannung. Ein idealer Kondensator (\(R = \infty \)) ) bewirkt dass die Spannung dem Strom um \(- \dfrac{\pi }{2} = - 90^\circ\) nacheilt. Der komplexe Widerstand XC wird auf der negativen imaginären Achse aufgetragen.

    \(\eqalign{
    & \dfrac{{\underline i }}{C} = d\frac{{du}}{{dt}} = \widehat u \cdot {e^{j\left( {\omega t + {\varphi _U}} \right)}} \cdot j\omega = \underline u \cdot j\omega \cr
    & {Z_C} = {X_C} = \dfrac{{\underline u }}{{\underline i }} = \dfrac{1}{{j\omega C}} = - j\dfrac{1}{{\omega C}} = \dfrac{1}{{\omega C}} \cdot {e^{ - j\dfrac{\pi }{2}}} = \dfrac{1}{{\omega C}} \cdot {e^{ - j90^\circ }} \cr
    & U{e^{j0}} = \dfrac{1}{{\omega C}}{e^{ - j\varphi }} \cdot I{e^{j\varphi }} \cr} \)

    Phasenlage von Strom und Spannung im Wechselstromkreis
    Induktiver Widerstand im Wechselstromkreis
    Strom eilt Spannung nach
    Kapazitiver Widerstand im Wechselstromkreis
    Spannung eilt Strom nach
    Spannung proportional der Änderung der Stromstärke
    Stromstärke proportional der Änderung der Spannung
    Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis
    Phasenverschiebungswinkel
    Fragen oder Feedback
    Wissenspfad
    Aufgaben

    Frequenz im Wechselstromkreis

    Die in Herz gemessene Frequenz gibt an, wie viele Perioden eine Wechselgröße in einer Sekunde durchläuft. Eine Periode entspricht einer positiven plus einer negativen Halbwelle einer sinusförmigen Schwingung. Die Zeit, die zum Durchlaufen einer Periode benötigt wird, nennt man die Periodendauer. In Nordamerika (Kanada, USA, Mexiko) und in wenigen andern Ländern wie Brasilien beträgt die Netzfrequenz 60Hz. Im Großteil der Welt beträgt die Netzfrequenz 50Hz.

    \(f = \dfrac{1}{T}\)

    f Frequenz in Hz
    T Schwingungs- oder Periodendauer in Sekunden
    \(\omega\) Kreisfrequenz in 1/s

    Praktische Bedeutung der Netzfrequenz von 50 Hz

    Elektrische Energie wird vorwiegend mittels Synchrongeneratoren - alternativ auch mittels Wechselrichter aus Gleichstrom etwa von Photovoltaikanlagen - erzeugt. Die Netzfrequenz beträgt in den 3 europäischen Verbundnetzen UCTE, NORDEL und IPS/UPS einheitlich 50 Hz.

    Elektrische Leistung muss immer im selben Augenblick wo sie verbraucht wird auch erzeugt werden. Ist das nicht der Fall, hat das Auswirkungen auf die Netzfrequenz, was sich in der Praxis sogar in der Genauigkeit der Uhrzeit bei netzsynchronen Uhren mit bis zu 6 Minuten Anzeigeungenauigkeit niederschlagen kann.

    • Übersteigt der Verbrauch kurzzeitig die Erzeugung, so sinkt die Netzfrequenz. Die fehlende Energie stammt aus der rotierenden Masse aller beteiligten Synchrongeneratoren, die so Rotationsenergie verlieren und demzufolge langsamer drehen, was wiederum zu einem Absinken der Netzfrequenz führt. Eine lokale Abweichung in Form von einem Totband von +/- 20 mHz ist zulässig, ohne dass Regelleistung eingesetzt wird.
    • Im normalen Netzbetrieb darf die Frequenz um +/- 200 mHz vom Sollwert 50 Hz abweichen. Derartige Abweichungen (49,8 bzw. 50,2 Hz) werden durch den Einsatz der Primär-, Sekundär- und Tertiärregelung ausgeregelt.
    • Übersteigt die Abweichung +/- 800 mHz, entsprechend 49,2 bzw. 50,8 Hz auch nur kurzfristig, werden Verbraucher oder Erzeuger abgeworfen, d.h. von Netz getrennt.
    • Die größte Gefahr für ein Übertragungsnetz geht aber durch den ungeplanten Ausfall von großen Kraftwerken aus, denn sinkt die Frequenz auf unter 47,7 Hz trennen sich die Kraftwerke automatisch von Netz ab. Die Folge davon ist der Zerfall des Verbundnetzes in Inselnetze bzw. der Netzzusammenbruch.

    Kreisfrequenz im Wechselstromkreis

    Die Kreisfrequenz ist das 2π -fache der Frequenz. Die Kreisfrequenz \(\omega\) entspricht dem in 1 Sekunde vom einem Zeiger der Länge 1 überstrichenem Winkel. Da die Kreisfrequenz das Produkt von \(2 \cdot \pi\) und der Frequenz f ist, wird bei einer Frequenz von 50 Hz der Kreis vom zugehörigen Zeiger 50 mal pro Sekunde umlaufen.

    \(\omega = 2 \cdot \pi \cdot f = \dfrac{{2 \cdot \pi }}{T}\)

    Frequenz im Wechselstromkreis
    Schwingungsdauer
    Periodendauer
    Kreisfrequenz
    Fragen oder Feedback
    Wissenspfad

    Ohmsches Gesetz für Wechselstromkreise

    In realen Wechselstromkreisen kommen ohmsche, kapazitive und induktive Widerstände zusammen vor. Da die zugehörigen Ströme und Spannungen eine Phasenverschiebung zu einander aufweisen, hat die sich daraus ergebende Impedanz, der sogenannte Scheinwiderstand, einen Real- und einen Imaginäranteil. Der Scheinwiderstand (Impedanz Z) ist dabei die geometrische Summe aus dem ohmschen bzw. Wirkwiderstandsanteil (Resistanz R) und dem frequenzabhängigen Blindwiderstand (Reaktanz X).

    \(\overrightarrow u = \overrightarrow Z \cdot \overrightarrow i \) komplexes ohmsches Gesetz für Ströme und Spannungen mit sinusförmiger Zeitabhängigkeit in linearen Netzwerken
    \(u\left( t \right) = {U_0} \cdot {e^{j\omega t}}\) komplexe Spannung
    \({\text{i}}\left( t \right) = {I_0} \cdot {e^{j\left( {\omega t - \varphi } \right)}}\) komplexe Stromstärke
    \(\overrightarrow Z = {Z_0} \cdot {e^{j\varphi }} = R + jX\) komplexer Scheinwiderstand = Summe aus komplexem Wirk- und Blindwiderstand

    Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis

    Der ohmsche Widerstand R im Wechselstromkreis ist unabhängig von der Frequenz und verursacht keine Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung. Der ohmsche Widerstand geht vollständig in den Realteil vom komplexen Widerstand Z ein.

    \(R = \dfrac{U}{I}\)

    Illustration des zeitlichen Verlaufs der zeitabhängigen Größen Strom und Spannung in einem rein ohmschen Stromkreis
    Funktion f f(x) = sin(x) Funktion g g(x) = 2sin(x) i=i(t) Text1 = “i=i(t)” u=u(t) Text2 = “u=u(t)” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$”


    Kapazitiver Widerstand im Wechselstromkreis

    Der kapazitive Blindwiderstand XC im Wechselstromkreis ist indirekt proportional der Frequenz und verursacht eine 90° Phasenverschiebung, bei welcher der Strom der Spannung vorauseilt. Die Höhe vom kapazitiven Widerstand XC eines Kondensators im Wechselstromkreis hängt ab von der Bauform des Kondensators und von der Frequenz des Wechselstroms. Zufolge einer 50 Hz Wechselspannung wird ein Kondensator in einer Sekunde 50 mal jeweils aufgeladen, entladen, mit entgegengesetzter Polung aufgeladen und wieder entladen. Der kapazitive Widerstand geht vollständig in den Imaginärteil vom komplexen Widerstand Z ein.

    \({X_C} = \dfrac{1}{{\omega \cdot C}} = \dfrac{1}{{2\pi f \cdot C}} \to \overrightarrow Z = - j\dfrac{1}{{\omega \cdot C}}\)

    Ein idealer Kondensator \(\left( {R = \infty } \right)\) stellt einen rein kapazitiven Blindwiderstand X dar. Während ein Kondensator im Gleichstromkreis wie eine Leitungsunterbrechung wirkt, lässt er im Wechselstromkreis einen reinen Blindstrom durch, da er sich periodisch lädt und entlädt. Strom und Spannung sind um 90° phasenverschoben, wobei der Strom der Spannung vorauseilt. Da sich die Spannung am stärksten in ihrem Nulldurchgang ändert, hat zeitgleich der Strom sein Maximum.

    Illustration des zeitlichen Verlaufs der zeitabhängigen Größen Strom und Spannung in einem rein kapazitiven Stromkreis
    Funktion f f(x) = sin(x + 1.57) Funktion g g(x) = 2sin(x) Vektor u Vektor u: Vektor(A, B) Vektor u Vektor u: Vektor(A, B) Punkt A Punkt A: Schnittpunkt von g, xAchse mit Startwert (3.14, 0) Punkt A Punkt A: Schnittpunkt von g, xAchse mit Startwert (3.14, 0) Punkt B Punkt B: Schnittpunkt von f, xAchse mit Startwert (1.57, 0) Punkt B Punkt B: Schnittpunkt von f, xAchse mit Startwert (1.57, 0) i=i(t) Text1 = “i=i(t)” u=u(t) Text2 = “u=u(t)” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” φ=-90° Text5 = “φ=-90°”


    Induktiver Widerstand im Wechselstromkreis

    Der induktive Blindwiderstand XL im Wechselstromkreis ist direkt proportional der Frequenz und verursacht eine 90° Phasenverschiebung, bei welcher der Strom der Spannung nacheilt. Die Höhe vom induktive Widerstand XL einer Spule im Wechselstromkreis hängt ab von der Bauform der Spule (L) und von der Frequenz f des Wechselstroms. Zufolge eines 50 Hz Wechselstroms wird in einer Spule in einer Sekunde 50 mal durch Selbstinduktion ein magnetisches Feld auf und wieder abgebaut, mit entegengesetzer Richtung wieder aufgebaut und erneut abgebaut. Der induktive Widerstand geht vollständig in den Imaginärteil vom komplexen Widerstand Z ein.

    \({X_L} = \omega \cdot L = 2\pi f \cdot L \to \overrightarrow Z = j \cdot \omega \cdot L\)

    Eine ideale Spule (R=0) stellt einen rein induktiven Blindwiderstand X dar. Während eine Spule im Gleichstromkreis wie ein Kurzschluss wirkt, speichert und entlädt sie im Wechselstromkreis elektrische Energie ohne dabei Wirkleistung zu erbringen. Strom und Spannung sind um 90° phasenverschoben, wobei der Strom der Spannung nacheilt. Die Selbstinduktion der Spule verzögert nämlich den Stromfluss.

    Illustration des zeitlichen Verlaufs der zeitabhängigen Größen Strom und Spannung in einem rein induktiven Stromkreis
    Funktion f f(x) = sin(x + 3 * 1.57) Funktion g g(x) = 2sin(x + 4 * 1.57) Vektor u Vektor u: Vektor(A, B) Vektor u Vektor u: Vektor(A, B) Punkt A Punkt A: Schnittpunkt von g, xAchse mit Startwert (3.14, 0) Punkt A Punkt A: Schnittpunkt von g, xAchse mit Startwert (3.14, 0) Punkt B Punkt B: Schnittpunkt von f, xAchse mit Startwert (4.71, 0) Punkt B Punkt B: Schnittpunkt von f, xAchse mit Startwert (4.71, 0) i=i(t) Text1 = “i=i(t)” u=u(t) Text2 = “u=u(t)” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text3 = “$u\left( t \right) = \widehat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” $i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$ Text4 = “$i\left( t \right) = \widehat I \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)$” φ=+90° Text5 = “φ=+90°”

    Ohmsches Gesetz
    Ohmsches Gesetz für Wechselstromkreise
    Komplexer Widerstand Z
    Komplexe Spannung u(t)
    Komplexe Stromstärke i(t)
    Impedanz Z
    Resistanz R
    Reaktanz X
    Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis
    Wirkwiderstand
    Kapazitiver Widerstand im Wechselstromkreis
    Blindwiderstand
    Induktiver Widerstand im Wechselstromkreis
    Scheinwiderstand
    Fragen oder Feedback
    Wissenspfad

    Reihen- bzw. Serienschaltung von Widerständen im Wechselstromkreis

    Eine Reihenschaltung von Impedanzen liegt dann vor, wenn alle Widerstände ohne Verzweigung hinter einander, also am selben Pfad, geschaltet sind und daher vom gleichen Strom durchflossen werden.

    Bei der Reihenschaltung von Impedanzen

    • ist die Gesamtimpedanz Z gleich der Summe der Einzelimpedanzen Zi.
      \({\underline Z _{Serie}} = {\underline Z _1} + {\underline Z _2} + ... + {\underline Z _n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\underline Z }_i}} \)

      • Bei von Gleichstrom durchflossenen Widerständen ist der Gesamtwiderstand immer größer als der größte Teilwiderstand ist.
      • Bei von Wechselstrom durchflossenen Impedanzen kann die Gesamtimpedanz zufolge von sich kompensierenden Phasendrehungen auch kleiner als die größte Teilimpedanz sein​
        ​​​
    • ​fließt durch alle Impedanzen der selbe Strom, dessen Stromzeiger man in die x-Achse mit φ = 0° legt
      • Die Spannung am kapazitiven Blindwiderstand hat einen Phasenwinkel von φ = −90°.
      • Die Spannung am induktiven Blindwiderstand hat den Phasenwinkel von φ = +90°.
      • Die Summenspannung an einer RLC Reihenschaltung ist bei −φ überwiegend kapazitiv, bei +φ überwiegend induktiv. Für einer charakteristischen Frequenz, der Resonanzfrequenz, heben sich die beiden Blindwiderstände auf und es wirkt einzig der ohmsche Anteil. Dann sind Strom und Spannung in Phase.
         
    • ergibt die Summe aller Teilspannungen Ui wieder die angelegte Gesamtspannung Uges
      \({\underline U _{ges}} = {\underline U _1} + {\underline U _2} + ... + {\underline U _n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\underline U }_i}} \)

    Serienersatzschaltung bei gegebenem Strom, Spannung und Phasenwinkel im Wechselstromkreis

    Hat man Strom, Spannung und Phasenwinkel im Wechselstromkreis gegeben, so errechnen sich der Wirk- und der Blindwiderstand einer Serien-Ersatzschaltung wie folgt:

    \(\eqalign{ & U,I,{\varphi _Z} \cr & {R_{Serie}} = \dfrac{U}{I} \cdot \cos {\varphi _Z} \cr & {X_{Serie}} = \dfrac{U}{I} \cdot \sin {\varphi _Z} \cr} \)


    Spannungsteiler im Wechselstromkreis

    Eine Serienschaltung von Widerständen entspricht einem Spannungsteiler. Der Spannungsabfall an der k-ten Impedanz ergibt sich aus der Gesamtspannung mal betrachteter (k-ter) Impedanz dividiert durch die Summe aller Impedanzen

    \({\underline U _k} = \underline U \cdot \dfrac{{{{\underline Z }_k}}}{{{{\underline Z }_1} + {{\underline Z }_2} + .. + {{\underline Z }_n}}}\)

    Serienschaltung im Wechselstromkreis
    Spannungsteiler im Wechselstromkreis
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    Parallelschaltung von Widerständen im Wechselstromkreis

    Eine Parallelschaltung von Impedanzen liegt vor, wenn alle Impedanzen an der gleichen Spannung U hängen.

    Bei der Parallelschaltung von Impedanzen

    • liegt an allen Impedanzen die gleiche Spannung an, dessen Spannungszeiger man in die x-Achse mit φ = 0° legt

      • Der Strom am kapazitiven Blindwiderstand hat einen Phasenwinkel von φ = +90°
      • Der Strom am induktiven Blindwiderstand hat den Phasenwinkel von φ = -90°
      • Die Summenstrom an einer RLC Parallelschaltung ist bei +φ überwiegend kapazitiv, bei -φ überwiegend induktiv. Für einer charakteristischen Frequenz, der Resonanzfrequenz, heben sich die beiden Blindwiderstände auf und es wirkt einzig der ohmsche Anteil. Dann sind Strom und Spannung in Phase.
    • ist der Gesamtadmittanz Y gleich der Summe der Einzeladmittanzen Y
      \({\underline Y _{ges}} = {\underline Y _1} + {\underline Y _2} + ... + {\underline Y _n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\underline Y }_i}} \)
    • errechnet sich die Gesamtimpedanz zu
      \({\underline Z _{ges}} = \dfrac{1}{{{{\underline Y }_{ges}}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{{{{\underline Z }_1}}} + \dfrac{1}{{{{\underline Z }_2}}} + ... + \dfrac{1}{{{{\underline Z }_n}}}}}\)
    • ergibt die Summe aller Teilströme Ii den Summenstrom Iges
      \({\underline I _{ges}} = {\underline I _1} + {\underline I _2} + ... + {\underline I _n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\underline I }_i}} \)

    Parallelersatzschaltung bei gegebenem Strom, Spannung und Phasenwinkel im Wechselstromkreis

    Hat man Strom, Spannung und Phasenwinkel im Wechselstromkreis gegeben, so errechnen sich der Wirk- und der Blindwiderstand einer Parallel-Ersatzschaltung wie folgt:

    \(\eqalign{ & U,I,{\varphi _Z} \cr & {R_\parallel } = \dfrac{U}{{I \cdot \cos {\varphi _Z}}} \cr & {X_\parallel } = \dfrac{U}{{I \cdot \sin {\varphi _Z}}} \cr}\)


    Stromteiler im Wechselstromkreis

    Eine Parallelschaltung von Widerständen entspricht einem Stromteiler.Die Stromstärke im betrachteten k-ten Zweig ergibt sich aus dem Gesamtstrom mal Admittanz des k-ten Zweiges dividiert durch die Summe aller Admittanzen

    \({\underline I _k} = {\underline I _{ges}} \cdot \dfrac{{{{\underline Y }_k}}}{{{{\underline Y }_1} + \underline {{Y_2} + ... + {{\underline Y }_n}} }}\)


    für n=2

    \({\underline I _1} = \underline I \cdot \dfrac{{{{\underline Z }_2}}}{{{{\underline Z }_1} + {{\underline Z }_2}}}\)


    Umformung gemäß:
    \(\eqalign{ & {I_1} = {I_{ges}} \cdot \dfrac{{{Y_1}}}{{{Y_1} + {y_2}}} = {I_{ges}} \cdot \dfrac{{\dfrac{1}{{{Z_1}}}}}{{\dfrac{1}{{{Z_1}}} + \dfrac{1}{{{Z_2}}}}} \cdot \dfrac{{{Z_1}}}{{{Z_1}}} = {I_{ges}} \cdot \dfrac{1}{{1 + \dfrac{{{Z_1}}}{{{Z_2}}}}} \cdot \dfrac{{{Z_2}}}{{{Z_2}}} = \cr & = {I_{ges}} \cdot \dfrac{{{Z_2}}}{{{Z_1} + {Z_2}}} \cr} \)

    Parallelschaltung im Wechselstromkreis
    Stromteiler im Wechselstromkreis
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    Aufgaben

    Zusammenhang Momentanwert, Scheitelwert, Effektivwert, Gleichwert und Gleichrichtwert einer Wechselgröße

    Bei der Berechnung und vor allem bei der Dimensionierung der elektrischen Isolation in Wechselstromkreisen unterscheidet man zwischen dem Momentanwert, dem Scheitelwert und dem Effektivwert, der zugleich der Nennwert ist

    u(t), i(t) zeitabhängiger Momentanwert
    \(\widehat u,\,\,\widehat i\) Scheitel- bzw. Maximal- bzw. Spitzenwert bzw. Amplitude einer sinusförmigen Wechselgröße
    \(\sqrt 2 \) Scheitelfaktor, das ist das Verhältnis vom Scheitelwert zum Effektivwert, \(\sqrt 2 \) gilt für Sinusform
    U=UN=Ueff, I=IN=Ieff Nennwert, bzw. Effektivwert, bzw. quadratischer Mittelwert, schreibweise ohne Index
    \(\overline u,\,\,\overline i\) Gleichwert von Wechselstromgrößen
    \(\overline {\left| u \right|} ,\,\,\,\left| {\overline i } \right|\) Gleichrichtwert von Wechselstromgrößen

    Illustration Momentanwert, Scheitelwert, Effektivwert und Nennwert einer Wechselgröße

    Ein Stromnetz mit einer Netz-Nennspannung von 230V hat einen Effektivwert von ebenfalls 230V und einen Scheitelwert gemäß \(\widehat u = 230V \cdot \sqrt 2 = 325V\)

    Funktion f f(x) = Wenn(0 < x < 12.57, sin(x)) Gerade g Gerade g: Gerade durch P senkrecht zu yAchse Gerade h Gerade h: Gerade durch Q senkrecht zu yAchse Gerade i Gerade i: Gerade durch T senkrecht zu yAchse Vektor u Vektor u: Vektor(F, J) Vektor u Vektor u: Vektor(F, J) Vektor v Vektor v: Vektor(F, G) Vektor v Vektor v: Vektor(F, G) Vektor w Vektor w: Vektor(F, K) Vektor w Vektor w: Vektor(F, K) Vektor a Vektor a: Vektor(M, L) Vektor a Vektor a: Vektor(M, L) Vektor b Vektor b: Vektor(O, N) Vektor b Vektor b: Vektor(O, N) Vektor c Vektor c: Vektor(R, S) Vektor c Vektor c: Vektor(R, S) Vektor d Vektor d: Vektor(S, R) Vektor d Vektor d: Vektor(S, R) Momentanwert = 0 Text1 = “Momentanwert = 0” Momentantwert = positiver Scheitelwert = Amplitude Text2 = “Momentantwert = positiver Scheitelwert = Amplitude” Momentanwert = negativer Scheitelwert Text4 = “Momentanwert = negativer Scheitelwert” $\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $ Text3 = “$\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $” $\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $ Text3 = “$\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $” $\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $ Text3 = “$\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $” $\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $ Text3 = “$\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $” $\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $ Text3 = “$\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $” $\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $ Text3 = “$\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $” $\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $ Text3 = “$\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $” $\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $ Text3 = “$\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $” $\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $ Text3 = “$\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $” $\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $ Text3 = “$\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $” $\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $ Text3 = “$\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $” $\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $ Text3 = “$\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $” $\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $ Text3 = “$\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $” $\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $ Text3 = “$\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $” $\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $ Text3 = “$\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $” $\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $ Text3 = “$\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $” $\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $ Text3 = “$\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $” $\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $ Text3 = “$\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $” $\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $ Text3 = “$\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $” $\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $ Text3 = “$\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $” $\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $ Text3 = “$\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $” $\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $ Text3 = “$\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $” $\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $ Text3 = “$\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $” $\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $ Text3 = “$\widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 $” -$\widehat u$ Text5 = “-$\widehat u$” -$\widehat u$ Text5 = “-$\widehat u$” -$\widehat u$ Text5 = “-$\widehat u$” ${u_{Spitze - Spitze}} = 2 \cdot \widehat u$ Text6 = “${u_{Spitze - Spitze}} = 2 \cdot \widehat u$” ${u_{Spitze - Spitze}} = 2 \cdot \widehat u$ Text6 = “${u_{Spitze - Spitze}} = 2 \cdot \widehat u$” ${u_{Spitze - Spitze}} = 2 \cdot \widehat u$ Text6 = “${u_{Spitze - Spitze}} = 2 \cdot \widehat u$” ${u_{Spitze - Spitze}} = 2 \cdot \widehat u$ Text6 = “${u_{Spitze - Spitze}} = 2 \cdot \widehat u$” ${u_{Spitze - Spitze}} = 2 \cdot \widehat u$ Text6 = “${u_{Spitze - Spitze}} = 2 \cdot \widehat u$” ${u_{Spitze - Spitze}} = 2 \cdot \widehat u$ Text6 = “${u_{Spitze - Spitze}} = 2 \cdot \widehat u$” ${u_{Spitze - Spitze}} = 2 \cdot \widehat u$ Text6 = “${u_{Spitze - Spitze}} = 2 \cdot \widehat u$” ${u_{Spitze - Spitze}} = 2 \cdot \widehat u$ Text6 = “${u_{Spitze - Spitze}} = 2 \cdot \widehat u$” ${u_{Spitze - Spitze}} = 2 \cdot \widehat u$ Text6 = “${u_{Spitze - Spitze}} = 2 \cdot \widehat u$” ${u_{Spitze - Spitze}} = 2 \cdot \widehat u$ Text6 = “${u_{Spitze - Spitze}} = 2 \cdot \widehat u$” ${u_{Spitze - Spitze}} = 2 \cdot \widehat u$ Text6 = “${u_{Spitze - Spitze}} = 2 \cdot \widehat u$” ${u_{Spitze - Spitze}} = 2 \cdot \widehat u$ Text6 = “${u_{Spitze - Spitze}} = 2 \cdot \widehat u$” ${u_{Spitze - Spitze}} = 2 \cdot \widehat u$ Text6 = “${u_{Spitze - Spitze}} = 2 \cdot \widehat u$” ${u_{Spitze - Spitze}} = 2 \cdot \widehat u$ Text6 = “${u_{Spitze - Spitze}} = 2 \cdot \widehat u$” ${u_{Spitze - Spitze}} = 2 \cdot \widehat u$ Text6 = “${u_{Spitze - Spitze}} = 2 \cdot \widehat u$” ${u_{Spitze - Spitze}} = 2 \cdot \widehat u$ Text6 = “${u_{Spitze - Spitze}} = 2 \cdot \widehat u$” ${u_{Spitze - Spitze}} = 2 \cdot \widehat u$ Text6 = “${u_{Spitze - Spitze}} = 2 \cdot \widehat u$” ${u_{Spitze - Spitze}} = 2 \cdot \widehat u$ Text6 = “${u_{Spitze - Spitze}} = 2 \cdot \widehat u$” ${u_{Spitze - Spitze}} = 2 \cdot \widehat u$ Text6 = “${u_{Spitze - Spitze}} = 2 \cdot \widehat u$” ${U_N}$ Text7 = “${U_N}$” ${U_N}$ Text7 = “${U_N}$” -$\widehat u$ Text5_{1} = “-$\widehat u$” -$\widehat u$ Text5_{1} = “-$\widehat u$” -$\widehat u$ Text5_{1} = “-$\widehat u$” $\widehat u$ Text5_{2} = “$\widehat u$” $\widehat u$ Text5_{2} = “$\widehat u$”


    Momentanwert einer Wechselgröße

    Der Momentanwert einer sinusförmigen Wechselgröße ändert sich kontinuierlich. Der Momentanwert, auch als Augenblickswert veranschaulicht, nimmt im Laufe eine Periode den Wert Null, den positiven Scheitelwert , den Wert Null, den negativen Scheitelwert und wieder den Wert Null an.

    • Strom und Spannung als sich zeitlich ändernde Momentanwerte
      \(\eqalign{ & i\left( t \right) = \widehat i \cdot \sin \left( {\omega t + {\varphi _i}} \right) \cr & u\left( t \right) = \widehat u \cdot \sin \left( {\omega t + {\varphi _u}} \right) \cr} \)
    • Strom und Spannung in komplexer Zeigerdarstellung
      \(\eqalign{ & \underline i \left( t \right) = \widehat i \cdot \left[ {\cos \left( {\omega t + {\varphi _i}} \right) + j \cdot \sin \left( {\omega t + {\varphi _i}} \right)} \right] = \widehat i \cdot {e^{j\left( {\omega t + {\varphi _i}} \right)}} \cr & \underline u \left( t \right) = \widehat u \cdot \left[ {\cos \left( {\omega t + {\varphi _u}} \right) + j \cdot \sin \left( {\omega t + {\varphi _u}} \right)} \right] = \widehat u \cdot {e^{j\left( {\omega t + {\varphi _u}} \right)}} \cr}\)

    Scheitelwert einer Wechselgröße

    Der Scheitelwert ist der Maximalwert einer Wechselgröße während einer Halbperiode. Innerhalb einer vollen Periode einer sinusförmigen Wechselgröße tritt er einmal als positiver und einmal als negativer Scheitelwert auf. Um den Scheitelwert, der im Fall einer sinusförmigen Wechselgröße zugleich der Amplitude entspricht, vom Effektivwert unterscheiden zu können, erhält er ein kleines "Dach" über dem Kleinbuchstaben. Für den Scheitelwert werden aber auch Großbuchstaben US, IS verwendet.

    \(\begin{array}{l} \widehat i = I \cdot \sqrt 2 = {I_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {I_N} \cdot \sqrt 2 \\ \widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 \\ {U_N} = {U_{eff}} = 230V \leftrightarrow \widehat u = 325V \end{array}\)


    Der Effektivwert

    Der Effektivwert ist der quadratische Mittelwert des zugrunde liegenden periodischen Signals. Unter dem - zeitlich konstanten - Effektivwerten Ueff, Ieff einer zeitabhängigen Wechselspannung u(t) bzw. Wechselstroms i(t) versteht man das Äquivalent jener Gleichgröße U, I, die an einem ohmschen Widerstand während einer Periode die gleiche Energie umsetzt. Der Effektivwert wird auch quadratischer zeitlicher Mittelwert genannt. Für eine beliebige - nicht notwendiger Weise sinusförmigen - Kurvenform berechnet sich der Effektivwert gemäß der Formel

    \(\eqalign{ & {U_{eff}} = \sqrt {\dfrac{1}{T} \cdot \int\limits_{{t_0}}^{{t_0} + T} {{u^2}\left( t \right)\,\,dt} } \cr & {I_{err}} = \sqrt {\dfrac{1}{T} \cdot \int\limits_{{t_0}}^{{t_0} + T} {{i^2}\left( t \right)\,\,dt} } \cr} \)

    Dabei quadriert man den periodischen Strom, dann bildet man den Mittelwert indem man mit 1/T multipliziert und zieht anschließend die Wurzel.


    Die Nennspannung, der Nennstrom

    Nennspannung ist eine alternative Bezeichnung für die Effektivspannung. Der Effektivwert Ueff der Wechselspannung im Haushalt beträgt UN=230V.

    Tatsächlich werden die Haushalte aber mit Drehstrom versorgt.

    • Bei der Nennspannung im Wechselstromnetz, etwa im Haushalt, handelt es sich schaltungstechnisch gesehen um die Spannung von 230 V zwischen einem Außenleiter und dem Sternpunkt eines Drehstromsystems. Die Nennspannung von 230 V (zugleich der Effektivwert) ist im Wechselstromkreis um den Faktor \(\sqrt 2 = 1,4142\) kleiner als die Amplitude (zugleich der Scheitelwert) von 325V der sinusförmigen Wechselgröße im Wechselstromkreis.
    • Bei der Nennspannung vom Drehstromnetz handelt es sich schaltungstechnisch gesehen um die Spannung von 400V zwischen zwei Außenleitern des Drehstromnetzes. D.h. die Nennspannung vom Drehstrom ist um das \(\sqrt 3 \)-fache höher als die Nennspannung vom Wechselstrom.

    \(\eqalign{ & {U_{eff}} = \dfrac{{\widehat u}}{{\sqrt 2 }} \cr & {I_{eff}} = \dfrac{{\widehat i}}{{\sqrt 2 }} \cr} \)


    Gesamteffektivwert von Wechselgrößen bei Überlagerung von n sinusförmigen Schwingungen

    Der Gesamteffektivwert von Wechselgrößen bei der Überlagerung von mehreren sinusförmigen Schwingungen, wie sie etwa das Resultat einer Fourier-Entwicklung sind, errechnet sich aus der Wurzel von der Summe der quadrierten Effektivwerte der Grund- und der n Oberschwingungen

    \(\eqalign{ & I = \sqrt {{I_1}^2 + {I_2}^2 + ... + {I_k}^2} = \sqrt {\sum\limits_{k = 1}^n {{I_k}^2} } = \sqrt {\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {\dfrac{{{{\widehat i}_k}}}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}} } = \dfrac{{\sqrt {\sum {{{\widehat i}^2}} } }}{{\sqrt 2 }} \cr & U = \sqrt {{U_1}^2 + {U_2}^2 + ... + {U_k}^2} = \sqrt {\sum\limits_{k = 1}^n {{U_k}^2} } = \sqrt {\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {\dfrac{{{{\widehat u}_k}}}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}} } = \dfrac{{\sqrt {\sum {{{\widehat u}^2}} } }}{{\sqrt 2 }} \cr}\)


    Gleichwert von Wechselstromgrößen

    Der Gleichwert einer Wechselstromgröße errechnet sich aus dem Integral des zeitlichen Verlaufs der Wechselgröße, dividiert durch die Periodendauer T, ist also dessen arithmetischer Mittelwert. Wie für arithmetische Mittelwerte üblich, schreibt man einen kleinen Querstrich über den Kleinbuchstaben. Der Gleichwert einer sinusförmigen Wechselgröße ist Null, da sich die Flächen unterhalb bzw. oberhalb der Zeitachse gegenseitig aufheben. Auf einen stromdurchflossenen Leiter in einem Magnetfeld wirkt eine Kraft, die proportional dem Gleichwert des Stroms ist.

    \(\eqalign{ & \overline i = \dfrac{1}{T} \cdot \int\limits_t^{t + T} {\left| i \right|\,\,dt} \cr & \overline u = \dfrac{1}{T} \cdot \int\limits_t^{t + T} {u\,\,dt} \cr}\)

    Bei einer periodisch schwingenden Wechselgröße mit einem Gleichwert ungleich null handelt es sich um eine Mischgröße, bestehend aus einem Gleichwert und einem Wechselanteil.


    Gleichrichtwert von Wechselstromgrößen

    Der Gleichrichtwert ist der durch eine Brückenschaltung mit idealen Dioden gleichgerichtete arithmetische Mittelwert einer periodischen Wechselgröße. Es handelt sich um das Integral über die Betragsfunktion der Wechselgröße bezogen auf die Periodendauer.

    \(\eqalign{ & \left| {\overline i } \right| = \dfrac{1}{T} \cdot \int\limits_t^{t + T} {\left| i \right|\,\,dt} \cr & \left| {\overline u } \right| = \dfrac{1}{T} \cdot \int\limits_t^{t + T} {\left| u \right|\,\,dt} \cr} \)


    Illustration eines gleichgerichteten Wechselstroms

    Illustration eines gleichgerichteten Wechselstroms, dessen negative Anteile unter der t-Achse zufolge einer Gleichrichter-Diodenschaltung in den positiven Wertebereich oberhalb der t-Achse geklappt wurden.
    Funktion f f(x) = sin(x) + 0.05 Funktion h h(x) = abs(sin(x)) i=i(t) Text1 = “i=i(t)” $\left| i \right|$ Text2 = “$\left| i \right|$” $\left| i \right|$ Text2 = “$\left| i \right|$” $\left| i \right|$ Text2 = “$\left| i \right|$”

    Scheitelwert einer Wechselspannung
    Maximalwert einer Wechselspannung
    Scheitelfaktor im Wechselstromkreis
    Gleichwert von Wechselstromgrößen
    Gleichrichtwert von Wechselstromgrößen
    Effektivwert bei Überlagerung von mehreren sinusförmigen Schwingungen
    Effektivwert einer Wechselspannung
    Effektivwert bei beliebiger Kurvenform
    Nennspannung
    Nennstrom
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    Grundschwingungsgehalt von Wechselstromgrößen

    Der Grundschwingungsgehalt g einer Wechselstromgröße ist der Quotient des Effektivwerts der Grundschwingung I1 bzw. U1 zum Gesamteffektivwert. Er ist ein Maß für die Dominanz der Grundschwingung (n=1) zum Gesamteffektivwert aller Schwingungen \((n = 1..\infty)\)

    \(\eqalign{ & {g_I} = \dfrac{{{I_1}}}{I} = \dfrac{{{I_1}}}{{\sqrt {{I_1}^2 + {I_2}^2 + ... + {I_k}^2} }} \cr & {g_U} = \dfrac{{{U_1}}}{U} = \dfrac{{{U_1}}}{{\sqrt {{U_1}^2 + {U_2}^2 + ... + {U_k}^2} }} \cr}\)


    Oberschwingungen

    Unter Oberschwingungen einer periodischen Wechselgröße versteht man Schwingungen mit einem ganzzahligen Vielfachen der Frequenz der zugrunde liegenden Grundschwingung. Die Grundschwingung (n=1) und ihre Oberschwingungen \(n = 2..\infty \) addieren sich zu einer mehr oder weniger verzerrten Gesamtschwingung.


    Oberschwingungsgehalt

    Der Oberschwingungsgehalt oder Klirrfaktor ist definiert als der Quotient der Effektivwerts aller Oberschwingungen (somit \(n = 2..\infty \) )zum Gesamteffektivwert aller Schwingungen (\(n = 1..\infty \)).

    \({k_I} = \dfrac{{\sqrt {\sum\limits_{n = 2}^\infty {{I_n}^2} } }}{{\sqrt {\sum\limits_{n = 1}^\infty {{I_n}^2} } }}\)

    \({k_U} = \dfrac{{\sqrt {\sum\limits_{n = 2}^\infty {{U_n}^2} } }}{{\sqrt {\sum\limits_{n = 1}^\infty {{U_n}^2} } }}\)

    Der Klirrfaktor ist ein Maß für die Abweichung der Wechselgröße i(t), u(t) von der idealen Sinusform. Er ist für eine reine Sinusgröße daher Null.


    Beziehung Grundschwingungsgehalt zum Oberschwingungsgehalt

    Die Beziehung Grundschwingungsgehalt g zum Oberschwingungsgehalt k lautet: Die Summe der jeweiligen Quadrate aus Grund- und Oberschwingungsgehalt ist gleich 1

    \({k^2} + {g^2} = 1\)

    bzw.:

    \(\eqalign{ & {k_I} = \sqrt {1 - {g_i}^2} \cr & {k_U} = \sqrt {1 - {g_U}^2} \cr}\)


    Illustration einer Grundschwingung und zweier Oberschwingungen und der Summenschwingung.

    In elektrischen Energienetzen sind nur ungerade-ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz von praktischer Bedeutung. Sie entstehen durch Rückwirkungen von Transformatoren, durch Verbraucher (Phasenanschnittsteuerungen, Gleichrichter) oder den Wechselrichtern von Fotovoltaikanlagen, auf die durch die Synchrongeneratoren erzeugte 50 Hz (USA 60 HZ) Grundschwingung
    Funktion f f(x) = 3sin(x) Funktion g g(x) = sin(3x) Funktion h h(x) = 0.5sin(5x) Funktion p p(x) = 3sin(x) + sin(3x) + 0.5sin(5x) u_1(t) Text1 = “u_1(t)” u_1(t) Text1 = “u_1(t)” u_1(t) Text1 = “u_1(t)” u_3(t) Text2 = “u_3(t)” u_3(t) Text2 = “u_3(t)” u_3(t) Text2 = “u_3(t)” u_5(t) Text3 = “u_5(t)” u_5(t) Text3 = “u_5(t)” u_5(t) Text3 = “u_5(t)” u(t) Text7 = “u(t)” U Text8 = “U”


    Klirrfaktor einer einzelnen Teilschwingung

    Der Klirrfaktor ist ein Maß für die Abweichung einer Wechselgröße von der idealen Sinusform. Der Klirrfaktor einer einzelnen Teilschwingung ist definiert als Quotient des Effektivwerts der n-ten Oberschwingung zum Gesamteffektivwert aller Schwingungen (\(n = 1..\infty \)).

    \(\eqalign{ & {k_n} = \dfrac{{{I_n}}}{I} = \dfrac{{{I_n}}}{{\sqrt {{I_1}^2 + {I_2}^2 + ... + {I_n}^2} }} \cr & {k_n} = \dfrac{{{U_n}}}{U} = \dfrac{{{U_n}}}{{\sqrt {{U_1}^2 + {U_2}^2 + ... + {U_n}^2} }} \cr}\)

    Grundschwingungsgehalt von Wechselstromgrößen
    Oberschwingungsgehalt
    Oberschwingung
    Klirrfaktor einer Teilschwingung
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    Elektrische Leistung im Wechselstromkreis

    Bei sinusförmigem Verlauf von Strom i(t) und Spannung u(t), die gegen einander im den Winkel φ phasenverschoben sind, muss man einen zeitlich konstanten Mittel- bzw. Effektivwert der Wechselstrom-Wirkleistung P und der Wechselstrom-Blindleistung Q separat angeben. Da P und Q um 90° phasenverschoben sind, kann man sie grafisch gemäß dem Pythagoräischen Lehrsatz zur Wechselstrom-Scheinleistung S addieren.

    \(\begin{array}{l} P = U \cdot I \cdot \cos \varphi \\ Q = U \cdot I \cdot \sin \varphi \\ S = \sqrt {{P^2} + {Q^2}} = U \cdot I \end{array}\)

    P Wirkleistung in W (Watt)
    Q Blindleistung in var (Volt-Ampere reaktiv)
    S Scheinleistung in VA (Volt-Ampere)

    Für die zeitabhängige Scheinleistung ergibt sich
    \(s\left( t \right) = u\left( t \right) \cdot i\left( t \right) = P \cdot \left[ {1 + \cos \left( {2\omega t} \right)} \right] - Q \cdot \sin \left( {2\omega t} \right)\)
    (Details zur Herleitung siehe Lösungsweg zur Aufgabe 221)

    Interpretation:

    • Beide Terme haben jeweils die halbe Periode bzw. die doppelte Frequenz von u(t) bzw. i(t)
    • Der 1. Term \(P\left[ {1 + \cos \left( {2\omega t} \right)} \right]\) schwingt um P und hat die Amplitude 2P. Über die Zeit wird physikalische Energie übertragen.
    • Der 2. Term \(Q \cdot \sin \left( {2\omega t} \right)\) schwingt um 0 und hat die Amplitude Q. Der Mittelwert dieser Komponente ist Null. Es handelt sich um eine reine Pendelleistung, die nur die Leitungen belastet, die aber über die Zeit nichts zum Energietransport beiträgt. Energie wird in (Induktivitäten und Kapazitäten gegengleich) in einer Viertelperiode eingespeichert und in der nächsten Viertelperiode wieder abgegeben.
    Elektrische Leistung im Wechselstromkreis
    Wirkleistung im Wechselstromkreis
    Blindleistung im Wechselstromkreis
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    Aufgabe 221

    Leistungsberechnung im Wechselstromkreis

    Berechne für \(u\left( t \right) = U \cdot \sqrt 2 \cdot \cos \left( {\omega t + {\varphi _u}} \right)\) und für \(i\left( t \right) = I \cdot \sqrt 2 \cdot \cos \left( {\omega t + {\varphi _i}} \right)\) den Wirk- und den Blindleistungsanteil und interpretiere deren Mittelwerte.

    Elektrische Leistung im Wechselstromkreis
    Produkte von Winkelfunktionen
    Erster Summensatz Winkelfunktionen
    Wirkleistung im Wechselstromkreis
    Blindleistung im Wechselstromkreis
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    Leistungsberechnung im Wechselstromkreis - 221. Aufgabe
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    Aufgabe 255

    In einem Einfamilienhaus soll der Bezug von Strom und Gas aus dem öffentlichen Netz durch den Einsatz von Wärmepumpen und Photovoltaikanlagen reduziert werden. 

    1. Teilaufgabe:

    Die spezifische Wärmekapazität von flüssigem Wasser beträgt \(4,190\dfrac{{kJ}}{{kg \cdot K}}\). Es soll ein 270 Liter Brauchwasserboiler eingesetzt werden. Das zufließende Wasser aus der öffentlichen Wasserleitung hat eine Temperatur von 7°C, das Brauchwasser (Abwasch, Dusche, Bad,...) soll 45°C haben.

    Berechne, wie viel Energie in kWh pro Jahr erforderlich sind, um das Wasser zu erwärmen.


    2. Teilaufgabe:

    • Eine kWh Gas kostet inkl. MWST  4,8374 Cent bzw. 0,0484 €.
    • Eine kWh Nachtstrom kostet inkl. MWST 14,21 Cent bzw. 0,1421 €
    • Eine kWh Tagstrom kostet inkl. MWST 17,20 Cent bzw. 0,1720 €

    Berechne die jährlichen Energiekosten des Brauchwasserboilers für jede der 3 Heizformen.


    3. Teilaufgabe:

    An dem Brauchwasserboilder soll eine Luft-Luft Wärmepumpe angebracht werden, die dem Raum Wärme entzieht und damit das Brauchwasser erwärmt. Die Brauchwasser-Wärmepumpe hat einen Effizienzfaktor COP = 3. D.h. sie nimmt 500 W elektrische Leistung aus dem Stromnetz auf und erzeugt 1.500 Heizleistung.

    Berechne die jährlichen Stromkosten für den Betriev der Brauchwasser-Wärmepumpe.

    Elektrische Leistung P
    Energie um Wasser zu erwärmen
    Wirtschaftlichkeit Brauchwasser-Wärmepumpe
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    • Verständliche Erklärungen – schneller Lernerfolg – mehr Freizeit: Ehemalige Matura- bzw. Abiturbeispiele werden schriftlich vorgerechnet, damit Schüler den vollständigen Rechenweg 1:1 nachvollziehen können. Die ehemaligen Aufgaben sind sowohl chronologisch nach Prüfungstermin, als auch inhaltlich nach Lehrstoff sortiert, mittels anklickbarer Tags auffindbar.
    • Vernetzung von Lehrstoff und Rechenaufgaben über Tags: "Aufgaben passend zum Lernstoff" oder "Grundlagenwissen zur jeweiligen Aufgabe" sind mittels Tags leicht zu finden.
    • 1.000 Videos zum Rechenweg: Auch Dank der freundlichen Genehmigung des Bundesministeriums für Bildung, binden wir direkt in den Lösungsweg von Maturabeispielen, videobasierte Erklärungen ein.
    • 4.000 MINT-Fachbegriffe: Nutzer können gezielt nach Fachbegriffen suchen. Bei mehreren Treffern erfolgt die Auswahl über stichwortartige Zusammenfassungen.
    • 2.000 GeoGebra Illustrationen: Alle unsere rd. 2.000 selbst erstellten vektorbasierten Grafiken wurden mit GeoGebra erstellt. Zusätzlich verlinken wir auf anschauliche interaktive Illustrationen auf der GeoGebra Lernplattform.
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