Berechnung von Wechselstromkreisen

Gegenüberstellung Wechselstrom und Gleichstrom

Haben in einem Leiter Strom und Spannung einen sinusförmigen Verlauf mit der gleichen Periodenlänge, dann spricht man von Wechselstrom. Im Gegensatz zum Gleichstrom sind beim Wechselstrom die elektrischen Größen zeitabhängig, was man durch die Verwendung von Kleinbuchstaben i(t), u(t) hervorhebt.

Vorteil von Wechselstrom gegenüber Gleichstrom

• Reduzierung der Leitungsverluste: Man kann bei gegebener Leistung \(S = U \cdot I\) das Verhältnis von Strom und Spannung mit Hilfe eines Transformators indirektproportional ändern. Da die ohmschen Leitungsverluste mit dem Quadrat der Stromstärke steigen, transformiert man am Leitungsanfang die Spannung rauf. Da der Strom im selben Verhältnis sinkt, reduzieren sich so die Verluste entlang der Leitung. Am Ende der Leitung transformiert man die Spannung wieder runter. Dies ermöglicht Drehstromleitungen mit 1.150 kV, 5,5 GVA und Leitungslängen von 700 km (Kasachstan; Erkbastus - Kökschetau).
• Stromunterbrechbarkeit: Auf Grund der 2 Nulldurchgänge des Wechselstroms pro Periode (also 100 Mal pro Sekunde bei f=50Hz) kann Wechselstrom leichter ausgeschaltet werden, als Gleichstrom
• Lange Lebensdauer der Primärtechnik: Keine Leistungselektronik, also kein Gleich- und Wechselrichter wie bei HGÜ erforderlich
  

Vorteile von Gleichstrom gegenüber Wechselstrom

• Keine Blindleistungskompensation: Sehr lange Wechselstrom-Freileitungen (> 700 km) und lange Wechselstrom-Kabel (>10km) verschieben auf Grund von Leitungskapazitäten und der Ummagnetisierung des Feldes zufolge der Frequenz des Wechselstroms die eingespeiste Wirkleistung in unerwünschte Blindleistung, was den Einsatz von Blindleistungskompensatoren erforderlich macht. Dieses Problem gibt es bei Gleichstrom nicht. Hochspannungs-Gleichstromübertragungen ermöglichen +/- 800 kV, 8 GW über 2.000 km zu übertragen (China; Hami - Zhengzhou).
• Ermöglicht lange (Untersee-)Kabelleitungen und funktioniert mit 2 statt 3 Leitern
• Kopplung von Wechselstromnetzen: HGÜ von wenigen Metern Leitungslänge ermöglichen die Kopplung von Wechselstromnetzen bei unterschiedlicher Netzfrequenz oder unterschiedlicher Leistungs-Frequenzregelungskonzepten

Bei Wechselspannung handelt es sich in der Praxis um die Strangspannung, d.h. um die Spannung zwischen einem Außenleiter und dem Sternpunkt in einem Dreiphasenwechselstromsystem, kurz Drehstromsystem genannt.

Strom und Spannung (als zeitunabhängige, konstante Größen im eingeschwungenen) Gleichstromkreis

\(\begin{array}{} I\\ U \end{array}\)

Strom und Spannung als sich zeitlich ändernde Wechselgrößen

\(\eqalign{ & i\left( t \right) = \widehat i \cdot \sin \left( {\omega t + {\varphi _i}} \right) \cr & u\left( t \right) = \widehat u \cdot \sin \left( {\omega t + {\varphi _u}} \right) \cr} \)

Strom und Spannung in komplexer Zeigerdarstellung

\(\eqalign{ & \underline i \left( t \right) = \widehat i \cdot \left[ {\cos \left( {\omega t + {\varphi _i}} \right) + j \cdot \sin \left( {\omega t + {\varphi _i}} \right)} \right] = \widehat i \cdot {e^{j\left( {\omega t + {\varphi _i}} \right)}} \cr & \underline u \left( t \right) = \widehat u \cdot \left[ {\cos \left( {\omega t + {\varphi _u}} \right) + j \cdot \sin \left( {\omega t + {\varphi _u}} \right)} \right] = \widehat u \cdot {e^{j\left( {\omega t + {\varphi _u}} \right)}} \cr}\)

Phasenlage von Strom und Spannung im Wechselstromkreis

Unter der Phasenlage versteht man die unterschiedlichen Zeitpunkte der Nulldurchgänge von 2 Sinusschwingungen (Strom u. Spannung), obwohl sie die gleiche Frequenz (50 Hz) haben. Die Phasenverschiebung wird als Winkel angegeben, wobei einer vollen Periode der Winkel von 360° bzw. \(2\pi\) entspricht.

Phasenverschiebungswinkel zwischen Strom und Spannung im Wechselstromkreis

Der Phasenverschiebungswinkel \(\varphi\) ist ein Maß für den zeitlichen Abstand der Nulldurchgänge von Spannung und Strom.

\(\eqalign{ & {\varphi _{Str}} = {\varphi _{u,\,Str}} - {\varphi _{i,\,Str}}; \cr & \varphi = {\varphi _u} - {\varphi _i}; \cr}\)

• \(\varphi = 0^\circ\) Ohmscher Widerstand: Spannung und Strom liegen in Phase
• \(\varphi = 90^\circ\) Induktivität: Spannung eilt dem Strom um 90° voraus
• \(\varphi = - 90^\circ\) Kapazität: Spannung eilt dem Strom um 90° nach

Ohmscher Widerstand

Beim ohmschen Widerstand sind Strom und Spannung sind in Phase. Der komplexe Widerstand Z_R hat nur einen Realteil aber keinen Imaginärteil

\(\eqalign{ & \dfrac{u}{R} = i \cr & {Z_R} = \dfrac{{\underline u }}{{\underline i }} = R \cr & U{e^{j0}} = R{e^{j0}} \cdot I{e^{j0}} \cr} \)

Induktiver Widerstand

Beim induktiven Widerstand elt der Strom der Spannung nach. Die Spannung ist proportional zur Änderung der Stromstärke. Eine ideale Spule (R=0) bewirkt, dass die Spannung dem Strom um \(\dfrac{\pi }{2} = 90^\circ\) voreilt. Der komplexe Widerstand X_L wird auf der positiven imaginären Achse aufgetragen.

\(\eqalign{ & \dfrac{{\underline u }}{L} = \dfrac{{di}}{{dt}} = \widehat i \cdot {e^{j\left( {\omega t + {\varphi _i}} \right)}} \cdot j\omega = \underline i \cdot j\omega \cr & {Z_L} = {X_L} = \dfrac{{\underline u }}{{\underline i }} = j \cdot \omega L = \omega L \cdot {e^{j\dfrac{\pi }{2}}} = \omega L \cdot {e^{j90^\circ }} \cr & U{e^{j0}} = \omega L{e^{j\varphi }} \cdot I{e^{ - j\varphi }} \cr} \)

Kapazitiver Widerstand

Beim kapazitiven Widerstand eilt der Strom der Spannung vor. Die Stromstärke ist proportional zur Änderung der Spannung. Ein idealer Kondensator (\(R = \infty \)) ) bewirkt dass die Spannung dem Strom um \(- \dfrac{\pi }{2} = - 90^\circ\) nacheilt. Der komplexe Widerstand X_C wird auf der negativen imaginären Achse aufgetragen.

\(\eqalign{
& \dfrac{{\underline i }}{C} = d\frac{{du}}{{dt}} = \widehat u \cdot {e^{j\left( {\omega t + {\varphi _U}} \right)}} \cdot j\omega = \underline u \cdot j\omega \cr
& {Z_C} = {X_C} = \dfrac{{\underline u }}{{\underline i }} = \dfrac{1}{{j\omega C}} = - j\dfrac{1}{{\omega C}} = \dfrac{1}{{\omega C}} \cdot {e^{ - j\dfrac{\pi }{2}}} = \dfrac{1}{{\omega C}} \cdot {e^{ - j90^\circ }} \cr
& U{e^{j0}} = \dfrac{1}{{\omega C}}{e^{ - j\varphi }} \cdot I{e^{j\varphi }} \cr} \)

Frequenz im Wechselstromkreis

Die in Herz gemessene Frequenz gibt an, wie viele Perioden eine Wechselgröße in einer Sekunde durchläuft. Eine Periode entspricht einer positiven plus einer negativen Halbwelle einer sinusförmigen Schwingung. Die Zeit, die zum Durchlaufen einer Periode benötigt wird, nennt man die Periodendauer. In Nordamerika (Kanada, USA, Mexiko) und in wenigen andern Ländern wie Brasilien beträgt die Netzfrequenz 60Hz. Im Großteil der Welt beträgt die Netzfrequenz 50Hz.

\(f = \dfrac{1}{T}\)

Praktische Bedeutung der Netzfrequenz von 50 Hz

Elektrische Energie wird vorwiegend mittels Synchrongeneratoren - alternativ auch mittels Wechselrichter aus Gleichstrom etwa von Photovoltaikanlagen - erzeugt. Die Netzfrequenz beträgt in den 3 europäischen Verbundnetzen UCTE, NORDEL und IPS/UPS einheitlich 50 Hz.

Elektrische Leistung muss immer im selben Augenblick wo sie verbraucht wird auch erzeugt werden. Ist das nicht der Fall, hat das Auswirkungen auf die Netzfrequenz, was sich in der Praxis sogar in der Genauigkeit der Uhrzeit bei netzsynchronen Uhren mit bis zu 6 Minuten Anzeigeungenauigkeit niederschlagen kann.

• Übersteigt der Verbrauch kurzzeitig die Erzeugung, so sinkt die Netzfrequenz. Die fehlende Energie stammt aus der rotierenden Masse aller beteiligten Synchrongeneratoren, die so Rotationsenergie verlieren und demzufolge langsamer drehen, was wiederum zu einem Absinken der Netzfrequenz führt. Eine lokale Abweichung in Form von einem Totband von +/- 20 mHz ist zulässig, ohne dass Regelleistung eingesetzt wird.
• Im normalen Netzbetrieb darf die Frequenz um +/- 200 mHz vom Sollwert 50 Hz abweichen. Derartige Abweichungen (49,8 bzw. 50,2 Hz) werden durch den Einsatz der Primär-, Sekundär- und Tertiärregelung ausgeregelt.
• Übersteigt die Abweichung +/- 800 mHz, entsprechend 49,2 bzw. 50,8 Hz auch nur kurzfristig, werden Verbraucher oder Erzeuger abgeworfen, d.h. von Netz getrennt.
• Die größte Gefahr für ein Übertragungsnetz geht aber durch den ungeplanten Ausfall von großen Kraftwerken aus, denn sinkt die Frequenz auf unter 47,7 Hz trennen sich die Kraftwerke automatisch von Netz ab. Die Folge davon ist der Zerfall des Verbundnetzes in Inselnetze bzw. der Netzzusammenbruch.

Kreisfrequenz im Wechselstromkreis

Die Kreisfrequenz ist das 2π -fache der Frequenz. Die Kreisfrequenz \(\omega\) entspricht dem in 1 Sekunde vom einem Zeiger der Länge 1 überstrichenem Winkel. Da die Kreisfrequenz das Produkt von \(2 \cdot \pi\) und der Frequenz f ist, wird bei einer Frequenz von 50 Hz der Kreis vom zugehörigen Zeiger 50 mal pro Sekunde umlaufen.

\(\omega = 2 \cdot \pi \cdot f = \dfrac{{2 \cdot \pi }}{T}\)

Ohmsches Gesetz für Wechselstromkreise

In realen Wechselstromkreisen kommen ohmsche, kapazitive und induktive Widerstände zusammen vor. Da die zugehörigen Ströme und Spannungen eine Phasenverschiebung zu einander aufweisen, hat die sich daraus ergebende Impedanz, der sogenannte Scheinwiderstand, einen Real- und einen Imaginäranteil. Der Scheinwiderstand (Impedanz Z) ist dabei die geometrische Summe aus dem ohmschen bzw. Wirkwiderstandsanteil (Resistanz R) und dem frequenzabhängigen Blindwiderstand (Reaktanz X).

Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis

Der ohmsche Widerstand R im Wechselstromkreis ist unabhängig von der Frequenz und verursacht keine Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung. Der ohmsche Widerstand geht vollständig in den Realteil vom komplexen Widerstand Z ein.

\(R = \dfrac{U}{I}\)

Illustration des zeitlichen Verlaufs der zeitabhängigen Größen Strom und Spannung in einem rein ohmschen Stromkreis

Kapazitiver Widerstand im Wechselstromkreis

Der kapazitive Blindwiderstand X_C im Wechselstromkreis ist indirekt proportional der Frequenz und verursacht eine 90° Phasenverschiebung, bei welcher der Strom der Spannung vorauseilt. Die Höhe vom kapazitiven Widerstand X_C eines Kondensators im Wechselstromkreis hängt ab von der Bauform des Kondensators und von der Frequenz des Wechselstroms. Zufolge einer 50 Hz Wechselspannung wird ein Kondensator in einer Sekunde 50 mal jeweils aufgeladen, entladen, mit entgegengesetzter Polung aufgeladen und wieder entladen. Der kapazitive Widerstand geht vollständig in den Imaginärteil vom komplexen Widerstand Z ein.

\({X_C} = \dfrac{1}{{\omega \cdot C}} = \dfrac{1}{{2\pi f \cdot C}} \to \overrightarrow Z = - j\dfrac{1}{{\omega \cdot C}}\)

Ein idealer Kondensator \(\left( {R = \infty } \right)\) stellt einen rein kapazitiven Blindwiderstand X dar. Während ein Kondensator im Gleichstromkreis wie eine Leitungsunterbrechung wirkt, lässt er im Wechselstromkreis einen reinen Blindstrom durch, da er sich periodisch lädt und entlädt. Strom und Spannung sind um 90° phasenverschoben, wobei der Strom der Spannung vorauseilt. Da sich die Spannung am stärksten in ihrem Nulldurchgang ändert, hat zeitgleich der Strom sein Maximum.

Illustration des zeitlichen Verlaufs der zeitabhängigen Größen Strom und Spannung in einem rein kapazitiven Stromkreis

Induktiver Widerstand im Wechselstromkreis

Der induktive Blindwiderstand X_L im Wechselstromkreis ist direkt proportional der Frequenz und verursacht eine 90° Phasenverschiebung, bei welcher der Strom der Spannung nacheilt. Die Höhe vom induktive Widerstand X_L einer Spule im Wechselstromkreis hängt ab von der Bauform der Spule (L) und von der Frequenz f des Wechselstroms. Zufolge eines 50 Hz Wechselstroms wird in einer Spule in einer Sekunde 50 mal durch Selbstinduktion ein magnetisches Feld auf und wieder abgebaut, mit entegengesetzer Richtung wieder aufgebaut und erneut abgebaut. Der induktive Widerstand geht vollständig in den Imaginärteil vom komplexen Widerstand Z ein.

\({X_L} = \omega \cdot L = 2\pi f \cdot L \to \overrightarrow Z = j \cdot \omega \cdot L\)

Eine ideale Spule (R=0) stellt einen rein induktiven Blindwiderstand X dar. Während eine Spule im Gleichstromkreis wie ein Kurzschluss wirkt, speichert und entlädt sie im Wechselstromkreis elektrische Energie ohne dabei Wirkleistung zu erbringen. Strom und Spannung sind um 90° phasenverschoben, wobei der Strom der Spannung nacheilt. Die Selbstinduktion der Spule verzögert nämlich den Stromfluss.

Illustration des zeitlichen Verlaufs der zeitabhängigen Größen Strom und Spannung in einem rein induktiven Stromkreis

Reihen- bzw. Serienschaltung von Widerständen im Wechselstromkreis

Eine Reihenschaltung von Impedanzen liegt dann vor, wenn alle Widerstände ohne Verzweigung hinter einander, also am selben Pfad, geschaltet sind und daher vom gleichen Strom durchflossen werden.

Bei der Reihenschaltung von Impedanzen

• ist die Gesamtimpedanz Z gleich der Summe der Einzelimpedanzen Z_i.
  \({\underline Z _{Serie}} = {\underline Z _1} + {\underline Z _2} + ... + {\underline Z _n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\underline Z }_i}} \)
  • Bei von Gleichstrom durchflossenen Widerständen ist der Gesamtwiderstand immer größer als der größte Teilwiderstand ist.
  • Bei von Wechselstrom durchflossenen Impedanzen kann die Gesamtimpedanz zufolge von sich kompensierenden Phasendrehungen auch kleiner als die größte Teilimpedanz sein​
    ​​​
• ​fließt durch alle Impedanzen der selbe Strom, dessen Stromzeiger man in die x-Achse mit φ = 0° legt
  • Die Spannung am kapazitiven Blindwiderstand hat einen Phasenwinkel von φ = −90°.
  • Die Spannung am induktiven Blindwiderstand hat den Phasenwinkel von φ = +90°.
  • Die Summenspannung an einer RLC Reihenschaltung ist bei −φ überwiegend kapazitiv, bei +φ überwiegend induktiv. Für einer charakteristischen Frequenz, der Resonanzfrequenz, heben sich die beiden Blindwiderstände auf und es wirkt einzig der ohmsche Anteil. Dann sind Strom und Spannung in Phase.
     
• ergibt die Summe aller Teilspannungen U_i wieder die angelegte Gesamtspannung U_{ges
  \({\underline U _{ges}} = {\underline U _1} + {\underline U _2} + ... + {\underline U _n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\underline U }_i}} \)}

Serienersatzschaltung bei gegebenem Strom, Spannung und Phasenwinkel im Wechselstromkreis

Hat man Strom, Spannung und Phasenwinkel im Wechselstromkreis gegeben, so errechnen sich der Wirk- und der Blindwiderstand einer Serien-Ersatzschaltung wie folgt:

\(\eqalign{ & U,I,{\varphi _Z} \cr & {R_{Serie}} = \dfrac{U}{I} \cdot \cos {\varphi _Z} \cr & {X_{Serie}} = \dfrac{U}{I} \cdot \sin {\varphi _Z} \cr} \)

Spannungsteiler im Wechselstromkreis

Eine Serienschaltung von Widerständen entspricht einem Spannungsteiler. Der Spannungsabfall an der k-ten Impedanz ergibt sich aus der Gesamtspannung mal betrachteter (k-ter) Impedanz dividiert durch die Summe aller Impedanzen

\({\underline U _k} = \underline U \cdot \dfrac{{{{\underline Z }_k}}}{{{{\underline Z }_1} + {{\underline Z }_2} + .. + {{\underline Z }_n}}}\)

Parallelschaltung von Widerständen im Wechselstromkreis

Eine Parallelschaltung von Impedanzen liegt vor, wenn alle Impedanzen an der gleichen Spannung U hängen.

Bei der Parallelschaltung von Impedanzen

• liegt an allen Impedanzen die gleiche Spannung an, dessen Spannungszeiger man in die x-Achse mit φ = 0° legt
  • Der Strom am kapazitiven Blindwiderstand hat einen Phasenwinkel von φ = +90°
  • Der Strom am induktiven Blindwiderstand hat den Phasenwinkel von φ = -90°
  • Die Summenstrom an einer RLC Parallelschaltung ist bei +φ überwiegend kapazitiv, bei -φ überwiegend induktiv. Für einer charakteristischen Frequenz, der Resonanzfrequenz, heben sich die beiden Blindwiderstände auf und es wirkt einzig der ohmsche Anteil. Dann sind Strom und Spannung in Phase.
• ist der Gesamtadmittanz Y gleich der Summe der Einzeladmittanzen Y
  \({\underline Y _{ges}} = {\underline Y _1} + {\underline Y _2} + ... + {\underline Y _n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\underline Y }_i}} \)
• errechnet sich die Gesamtimpedanz zu
  \({\underline Z _{ges}} = \dfrac{1}{{{{\underline Y }_{ges}}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{{{{\underline Z }_1}}} + \dfrac{1}{{{{\underline Z }_2}}} + ... + \dfrac{1}{{{{\underline Z }_n}}}}}\)
• ergibt die Summe aller Teilströme I_i den Summenstrom I_ges
  \({\underline I _{ges}} = {\underline I _1} + {\underline I _2} + ... + {\underline I _n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\underline I }_i}} \)

Parallelersatzschaltung bei gegebenem Strom, Spannung und Phasenwinkel im Wechselstromkreis

Hat man Strom, Spannung und Phasenwinkel im Wechselstromkreis gegeben, so errechnen sich der Wirk- und der Blindwiderstand einer Parallel-Ersatzschaltung wie folgt:

\(\eqalign{ & U,I,{\varphi _Z} \cr & {R_\parallel } = \dfrac{U}{{I \cdot \cos {\varphi _Z}}} \cr & {X_\parallel } = \dfrac{U}{{I \cdot \sin {\varphi _Z}}} \cr}\)

Stromteiler im Wechselstromkreis

Eine Parallelschaltung von Widerständen entspricht einem Stromteiler.Die Stromstärke im betrachteten k-ten Zweig ergibt sich aus dem Gesamtstrom mal Admittanz des k-ten Zweiges dividiert durch die Summe aller Admittanzen

\({\underline I _k} = {\underline I _{ges}} \cdot \dfrac{{{{\underline Y }_k}}}{{{{\underline Y }_1} + \underline {{Y_2} + ... + {{\underline Y }_n}} }}\)

für n=2

\({\underline I _1} = \underline I \cdot \dfrac{{{{\underline Z }_2}}}{{{{\underline Z }_1} + {{\underline Z }_2}}}\)

Umformung gemäß:
\(\eqalign{ & {I_1} = {I_{ges}} \cdot \dfrac{{{Y_1}}}{{{Y_1} + {y_2}}} = {I_{ges}} \cdot \dfrac{{\dfrac{1}{{{Z_1}}}}}{{\dfrac{1}{{{Z_1}}} + \dfrac{1}{{{Z_2}}}}} \cdot \dfrac{{{Z_1}}}{{{Z_1}}} = {I_{ges}} \cdot \dfrac{1}{{1 + \dfrac{{{Z_1}}}{{{Z_2}}}}} \cdot \dfrac{{{Z_2}}}{{{Z_2}}} = \cr & = {I_{ges}} \cdot \dfrac{{{Z_2}}}{{{Z_1} + {Z_2}}} \cr} \)

Zusammenhang Momentanwert, Scheitelwert, Effektivwert, Gleichwert und Gleichrichtwert einer Wechselgröße

Bei der Berechnung und vor allem bei der Dimensionierung der elektrischen Isolation in Wechselstromkreisen unterscheidet man zwischen dem Momentanwert, dem Scheitelwert und dem Effektivwert, der zugleich der Nennwert ist

Illustration Momentanwert, Scheitelwert, Effektivwert und Nennwert einer Wechselgröße

Ein Stromnetz mit einer Netz-Nennspannung von 230V hat einen Effektivwert von ebenfalls 230V und einen Scheitelwert gemäß \(\widehat u = 230V \cdot \sqrt 2 = 325V\)

Momentanwert einer Wechselgröße

Der Momentanwert einer sinusförmigen Wechselgröße ändert sich kontinuierlich. Der Momentanwert, auch als Augenblickswert veranschaulicht, nimmt im Laufe eine Periode den Wert Null, den positiven Scheitelwert , den Wert Null, den negativen Scheitelwert und wieder den Wert Null an.

• Strom und Spannung als sich zeitlich ändernde Momentanwerte
  \(\eqalign{ & i\left( t \right) = \widehat i \cdot \sin \left( {\omega t + {\varphi _i}} \right) \cr & u\left( t \right) = \widehat u \cdot \sin \left( {\omega t + {\varphi _u}} \right) \cr} \)
• Strom und Spannung in komplexer Zeigerdarstellung
  \(\eqalign{ & \underline i \left( t \right) = \widehat i \cdot \left[ {\cos \left( {\omega t + {\varphi _i}} \right) + j \cdot \sin \left( {\omega t + {\varphi _i}} \right)} \right] = \widehat i \cdot {e^{j\left( {\omega t + {\varphi _i}} \right)}} \cr & \underline u \left( t \right) = \widehat u \cdot \left[ {\cos \left( {\omega t + {\varphi _u}} \right) + j \cdot \sin \left( {\omega t + {\varphi _u}} \right)} \right] = \widehat u \cdot {e^{j\left( {\omega t + {\varphi _u}} \right)}} \cr}\)

Scheitelwert einer Wechselgröße

Der Scheitelwert ist der Maximalwert einer Wechselgröße während einer Halbperiode. Innerhalb einer vollen Periode einer sinusförmigen Wechselgröße tritt er einmal als positiver und einmal als negativer Scheitelwert auf. Um den Scheitelwert, der im Fall einer sinusförmigen Wechselgröße zugleich der Amplitude entspricht, vom Effektivwert unterscheiden zu können, erhält er ein kleines "Dach" über dem Kleinbuchstaben. Für den Scheitelwert werden aber auch Großbuchstaben U_S, I_S verwendet.

\(\begin{array}{l} \widehat i = I \cdot \sqrt 2 = {I_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {I_N} \cdot \sqrt 2 \\ \widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 \\ {U_N} = {U_{eff}} = 230V \leftrightarrow \widehat u = 325V \end{array}\)

Der Effektivwert

Der Effektivwert ist der quadratische Mittelwert des zugrunde liegenden periodischen Signals. Unter dem - zeitlich konstanten - Effektivwerten U_eff, I_eff einer zeitabhängigen Wechselspannung u(t) bzw. Wechselstroms i(t) versteht man das Äquivalent jener Gleichgröße U, I, die an einem ohmschen Widerstand während einer Periode die gleiche Energie umsetzt. Der Effektivwert wird auch quadratischer zeitlicher Mittelwert genannt. Für eine beliebige - nicht notwendiger Weise sinusförmigen - Kurvenform berechnet sich der Effektivwert gemäß der Formel

\(\eqalign{ & {U_{eff}} = \sqrt {\dfrac{1}{T} \cdot \int\limits_{{t_0}}^{{t_0} + T} {{u^2}\left( t \right)\,\,dt} } \cr & {I_{err}} = \sqrt {\dfrac{1}{T} \cdot \int\limits_{{t_0}}^{{t_0} + T} {{i^2}\left( t \right)\,\,dt} } \cr} \)

Dabei quadriert man den periodischen Strom, dann bildet man den Mittelwert indem man mit 1/T multipliziert und zieht anschließend die Wurzel.

Die Nennspannung, der Nennstrom

Nennspannung ist eine alternative Bezeichnung für die Effektivspannung. Der Effektivwert U_eff der Wechselspannung im Haushalt beträgt U_N=230V.

Tatsächlich werden die Haushalte aber mit Drehstrom versorgt.

• Bei der Nennspannung im Wechselstromnetz, etwa im Haushalt, handelt es sich schaltungstechnisch gesehen um die Spannung von 230 V zwischen einem Außenleiter und dem Sternpunkt eines Drehstromsystems. Die Nennspannung von 230 V (zugleich der Effektivwert) ist im Wechselstromkreis um den Faktor \(\sqrt 2 = 1,4142\) kleiner als die Amplitude (zugleich der Scheitelwert) von 325V der sinusförmigen Wechselgröße im Wechselstromkreis.
• Bei der Nennspannung vom Drehstromnetz handelt es sich schaltungstechnisch gesehen um die Spannung von 400V zwischen zwei Außenleitern des Drehstromnetzes. D.h. die Nennspannung vom Drehstrom ist um das \(\sqrt 3 \)-fache höher als die Nennspannung vom Wechselstrom.

\(\eqalign{ & {U_{eff}} = \dfrac{{\widehat u}}{{\sqrt 2 }} \cr & {I_{eff}} = \dfrac{{\widehat i}}{{\sqrt 2 }} \cr} \)

Gesamteffektivwert von Wechselgrößen bei Überlagerung von n sinusförmigen Schwingungen

Der Gesamteffektivwert von Wechselgrößen bei der Überlagerung von mehreren sinusförmigen Schwingungen, wie sie etwa das Resultat einer Fourier-Entwicklung sind, errechnet sich aus der Wurzel von der Summe der quadrierten Effektivwerte der Grund- und der n Oberschwingungen

\(\eqalign{ & I = \sqrt {{I_1}^2 + {I_2}^2 + ... + {I_k}^2} = \sqrt {\sum\limits_{k = 1}^n {{I_k}^2} } = \sqrt {\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {\dfrac{{{{\widehat i}_k}}}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}} } = \dfrac{{\sqrt {\sum {{{\widehat i}^2}} } }}{{\sqrt 2 }} \cr & U = \sqrt {{U_1}^2 + {U_2}^2 + ... + {U_k}^2} = \sqrt {\sum\limits_{k = 1}^n {{U_k}^2} } = \sqrt {\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {\dfrac{{{{\widehat u}_k}}}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}} } = \dfrac{{\sqrt {\sum {{{\widehat u}^2}} } }}{{\sqrt 2 }} \cr}\)

Gleichwert von Wechselstromgrößen

Der Gleichwert einer Wechselstromgröße errechnet sich aus dem Integral des zeitlichen Verlaufs der Wechselgröße, dividiert durch die Periodendauer T, ist also dessen arithmetischer Mittelwert. Wie für arithmetische Mittelwerte üblich, schreibt man einen kleinen Querstrich über den Kleinbuchstaben. Der Gleichwert einer sinusförmigen Wechselgröße ist Null, da sich die Flächen unterhalb bzw. oberhalb der Zeitachse gegenseitig aufheben. Auf einen stromdurchflossenen Leiter in einem Magnetfeld wirkt eine Kraft, die proportional dem Gleichwert des Stroms ist.

\(\eqalign{ & \overline i = \dfrac{1}{T} \cdot \int\limits_t^{t + T} {\left| i \right|\,\,dt} \cr & \overline u = \dfrac{1}{T} \cdot \int\limits_t^{t + T} {u\,\,dt} \cr}\)

Bei einer periodisch schwingenden Wechselgröße mit einem Gleichwert ungleich null handelt es sich um eine Mischgröße, bestehend aus einem Gleichwert und einem Wechselanteil.

Gleichrichtwert von Wechselstromgrößen

Der Gleichrichtwert ist der durch eine Brückenschaltung mit idealen Dioden gleichgerichtete arithmetische Mittelwert einer periodischen Wechselgröße. Es handelt sich um das Integral über die Betragsfunktion der Wechselgröße bezogen auf die Periodendauer.

\(\eqalign{ & \left| {\overline i } \right| = \dfrac{1}{T} \cdot \int\limits_t^{t + T} {\left| i \right|\,\,dt} \cr & \left| {\overline u } \right| = \dfrac{1}{T} \cdot \int\limits_t^{t + T} {\left| u \right|\,\,dt} \cr} \)

Illustration eines gleichgerichteten Wechselstroms

Illustration eines gleichgerichteten Wechselstroms, dessen negative Anteile unter der t-Achse zufolge einer Gleichrichter-Diodenschaltung in den positiven Wertebereich oberhalb der t-Achse geklappt wurden.

Grundschwingungsgehalt von Wechselstromgrößen

Der Grundschwingungsgehalt g einer Wechselstromgröße ist der Quotient des Effektivwerts der Grundschwingung I₁ bzw. U₁ zum Gesamteffektivwert. Er ist ein Maß für die Dominanz der Grundschwingung (n=1) zum Gesamteffektivwert aller Schwingungen \((n = 1..\infty)\)

\(\eqalign{ & {g_I} = \dfrac{{{I_1}}}{I} = \dfrac{{{I_1}}}{{\sqrt {{I_1}^2 + {I_2}^2 + ... + {I_k}^2} }} \cr & {g_U} = \dfrac{{{U_1}}}{U} = \dfrac{{{U_1}}}{{\sqrt {{U_1}^2 + {U_2}^2 + ... + {U_k}^2} }} \cr}\)

Oberschwingungen

Unter Oberschwingungen einer periodischen Wechselgröße versteht man Schwingungen mit einem ganzzahligen Vielfachen der Frequenz der zugrunde liegenden Grundschwingung. Die Grundschwingung (n=1) und ihre Oberschwingungen \(n = 2..\infty \) addieren sich zu einer mehr oder weniger verzerrten Gesamtschwingung.

Oberschwingungsgehalt

Der Oberschwingungsgehalt oder Klirrfaktor ist definiert als der Quotient der Effektivwerts aller Oberschwingungen (somit \(n = 2..\infty \) )zum Gesamteffektivwert aller Schwingungen (\(n = 1..\infty \)).

\({k_I} = \dfrac{{\sqrt {\sum\limits_{n = 2}^\infty {{I_n}^2} } }}{{\sqrt {\sum\limits_{n = 1}^\infty {{I_n}^2} } }}\)

\({k_U} = \dfrac{{\sqrt {\sum\limits_{n = 2}^\infty {{U_n}^2} } }}{{\sqrt {\sum\limits_{n = 1}^\infty {{U_n}^2} } }}\)

Der Klirrfaktor ist ein Maß für die Abweichung der Wechselgröße i(t), u(t) von der idealen Sinusform. Er ist für eine reine Sinusgröße daher Null.

Beziehung Grundschwingungsgehalt zum Oberschwingungsgehalt

Die Beziehung Grundschwingungsgehalt g zum Oberschwingungsgehalt k lautet: Die Summe der jeweiligen Quadrate aus Grund- und Oberschwingungsgehalt ist gleich 1

\({k^2} + {g^2} = 1\)

bzw.:

\(\eqalign{ & {k_I} = \sqrt {1 - {g_i}^2} \cr & {k_U} = \sqrt {1 - {g_U}^2} \cr}\)

Illustration einer Grundschwingung und zweier Oberschwingungen und der Summenschwingung.

In elektrischen Energienetzen sind nur ungerade-ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz von praktischer Bedeutung. Sie entstehen durch Rückwirkungen von Transformatoren, durch Verbraucher (Phasenanschnittsteuerungen, Gleichrichter) oder den Wechselrichtern von Fotovoltaikanlagen, auf die durch die Synchrongeneratoren erzeugte 50 Hz (USA 60 HZ) Grundschwingung

Klirrfaktor einer einzelnen Teilschwingung

Der Klirrfaktor ist ein Maß für die Abweichung einer Wechselgröße von der idealen Sinusform. Der Klirrfaktor einer einzelnen Teilschwingung ist definiert als Quotient des Effektivwerts der n-ten Oberschwingung zum Gesamteffektivwert aller Schwingungen (\(n = 1..\infty \)).

\(\eqalign{ & {k_n} = \dfrac{{{I_n}}}{I} = \dfrac{{{I_n}}}{{\sqrt {{I_1}^2 + {I_2}^2 + ... + {I_n}^2} }} \cr & {k_n} = \dfrac{{{U_n}}}{U} = \dfrac{{{U_n}}}{{\sqrt {{U_1}^2 + {U_2}^2 + ... + {U_n}^2} }} \cr}\)

Elektrische Leistung im Wechselstromkreis

Bei sinusförmigem Verlauf von Strom i(t) und Spannung u(t), die gegen einander im den Winkel φ phasenverschoben sind, muss man einen zeitlich konstanten Mittel- bzw. Effektivwert der Wechselstrom-Wirkleistung P und der Wechselstrom-Blindleistung Q separat angeben. Da P und Q um 90° phasenverschoben sind, kann man sie grafisch gemäß dem Pythagoräischen Lehrsatz zur Wechselstrom-Scheinleistung S addieren.

\(\begin{array}{l} P = U \cdot I \cdot \cos \varphi \\ Q = U \cdot I \cdot \sin \varphi \\ S = \sqrt {{P^2} + {Q^2}} = U \cdot I \end{array}\)

Für die zeitabhängige Scheinleistung ergibt sich
\(s\left( t \right) = u\left( t \right) \cdot i\left( t \right) = P \cdot \left[ {1 + \cos \left( {2\omega t} \right)} \right] - Q \cdot \sin \left( {2\omega t} \right)\)
(Details zur Herleitung siehe Lösungsweg zur Aufgabe 221)

Interpretation:

• Beide Terme haben jeweils die halbe Periode bzw. die doppelte Frequenz von u(t) bzw. i(t)
• Der 1. Term \(P\left[ {1 + \cos \left( {2\omega t} \right)} \right]\) schwingt um P und hat die Amplitude 2P. Über die Zeit wird physikalische Energie übertragen.
• Der 2. Term \(Q \cdot \sin \left( {2\omega t} \right)\) schwingt um 0 und hat die Amplitude Q. Der Mittelwert dieser Komponente ist Null. Es handelt sich um eine reine Pendelleistung, die nur die Leitungen belastet, die aber über die Zeit nichts zum Energietransport beiträgt. Energie wird in (Induktivitäten und Kapazitäten gegengleich) in einer Viertelperiode eingespeichert und in der nächsten Viertelperiode wieder abgegeben.