Kapazitiver Widerstand im Wechselstromkreis
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Phasenlage von Strom und Spannung im Wechselstromkreis
Unter der Phasenlage versteht man die unterschiedlichen Zeitpunkte der Nulldurchgänge von 2 Sinusschwingungen (Strom u. Spannung), obwohl sie die gleiche Frequenz (50 Hz) haben. Die Phasenverschiebung wird als Winkel angegeben, wobei einer vollen Periode der Winkel von 360° bzw. \(2\pi\) entspricht.
Phasenverschiebungswinkel zwischen Strom und Spannung im Wechselstromkreis
Der Phasenverschiebungswinkel \(\varphi\) ist ein Maß für den zeitlichen Abstand der Nulldurchgänge von Spannung und Strom.
\(\eqalign{ & {\varphi _{Str}} = {\varphi _{u,\,Str}} - {\varphi _{i,\,Str}}; \cr & \varphi = {\varphi _u} - {\varphi _i}; \cr}\)
- \(\varphi = 0^\circ\) Ohmscher Widerstand: Spannung und Strom liegen in Phase
- \(\varphi = 90^\circ\) Induktivität: Spannung eilt dem Strom um 90° voraus
- \(\varphi = - 90^\circ\) Kapazität: Spannung eilt dem Strom um 90° nach
Ohmscher Widerstand
Beim ohmschen Widerstand sind Strom und Spannung sind in Phase. Der komplexe Widerstand ZR hat nur einen Realteil aber keinen Imaginärteil
\(\eqalign{ & \dfrac{u}{R} = i \cr & {Z_R} = \dfrac{{\underline u }}{{\underline i }} = R \cr & U{e^{j0}} = R{e^{j0}} \cdot I{e^{j0}} \cr} \)
Induktiver Widerstand
Beim induktiven Widerstand elt der Strom der Spannung nach. Die Spannung ist proportional zur Änderung der Stromstärke. Eine ideale Spule (R=0) bewirkt, dass die Spannung dem Strom um \(\dfrac{\pi }{2} = 90^\circ\) voreilt. Der komplexe Widerstand XL wird auf der positiven imaginären Achse aufgetragen.
\(\eqalign{ & \dfrac{{\underline u }}{L} = \dfrac{{di}}{{dt}} = \widehat i \cdot {e^{j\left( {\omega t + {\varphi _i}} \right)}} \cdot j\omega = \underline i \cdot j\omega \cr & {Z_L} = {X_L} = \dfrac{{\underline u }}{{\underline i }} = j \cdot \omega L = \omega L \cdot {e^{j\dfrac{\pi }{2}}} = \omega L \cdot {e^{j90^\circ }} \cr & U{e^{j0}} = \omega L{e^{j\varphi }} \cdot I{e^{ - j\varphi }} \cr} \)
Kapazitiver Widerstand
Beim kapazitiven Widerstand eilt der Strom der Spannung vor. Die Stromstärke ist proportional zur Änderung der Spannung. Ein idealer Kondensator (\(R = \infty \)) ) bewirkt dass die Spannung dem Strom um \(- \dfrac{\pi }{2} = - 90^\circ\) nacheilt. Der komplexe Widerstand XC wird auf der negativen imaginären Achse aufgetragen.
\(\eqalign{
& \dfrac{{\underline i }}{C} = d\frac{{du}}{{dt}} = \widehat u \cdot {e^{j\left( {\omega t + {\varphi _U}} \right)}} \cdot j\omega = \underline u \cdot j\omega \cr
& {Z_C} = {X_C} = \dfrac{{\underline u }}{{\underline i }} = \dfrac{1}{{j\omega C}} = - j\dfrac{1}{{\omega C}} = \dfrac{1}{{\omega C}} \cdot {e^{ - j\dfrac{\pi }{2}}} = \dfrac{1}{{\omega C}} \cdot {e^{ - j90^\circ }} \cr
& U{e^{j0}} = \dfrac{1}{{\omega C}}{e^{ - j\varphi }} \cdot I{e^{j\varphi }} \cr} \)
Schon den nächsten Badeurlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Damit niemand mehr bei Mathe in's Schwimmen kommt!
Ohmsches Gesetz für Wechselstromkreise
In realen Wechselstromkreisen kommen ohmsche, kapazitive und induktive Widerstände zusammen vor. Da die zugehörigen Ströme und Spannungen eine Phasenverschiebung zu einander aufweisen, hat die sich daraus ergebende Impedanz, der sogenannte Scheinwiderstand, einen Real- und einen Imaginäranteil. Der Scheinwiderstand (Impedanz Z) ist dabei die geometrische Summe aus dem ohmschen bzw. Wirkwiderstandsanteil (Resistanz R) und dem frequenzabhängigen Blindwiderstand (Reaktanz X).
\(\overrightarrow u = \overrightarrow Z \cdot \overrightarrow i \) | komplexes ohmsches Gesetz für Ströme und Spannungen mit sinusförmiger Zeitabhängigkeit in linearen Netzwerken |
\(u\left( t \right) = {U_0} \cdot {e^{j\omega t}}\) | komplexe Spannung |
\({\text{i}}\left( t \right) = {I_0} \cdot {e^{j\left( {\omega t - \varphi } \right)}}\) | komplexe Stromstärke |
\(\overrightarrow Z = {Z_0} \cdot {e^{j\varphi }} = R + jX\) | komplexer Scheinwiderstand = Summe aus komplexem Wirk- und Blindwiderstand |
Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis
Der ohmsche Widerstand R im Wechselstromkreis ist unabhängig von der Frequenz und verursacht keine Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung. Der ohmsche Widerstand geht vollständig in den Realteil vom komplexen Widerstand Z ein.
\(R = \dfrac{U}{I}\)
Illustration des zeitlichen Verlaufs der zeitabhängigen Größen Strom und Spannung in einem rein ohmschen Stromkreis
Kapazitiver Widerstand im Wechselstromkreis
Der kapazitive Blindwiderstand XC im Wechselstromkreis ist indirekt proportional der Frequenz und verursacht eine 90° Phasenverschiebung, bei welcher der Strom der Spannung vorauseilt. Die Höhe vom kapazitiven Widerstand XC eines Kondensators im Wechselstromkreis hängt ab von der Bauform des Kondensators und von der Frequenz des Wechselstroms. Zufolge einer 50 Hz Wechselspannung wird ein Kondensator in einer Sekunde 50 mal jeweils aufgeladen, entladen, mit entgegengesetzter Polung aufgeladen und wieder entladen. Der kapazitive Widerstand geht vollständig in den Imaginärteil vom komplexen Widerstand Z ein.
\({X_C} = \dfrac{1}{{\omega \cdot C}} = \dfrac{1}{{2\pi f \cdot C}} \to \overrightarrow Z = - j\dfrac{1}{{\omega \cdot C}}\)
Ein idealer Kondensator \(\left( {R = \infty } \right)\) stellt einen rein kapazitiven Blindwiderstand X dar. Während ein Kondensator im Gleichstromkreis wie eine Leitungsunterbrechung wirkt, lässt er im Wechselstromkreis einen reinen Blindstrom durch, da er sich periodisch lädt und entlädt. Strom und Spannung sind um 90° phasenverschoben, wobei der Strom der Spannung vorauseilt. Da sich die Spannung am stärksten in ihrem Nulldurchgang ändert, hat zeitgleich der Strom sein Maximum.
Illustration des zeitlichen Verlaufs der zeitabhängigen Größen Strom und Spannung in einem rein kapazitiven Stromkreis
Induktiver Widerstand im Wechselstromkreis
Der induktive Blindwiderstand XL im Wechselstromkreis ist direkt proportional der Frequenz und verursacht eine 90° Phasenverschiebung, bei welcher der Strom der Spannung nacheilt. Die Höhe vom induktive Widerstand XL einer Spule im Wechselstromkreis hängt ab von der Bauform der Spule (L) und von der Frequenz f des Wechselstroms. Zufolge eines 50 Hz Wechselstroms wird in einer Spule in einer Sekunde 50 mal durch Selbstinduktion ein magnetisches Feld auf und wieder abgebaut, mit entegengesetzer Richtung wieder aufgebaut und erneut abgebaut. Der induktive Widerstand geht vollständig in den Imaginärteil vom komplexen Widerstand Z ein.
\({X_L} = \omega \cdot L = 2\pi f \cdot L \to \overrightarrow Z = j \cdot \omega \cdot L\)
Eine ideale Spule (R=0) stellt einen rein induktiven Blindwiderstand X dar. Während eine Spule im Gleichstromkreis wie ein Kurzschluss wirkt, speichert und entlädt sie im Wechselstromkreis elektrische Energie ohne dabei Wirkleistung zu erbringen. Strom und Spannung sind um 90° phasenverschoben, wobei der Strom der Spannung nacheilt. Die Selbstinduktion der Spule verzögert nämlich den Stromfluss.
Illustration des zeitlichen Verlaufs der zeitabhängigen Größen Strom und Spannung in einem rein induktiven Stromkreis