Gleichungen von Kreis, Kugel und Kegelschnitten
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Gleichung des Kreises
Die Kreislinie (der Kreis) ist die Menge aller Punkte X, die in einer Ebene liegen und die von einem gegebenen Punkt, dem Mittelpunkt M, den Abstand r (Kreisradius) haben.
\(k\left[ {M,r} \right]:\left\{ {X \in {{\Bbb R}^2}\left| {\overline {XM} = r} \right.} \right\}\)
Kreisgleichung, wobei der Mittelpunkt im Ursprung liegt
Bei einem Kreis in 1. Hauptlage liegt der Mittelpunkt des Kreises im Koordinatenursprung.
Koordinatenschreibweise:
\({r^2} = {x^2} + {y^2}\)
Vektorschreibweise:
\({\overrightarrow x ^2} = {r^2}\)
Kreisgleichung, wobei der Mittelpunkt außerhalb vom Ursprung liegt
Bei der allgemeinen Kreisgleichung ist der Mittelpunkt M des Kreises gegenüber dem Ursprung des Koordinatensystems in x- und / oder y-Richtung verschoben
Koordinatenschreibweise:
\({\left( {x - {M_x}} \right)^2} + {\left( {y - {M_y}} \right)^2} = {r^2}\) wobei \(M\left( {{M_x}\left| {{M_y}} \right.} \right)\)
Vektorschreibweise:
\({\left( {\overrightarrow x - \overrightarrow m } \right)^2} = {r^2}\)
Lagebeziehung Punkt und Kreis
Ein Punkt kann bezüglich einer Kreises innerhalb, außerhalb oder auf dem Kreis liegen
Punkt liegt innerhalb vom Kreis:
\({P_x}^2 + {P_y}^2 < {r^2}\)
Punkt liegt auf dem Kreis:
\({P_x}^2 + {P_y}^2 = {r^2}\)
Punkt liegt außerhalb vom Kreis
\({P_x}^2 + {P_y}^2 > {r^2}\)
Lagebeziehung Gerade und Kreis
Untersucht man ob ein Kreis und eine Gerade gemeinsame Punkte besitzen, so führt dies zu einer quadratischen Gleichung, die dann 2 Lösungen (Sekante), 1 Lösung (Tangente) oder keine reelle Lösung (Passante) hat.
- Sekante bezeichnet eine Gerade, welche einen Kreis in zwei verschiedenen Punkten S1, S2 schneidet.
- Tangente bezeichnet eine Gerade, welche einen Kreis in einem Punkt T berührt. Der Berührradius steht normal auf der Tangente und geht durch T und M.
- Passante bezeichnet eine Gerade, welche keinen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis hat.
\(M\left( {{M_x}\left| {{M_y}} \right.} \right)\) | Mittelpunkt des Kreises |
\(T\left( {{T_x}\left| {{T_y}} \right.} \right)\) | Berührpunkt der Tangente |
t | Tangente im Berührpunkt |
Berührbedingung Gerade an Kreis
Die Berührbedingung vom Kreis ergibt sich aus den Koordinaten vom Kreismittelpunkt sowie aus der Steigung und dem Ordinatenabschnitt der Gerade. Kennt man drei Bestimmungsstücke, so kann man das vierte Bestimmungsstück ausrechnen.
\(\eqalign{ & g:y = kx + d \cr & k:{\left( {x - {M_x}} \right)^2} + {\left( {y - {M_y}} \right)^2} = {r^2} \cr} \)
\({\left( {{M_x} \cdot k + d - {M_y}} \right)^2} = {r^2} \cdot \left( {{k^2} + 1} \right)\)
Spezialfall: M = Ursprung:
\({{\text{d}}^2} = {r^2} \cdot \left( {{k^2} + 1} \right)\)
Spaltform der Tangentengleichung des Kreises
Indem man die Koordinaten vom Kreismittelpunkt und vom Berührpunkt in die Kreisgleichung einsetzt, erhält man die allgemeine (implizite) Form der Tangente. Von der "Spaltform" spricht man, weil man die Quadrate aus der Definitionsgleichung des Kreises aufgespaltet hat in ein \({T_x} \cdot x\) bzw. \({T_y} \cdot y \).
\(\eqalign{ & T\left( {{T_x}\left| {{T_y}} \right.} \right){\text{ mit }}T \in k \cr & k:{\left( {x - {M_x}} \right)^2} + {\left( {y - {M_y}} \right)^2} = {r^2} \cr} \)
\(t:\left( {{T_x} - {M_x}} \right) \cdot \left( {x - {M_x}} \right) + \left( {{T_y} - {M_y}} \right) \cdot \left( {y - {M_y}} \right) = {r^2}\)
Spezialfall: M=Ursprung:
\({T_x} \cdot x + {T_y} \cdot y = {r^2}\)
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Gleichung der Ellipse
Die Ellipse ist die Menge aller Punkte P, die in einer Ebene liegen und für die die Summe ihrer Abstände von den zwei festen Punkten F1 und F2 (Brennpunkte) den konstanten Wert 2a hat. Die Stecken F1P bzw. F2P nennt man Brennstrecke. Schneidet man einen geraden Zylinder mit einer Ebene, dann ist die Schnittlinie eine Ellipse.
\([ell = \left\{ {P \in ell:\overline {{F_1}P} + \left| {P{F_2}} \right| = 2a > \overline {{F_1}{F_2}} } \right\}\)
Die Brennstrecken sind die beiden Abstände eines Punkts auf der Ellipse von den beiden Brennpunkten der Ellipse. Die Summe der beiden Brennstrecken ist immer gleich lang wie die doppelte Hauptachse.
A, B | Hauptscheitel |
C, D | Nebenscheitel |
a | große Halbachse, zugleich halbe Hauptachse |
b | kleine Halbachse, zugleich halbe Nebenachse |
F1, F2 | Brennpunkte |
e | lineare Exzentrizität |
mit:
\(\begin{array}{l} \left| {\overline {AB} } \right| = 2a\\ \left| {\overline {CD} } \right| = 2b\\ e = \sqrt {{a^2} - {b^2}} \end{array}\)
Im Spezialfall a=b wird aus der Ellipse ein Kreis.
Ellipse in 1. Hauptlage
Eine Ellipse in 1. Hauptlage hat die beiden Brennpunkte auf der x-Achse \({F_{1,2}}\left( { \pm e\left| 0 \right.} \right)\). Wenn der Mittelpunkt im Ursprung vom Koordinatensystem M(0│0) liegt, gibt es folgende beiden Schreibweisen der Ellipsengleichungen:
Normalform der Ellipsengleichung in 1. Hauptlage
\({b^2}{x^2} + {a^2}{y^2} = {a^2}{b^2}\)
Abschnittsform der Ellipsengleichung in 1. Hauptlage, Mittelpunktsgleichung
\(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Flächeninhalt Ellipse
\(A = a \cdot b \cdot \pi \)
Illustration einer Ellipse in 1. Hauptlage
Ellipse in 2. Hauptlage
Eine Ellipse in 2. Hauptlage hat die beiden Brennpunkte auf der y-Achse \({F_{1,2}}\left( {0\left| { \pm e} \right.} \right)\). Wenn der Mittelpunkt im Ursprung vom Koordinatensystem M(0│0) liegt, gibt es folgende beiden Schreibweisen der Ellipsengleichungen:
Normalform der Ellipsengleichung in 2. Hauptlage
\({a^2}{x^2} + {b^2}{y^2} = {a^2}{b^2}\)
Abschnittsform der Ellipsengleichung in 2. Hauptlage
\(\dfrac{{{x^2}}}{{{b^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{a^2}}} = 1\)
Illustration einer Ellipse in 2. Hauptlage
Lagebeziehung Punkt und Ellipse
Ein Punkt kann bezüglich einer Ellipse innerhalb, außerhalb oder auf der Ellipse liegen
- P liegt innerhalb der Ellipse:
\({b^2}{x_P}^2 + {a^2}{y_P}^2 < {a^2}{b^2}\) - P liegt auf der Ellipse:
\({b^2}{x_P}^2 + {a^2}{y_P}^2 = {a^2}{b^2}\) - P liegt außerhalb der Ellipse: \({b^2}{x_P}^2 + {a^2}{y_P}^2 > {a^2}{b^2}\)
Lagebeziehung Gerade und Ellipse
Bei der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ellipse interessieren speziell die Berührbedingung und die Tangente
Berührbedingung Gerade an Ellipse
Die Berührbedingung der Ellipse ergibt sich aus der großen und der kleinen Halbachse der Ellipse sowie aus der Steigung und dem Ordinatenabschnitt der Gerade. Kennt man drei Bestimmungsstücke, so kann man das vierte Bestimmungsstück ausrechnen.
\(\eqalign{ & g:y = kx + d \cr & ell:{b^2}{x^2} + {a^2}{y^2} = {a^2}{b^2} \cr}\)
\({a^2}{k^2} + {b^2} = {d^2}\)
Spaltform der Tangentengleichung der Ellipse
Indem man die Koordinaten vom Berührpunkt in die Ellipsengleichung einsetzt, erhält man die allgemeine (implizite) Form der Tangente. Von der "Spaltform" spricht man, weil man die Quadrate aus der Definitionsgleichung der Ellipse aufgespaltet hat in ein \({x_T} \cdot x\) bzw. \({y_T} \cdot y \).
\(\eqalign{ & T\left( {{T_x}\left| {{T_y}} \right.} \right){\text{ mit }}T \in k \cr & ell:{b^2}{x^2} + {a^2}{y^2} = {a^2}{b^2} \cr} \)
\(t:{b^2} \cdot {T_x} \cdot x + {a^2} \cdot {T_y} \cdot y = {a^2}{b^2}\)
Gleichung der Hyperbel
Die Hyperbel ist die Menge aller Punkte X, die in einer Ebene liegen und für die die Differenz ihrer Abstände von den zwei festen Punkten F1 und F2 (Brennpunkte) den konstanten Wert 2a hat. Die Stecke F1X bzw. F2X nenne man Brennstrecke. Als Scheitelpunkte bezeichnet man jene zwei Punkte der Hyperbel, die am nächsten zum Mittelpunkt der Hyperbel liegen \(S_1\left( {a\left| 0 \right.} \right);\,\,\,\,\,{S_2}\left( { - a\left| 0 \right.} \right)\).
\(hyp:\left\{ {X \in {{\Bbb R}^2}\left| {\overline {X{F_1}} - \overline {X{F_2}} = 2a} \right.} \right\}\)
a | halbe Hauptachse |
b | halbe Nebenachse, b ist der y-Wert der Asymptote an der Stelle x=a |
F1, F2 | Brennpunkte |
e | lineare Exzentrizität |
Illustration der Einheitshyperbel
Bei der Einheitshyperbel gilt für die Halbachsenlängen: a=b=1. Daher liegen die Scheitelpunkte S1 bei \(\left( { - 1\left| 0 \right.} \right)\) bzw. S2 bei \(\left( {1\left| 0 \right.} \right)\) und die Brennpunkte F1 bei \(\left( { - \sqrt 2 \left| 0 \right.} \right)\) bzw. F2 bei \(\left( {\sqrt 2 \left| 0 \right.} \right)\). Die Asymptoten haben die Steigungen \(\dfrac{b}{a}{\text{ bzw}}{\text{. - }}\dfrac{b}{a}\). Die Illustration veranschaulicht auch den Zusammenhang zwischen a, b und e gemäß: \({b^2} = {e^2} - {a^2}\)
Hyperbel in 1. Hauptlage
Eine Hyperbel in 1. Hauptlage hat die beiden Brennpunkte auf der x-Achse, sie haben die Koordinaten \({F_1}\left( {e\left| 0 \right.} \right);\,\,\,\,\,{F_2}\left( { - e\left| 0 \right.} \right)\).
Normalform der Hyperbelgleichung in 1. Hauptlage
\({b^2}{x^2} - {a^2}{y^2} = {a^2}{b^2}\)
Abschnittsform der Hyperbel in 1. Hauptlage, Mittelpunktsgleichung
\(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Illustration einer Hyperbel in 1. Hauptlage
Hyperbel in 2. Hauptlage
Eine Hyperbel in 2. Hauptlage hat die beiden Brennpunkte auf der y-Achse.
Normalform der Hyperbelgleichung in 2. Hauptlage
\(- {a^2}{x^2} + {b^2}{y^2} = {a^2}{b^2}\)
Abschnittsform der Hyperbel in 2. Hauptlage
\(- \dfrac{{{x^2}}}{{{b^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{a^2}}} = 1\)
Lagebeziehung Punkt und Hyperbel
Ein Punkt kann bezüglich einer Hyperbel innerhalb, außerhalb oder auf der Hyperbel liegen
- P liegt innerhalb der Hyperbel:
\({b^2}{P_x}^2 - {a^2}{P_y}^2 < {a^2}{b^2}\) - P liegt auf der Hyperbel:
\({b^2}{P_x}^2 - {a^2}{P_y}^2 = {a^2}{b^2}\) - P liegt außerhalb der Hyperbel:
\({b^2}{P_x}^2 - {a^2}{P_y}^2 > {a^2}{b^2}\)
Lagebeziehung Gerade und Hyperbel
Bei der Lagebeziehung zwischen Gerade und Hyperbel interessieren speziell die Berührbedingung und die Tangente
Berührbedingung Gerade an Hyperbel
Die Berührbedingung der Hyperbel ergibt sich aus der halben Haupt- und Nebenachse der Hyperbel sowie aus der Steigung und dem Ordinatenabschnitt der Gerade. Kennt man drei Bestimmungsstücke, so kann man das vierte Bestimmungsstück ausrechnen.
\(\eqalign{ & g:y = kx + d \cr & hyp:{b^2}{x^2} - {a^2}{y^2} = {a^2}{b^2} \cr}\)
\({a^2}{k^2} - {b^2} = {d^2}\)
Spaltform der Tangentengleichung der Hyperbel
Indem man die Koordinaten vom Berührpunkt in die Hyperbelgleichung einsetzt, erhält man die allgemeine (implizite) Form der Tangente. Von der "Spaltform" spricht man, weil man die Quadrate aus der Definitionsgleichung der Hyperbel aufgespaltet hat in ein \({T_x} \cdot x\) bzw. \({T_y} \cdot y \).
\(\eqalign{ & T\left( {{T_x}\left| {{T_y}} \right.} \right){\text{ mit }}T \in k \cr & hyp:{b^2}{x^2} - {a^2}{y^2} = {a^2}{b^2} \cr} \)
\(t:{b^2} \cdot {T_x} \cdot x - {a^2} \cdot {T_y} \cdot y = {a^2}{b^2}\)
Gleichung der Parabel
Die Parabel ist die Menge aller Punkte X, die in einer Ebene liegen und die von einem festen Punkt F (Brennpunkt) und von einer gegebenen Geraden l (Leitgerade) den gleichen Abstand haben.
\(par:\left\{ {X \in {{\Bbb R}^2}\left| {\overline {XF} = \overline {Xl} } \right.} \right\}\)
S | Scheitel |
F | Brennpunkt |
\(e = \overline {SF} \) | Brennweite |
l | Leitgerade |
\(p = 2 \cdot e\) | Parameter |
Illustration einer Parabel
Einfachste Form der Parabel, die Normalparabel
\(y = a \cdot {x^2}\)
Der Parameter a entscheidet über die Form der Parabel
\(\left| a \right| < 1\) | Parabel ist in Richtung der y-Achse gestaucht |
\(\left| a \right| > 1\) | Parabel ist in Richtung der y-Achse gestreckt |
\(a < - 1\) | Schmale, nach unten offene Parabel |
\(a = - 1\) | Nach unten offene Normparabel |
\( - 1 < a < 0\) | Breite, nach unten offene Parabel, Scheitelpunkt ist Hochpunkt |
\(0 < a < 1\) | Breite, nach oben offene Parabel, Scheitelpunkt ist Tiefpunkt |
\(a = 1\) | Normparabel, nach oben offen |
\(a > 1\) | Schmale, nach oben offene Parabel |
Der Parameter c entscheidet über die Verschiebung der Parabel
\({f\left( x \right) = {x^2} + c}\) | Allgemeine Parabel um c nach oben verschoben |
\({f\left( x \right) = {x^2} - c}\) | Allgemeine Parabel um c nach unten verschoben |
\({f\left( x \right) = {{\left( {x + c} \right)}^2}}\) | Allgemeine Parabel um c nach links verschoben |
\({f\left( x \right) = {{\left( {x - c} \right)}^2}}\) | Allgemeine Parabel um c nach rechts verschoben |
Allgemeine Form der Parabel
Der Parameter c heisst y-Achsenabschnitt der Parabel. Es ist dies der Schnittpunkt der Parabel mit der y-Achse, somit der Punkt \(S\left( {0\left| {{S_y}} \right.} \right)\)
\(y = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\)
Normalform der Parabel
Man kann durch Division durch a erzwingen, dass der Parameter a=1 wird. Dann spricht man von der Normalform der Parabel.
\(y = {x^2} + p \cdot x + q\)
Nullstellenform der Parabel
Die Nullstellenform, auch die faktorisierte Form der Parabel genannt, gibt es nur dann wenn die Parabel überhaupt die x-Achse schneidet.
\(y = a \cdot \left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right)\)
Parameterdarstellung der Parabel
\(\eqalign{ & x = a \cdot k + {x_0} \cr & y = b \cdot {k^2} + {y_0} \cr} \)
Scheitelpunktform der Parabel
Die Scheitelpunktform der Parabel ermöglicht es direkt den Scheitelpunkt \(S\left( {d\left| e \right.} \right)\) abzulesen. Der Scheitelpunkt ist der höchste / tiefste bzw. der am weitesten links / rechts liegende Punkt der Parabel.
\(\eqalign{
& y = a \cdot {\left( {x - d} \right)^2} + e \cr
& {\text{bzw}}{\text{.:}} \cr
& f(x) = a \cdot {\left( {x - {S_x}} \right)^2} + {S_y} \cr} \)
Für eine allgemeine quadratische Funktion gilt:
\(\eqalign{
& f\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c \cr
& {\text{mit:}} \cr
& S = \left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right) = \left( { - \dfrac{b}{{2 \cdot a}}\left| {c - \dfrac{{{b^2}}}{{4 \cdot a}}} \right.} \right) \cr} \)
Die Scheitelpunktform einer Parabel oder allgemein einer quadratischen Gleichung kann man durch die sogenannte "quadratische Ergänzung" aus der allgemeinen Form \(f\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\) herleiten.
Für den Term \(f\left( x \right) = {x^2} + p \cdot x\) erhält man wie folgt die quadratische Ergänzung: \(f\left( x \right) = {x^2} + p \cdot x + {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2} - {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2} = {\left( {x + \dfrac{p}{2}} \right)^2} - {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2}\)
Es gibt 4 verschiedene Hauptlagen der Parabel
- 1. Hauptlage: Der Scheitel liegt im Koordinatenursprung, die Parabel ist symmetrisch zur positiven x-Achse: \(x={y^2}\)
- 2. Hauptlage: Der Scheitel liegt im Koordinatenursprung, die Parabel ist symmetrisch zur positiven y-Achse: \(y=x^2\)
- 3. Hauptlage: Der Scheitel liegt im Koordinatenursprung, die Parabel ist symmetrisch zur negativen x-Achse: \(x=-{y^2}\)
- 4. Hauptlage: Der Scheitel liegt im Koordinatenursprung, die Parabel ist symmetrisch zur negativen y-Achse: \(y=-x^2\)
Parabeln vom Grad n:
\(f\left( x \right) = {x^n}\)
n=2: Die einfachsten Form einer Potenzfunktion, also einer nichtlinearen Funktion. Der Graph der sogenannten Normalparabel hat einen typischen U-förmigen Verlauf. S(1 | 1) ist ihr Scheitelpunkt.
n=gerade: Graph liegt symmetrisch zur y-Achse:
n=ungerade: Graph liegt symmetrisch zum y-Ursprung:
Lagebeziehung Punkt und Parabel
Ein Punkt kann bezüglich einer Parabel innerhalb, außerhalb oder auf der Parabel liegen
- P liegt innerhalb der Parabel:
\({P_y} < 2 \cdot p \cdot {P_x}\) - P liegt auf der Parabel:
\({P_y} = 2 \cdot p \cdot {P_x}\) - P liegt außerhalb der Parabel:
\({P_y} > 2 \cdot p \cdot {P_x}\)
Lagebeziehung Gerade und Parabel
Bei der Lagebeziehung zwischen Gerade und Parabel interessieren speziell die Berührbedingung und die Tangente. Im Fall einer Passante gibt es keinen Schnittpunkt und im Fall einer Sekante gibt es zwei Schnittpunkte. Die jeweilige Lösung: keinen oder zwei Schnittpunkte bzw. einen Berührpunkt erhält man, indem man die Geraden- und die Parabelgleichung gleich setzt.
Berührbedingung Gerade an Parabel
Die Berührbedingung der Parabel ergibt sich aus dem Parameter p der Parabel sowie aus der Steigung und dem Ordinatenabschnitt der Gerade. Kennt man zwei Bestimmungsstücke, so kann man das dritte Bestimmungsstück ausrechnen.
\(\eqalign{ & g:y = kx + d \cr & par:{y^2} = 2px \cr}\)
\(p = 2dk\)
Spaltform der Tangente an einen Punkt der Parabel
Indem man die Koordinaten vom Berührpunkt in die Parabelgleichung einsetzt, erhält man die allgemeine (implizite) Form der Tangente. Von der "Spaltform" spricht man, weil man die Quadrate aus der Definitionsgleichung der Parabel aufgespaltet hat in ein \({x_T} \cdot x\) bzw. \({y_T} \cdot y \).
\(\eqalign{ & \left( {{x_T}\left| {{y_T}} \right.} \right){\text{ mit }}T \in k \cr & par:{y^2} = 2 \cdot p \cdot x \cr} \)
\(t:{y_T} \cdot y = p \cdot \left( {x - {x_T}} \right)\)
Gleichung der Kugel
Die Kugeloberfläche, auch Sphäre genannt, ist die Menge aller Punkte X, die von einem gegebenen Punkt, dem Mittelpunkt M, den Abstand r (Kugelradius) haben.
\(s\left[ {M,r} \right]:\left\{ {X \in {{\Bbb R}^3}\left| {\overline {XM} = r} \right.} \right\}\)
Kugelgleichung, wobei der Mittelpunkt im Ursprung liegt
Bei einer Kugel in 1. Hauptlage liegt der Mittelpunkt der Kugel im Koordinatenursprung.
- Koordinatenschreibweise:
\({r^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2}\) - Vektorschreibweise:
\({\overrightarrow x ^2} = {r^2}\)
Allgemeine Kugelgleichung
Bei der allgemeinen Kugelgleichung ist der Mittelpunkt M der Kugel gegenüber dem Ursprung des Koordinatensystems in x- und / oder y- und / oder z-Richtung verschoben
- Koordinatenschreibweise:
\({\left( {x - {M_x}} \right)^2} + {\left( {y - {M_y}} \right)^2} + \left( {z - {M_z}} \right) = {r^2}\) wobei \(M\left( {{M_x}\left| {{M_y}\left| {{M_z}} \right.} \right.} \right)\) - Vektorschreibweise:
\({\left( {\overrightarrow x - \overrightarrow m } \right)^2} = {r^2}\)
Schon den nächsten Badeurlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Damit niemand mehr bei Mathe in's Schwimmen kommt!