Gleichung der Hyperbel
Formel
Gleichung der Hyperbel
Die Hyperbel ist die Menge aller Punkte X, die in einer Ebene liegen und für die die Differenz ihrer Abstände von den zwei festen Punkten F1 und F2 (Brennpunkte) den konstanten Wert 2a hat. Die Stecke F1X bzw. F2X nenne man Brennstrecke. Als Scheitelpunkte bezeichnet man jene zwei Punkte der Hyperbel, die am nächsten zum Mittelpunkt der Hyperbel liegen \(S_1\left( {a\left| 0 \right.} \right);\,\,\,\,\,{S_2}\left( { - a\left| 0 \right.} \right)\).
\(hyp:\left\{ {X \in {{\Bbb R}^2}\left| {\overline {X{F_1}} - \overline {X{F_2}} = 2a} \right.} \right\}\)
a | halbe Hauptachse |
b | halbe Nebenachse, b ist der y-Wert der Asymptote an der Stelle x=a |
F1, F2 | Brennpunkte |
e | lineare Exzentrizität |
Illustration der Einheitshyperbel
Bei der Einheitshyperbel gilt für die Halbachsenlängen: a=b=1. Daher liegen die Scheitelpunkte S1 bei \(\left( { - 1\left| 0 \right.} \right)\) bzw. S2 bei \(\left( {1\left| 0 \right.} \right)\) und die Brennpunkte F1 bei \(\left( { - \sqrt 2 \left| 0 \right.} \right)\) bzw. F2 bei \(\left( {\sqrt 2 \left| 0 \right.} \right)\). Die Asymptoten haben die Steigungen \(\dfrac{b}{a}{\text{ bzw}}{\text{. - }}\dfrac{b}{a}\). Die Illustration veranschaulicht auch den Zusammenhang zwischen a, b und e gemäß: \({b^2} = {e^2} - {a^2}\)
Hyperbel in 1. Hauptlage
Eine Hyperbel in 1. Hauptlage hat die beiden Brennpunkte auf der x-Achse, sie haben die Koordinaten \({F_1}\left( {e\left| 0 \right.} \right);\,\,\,\,\,{F_2}\left( { - e\left| 0 \right.} \right)\).
Normalform der Hyperbelgleichung in 1. Hauptlage
\({b^2}{x^2} - {a^2}{y^2} = {a^2}{b^2}\)
Abschnittsform der Hyperbel in 1. Hauptlage, Mittelpunktsgleichung
\(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Illustration einer Hyperbel in 1. Hauptlage
Hyperbel in 2. Hauptlage
Eine Hyperbel in 2. Hauptlage hat die beiden Brennpunkte auf der y-Achse.
Normalform der Hyperbelgleichung in 2. Hauptlage
\(- {a^2}{x^2} + {b^2}{y^2} = {a^2}{b^2}\)
Abschnittsform der Hyperbel in 2. Hauptlage
\(- \dfrac{{{x^2}}}{{{b^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{a^2}}} = 1\)
Lagebeziehung Punkt und Hyperbel
Ein Punkt kann bezüglich einer Hyperbel innerhalb, außerhalb oder auf der Hyperbel liegen
- P liegt innerhalb der Hyperbel:
\({b^2}{P_x}^2 - {a^2}{P_y}^2 < {a^2}{b^2}\) - P liegt auf der Hyperbel:
\({b^2}{P_x}^2 - {a^2}{P_y}^2 = {a^2}{b^2}\) - P liegt außerhalb der Hyperbel:
\({b^2}{P_x}^2 - {a^2}{P_y}^2 > {a^2}{b^2}\)
Lagebeziehung Gerade und Hyperbel
Bei der Lagebeziehung zwischen Gerade und Hyperbel interessieren speziell die Berührbedingung und die Tangente
Berührbedingung Gerade an Hyperbel
Die Berührbedingung der Hyperbel ergibt sich aus der halben Haupt- und Nebenachse der Hyperbel sowie aus der Steigung und dem Ordinatenabschnitt der Gerade. Kennt man drei Bestimmungsstücke, so kann man das vierte Bestimmungsstück ausrechnen.
\(\eqalign{ & g:y = kx + d \cr & hyp:{b^2}{x^2} - {a^2}{y^2} = {a^2}{b^2} \cr}\)
\({a^2}{k^2} - {b^2} = {d^2}\)
Spaltform der Tangentengleichung der Hyperbel
Indem man die Koordinaten vom Berührpunkt in die Hyperbelgleichung einsetzt, erhält man die allgemeine (implizite) Form der Tangente. Von der "Spaltform" spricht man, weil man die Quadrate aus der Definitionsgleichung der Hyperbel aufgespaltet hat in ein \({T_x} \cdot x\) bzw. \({T_y} \cdot y \).
\(\eqalign{ & T\left( {{T_x}\left| {{T_y}} \right.} \right){\text{ mit }}T \in k \cr & hyp:{b^2}{x^2} - {a^2}{y^2} = {a^2}{b^2} \cr} \)
\(t:{b^2} \cdot {T_x} \cdot x - {a^2} \cdot {T_y} \cdot y = {a^2}{b^2}\)
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