Ebenengleichungen und ihre Darstellungsformen
Formel
Ebenengleichungen und ihre drei Darstellungsformen
In der analytischen Geometrie werden Ebenen mit der Hilfe von Punkten und Vektoren dargestellt, nachfolgend die Parameterform, die Normalvektorform und die allgemeine Form der Ebenengleichung
X=(x,y,z) | beliebiger Punkt der Ebene |
P | fester Punkt der Ebene, Aufpunkt |
\(\overrightarrow a\), \(\overrightarrow b\) | Richtungsvektoren, die die Ebene aufspannen |
u, v | Parameter |
\(\overrightarrow n\) | Normalvektor der Ebene |
Parameterform der Ebenengleichung
Es handelt sich bei beiden nachfolgend angeführten Schreibweisen um "Parameterformen" der Ebene, da man alle Punkte der Ebene dadurch erhält, indem man für die Parameter u und v unterschiedliche Zahlenwerte einsetzt.
Ebene in Koordinatenschreibweise
Jeder Punkt X der Ebene \(\varepsilon\) kann ausgehend von einem Startpunkt \({\rm{P}} \in \varepsilon\) entlang zweier Richtungsvektoren \(\overrightarrow a\) und \(\overrightarrow b\)erreicht werden.
\(\varepsilon :X = P + u.\overrightarrow a + v.\overrightarrow b \)
\(\varepsilon :\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right) = P + u \cdot \overrightarrow a + v \cdot \overrightarrow b \)
\(\varepsilon :\left\{ \matrix{ x = {p_x} + u \cdot {a_x} + v \cdot {b_x} \cr y = {p_y} + u \cdot {a_y} + v \cdot {b_y} \cr z = {p_y} + u \cdot {a_z} + v \cdot {b_z} \cr} \right.\)
Ortsvektor zu jedem Punkt X in der Ebene
Der Ortsvektor ist der Vektor vom Ursprung des Koordinatensystems zu einem Punkt X
\(\overrightarrow x = \left( {\matrix{ {{p_x}} \cr {{p_y}} \cr {{p_z}} \cr } } \right) + u \cdot \left( {\matrix{ {{a_x}} \cr {{a_y}} \cr {{a_z}} \cr } } \right) + v \cdot \left( {\matrix{ {{b_x}} \cr {{b_y}} \cr {{b_z}} \cr } } \right)\)
Ebene durch 3 Punkte
Die 3 Punkte dürfen nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen.
\(P\left( {\matrix{ {{p_x}} \cr {{p_y}} \cr {{p_z}} \cr } } \right);\,\,\,Q\left( {\matrix{ {{q_x}} \cr {{q_y}} \cr {{q_z}} \cr } } \right);\,\,\,R\left( {\matrix{ {{r_x}} \cr {{r_y}} \cr {{r_z}} \cr } } \right)\)
2 Richtungsvektoren spannen die Ebene auf:
\(\overrightarrow {PQ} = \left( {\matrix{ {{q_x} - {p_x}} \cr {{q_y} - {p_y}} \cr {{q_z} - {p_z}} \cr } } \right);\,\,\,\overrightarrow {PR} = \left( {\matrix{ {{q_x} - {r_x}} \cr {{q_y} - {r_y}} \cr {{q_z} - {r_z}} \cr } } \right)\)
Somit lautet die Ebenengleichung durch den Aufpunkt P und aufgespannt durch die beiden Richtungsvektoren:
\(\varepsilon :X = \left( {\matrix{ {{p_x}} \cr {{p_y}} \cr {{p_z}} \cr } } \right) + u\left( {\matrix{ {{q_x} - {p_x}} \cr {{q_y} - {p_y}} \cr {{q_z} - {p_z}} \cr } } \right) + v\left( {\matrix{ {{q_x} - {r_x}} \cr {{q_y} - {r_y}} \cr {{q_z} - {r_z}} \cr } } \right)\)
Normalvektorform der Ebenengleichung
Bei der Normalvektorform der Ebene \(\varepsilon\) wird ein Aufpunkt P und ein Normalvektor \(\overrightarrow n\), welcher im rechten Winkel auf die Ebene steht, benötigt. Mit Hilfe dieser Bestimmungsgröße kann jeder beliebige Punkt X der Ebene berechnet werden. Die Koordinaten des Normalvektors sind zugleich die Koeffizienten der allgemeinen Form der Ebenengleichung
Normalvektorform der Ebene, wenn der Aufpunkt P bekannt ist
\(\begin{array}{l} \varepsilon :\overrightarrow n \cdot \left( {\overrightarrow X - P} \right) = 0\\ \overrightarrow n \cdot \overrightarrow X - \overrightarrow n \cdot P = 0 \end{array}\)
Normalvektorform der Ebene, wenn der senkrechte Abstand d vom Koordinatenursprung bekannt ist
Es gehören all jene Punkte X zur Ebene, für die das Skalarprodukt aus deren Ortsvektor mit dem Normalvektor dem minimalen Abstand vom Ursprung d entsprechen
\(\varepsilon :\overrightarrow n \circ \overrightarrow X = d\)
Hessesche Normalform der Ebene.
Sie spielt eine wichtige Rolle bei der Bestimmung vom Abstand eines Punktes im Raum von der Ebene. Ersetzt man den Normalvektor durch dessen Einheitsvektor, so erhält man die hessesche Normalform
\(\begin{array}{l} \varepsilon :\overrightarrow {{n_0}} \circ \left( {\overrightarrow X - \overrightarrow P } \right) = \dfrac{{\overrightarrow n }}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}} \cdot (X - P) = 0\\ \varepsilon :\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{n_x}}\\ {{n_y}}\\ {{n_z}} \end{array}} \right) \circ \left[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_x}}\\ {{x_y}}\\ {{x_z}} \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{p_x}}\\ {{p_y}}\\ {{p_z}} \end{array}} \right)} \right] = 0 \end{array}\)
Allgemeine Form der Ebenengleichung
Bei der allgmeinen Form einer Ebene sind die Koeffizienten a, b und c zugleich die Koordinaten des Normalvektors und die Variablen x, y und z sind die Koordinaten all jener Punkte X, die auf der Ebene liegen. Es handelt sich bei dieser Darstellungsform um eine lineare Funktion in impliziter Schreibweise, bei der die Koeffizienten a, b und c jedoch nicht willkürlich, sondern die Koordinaten vom Normalvektor sind.
\(\begin{array}{l} \varepsilon :a \cdot x + b \cdot y + c \cdot z = d\\ \overrightarrow n = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a\\ b\\ c \end{array}} \right) \end{array}\)
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Ebenengleichungen und ihre Darstellungsformen | In der analytischen Geometrie werden Ebenen mit der Hilfe von Punkten und Vektoren dargestellt |
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Gleichung der Kugel | Die Kugeloberfläche ist die Menge aller Punkte X, die vom Mittelpunkt M, den Abstand r (Kugelradius) haben. |
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Gleichung der Hyperbel | Die Hyperbel ist die Menge aller Punkte X, die in einer Ebene liegen und für die die Differenz ihrer Abstände von den zwei Brennpunkten den konstanten Wert 2a hat. |
Gleichung des Kreises | Die Kreislinie ist die Menge aller Punkte X, die in einer Ebene liegen und die von einem gegebenen Mittelpunkt M, den Abstand r (Kreisradius) haben. |
Lagebeziehung zweier Ebenen | Zwei Ebenen können zu einander parallel sein, identisch sein oder sich in einer Schnittgeraden schneiden |
Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene | Eine Gerade kann eine Ebene entweder schneiden, parallel zur Ebene liegen oder in der Ebene liegen |
Lagebeziehung zwischen Punkt und Ebene | Entweder liegt der Punktauf in oder außerhalb einer Ebene |
Lagebeziehung zweier Geraden | Zwei Gerade können deckungsgleich, parallel, komplanar oder windschief zu einander sein |
Lagebeziehung zwischen Punkt und Gerade | Entweder liegt der Punkt auf oder außerhalb einer Geraden. |
Lagebeziehung zweier Punkte | Zwei Punkte im Raum können durch einen Vektor verbunden werden. Anschließend kann der Betrag bzw. die Länge des Vektors errechnet werden, und man erhält damit den Abstand der beiden Punkte |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 6030
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Geometrie
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Die Abbildung zeigt eine Sonnenuhr mit einer gegenüber der Horizontalen geneigten, rechteckigen Grundplatte, auf der sich ein kreisförmiges Zifferblatt befindet. Auf der Grundplatte ist der Polstab befestigt, dessen Schatten bei Sonneneinstrahlung die Uhrzeit auf dem
Zifferblatt anzeigt. Eine Sonnenuhr dieser Bauart wird in einem kartesischen Koordinatensystem modellhaft dargestellt (siehe nachfolgende Abbildung).
Dabei beschreibt das Rechteck ABCD mit \(A\left( {5\left| { - 4\left| 0 \right.} \right.} \right)\) und \(B\left( {5\left| {4\left| 0 \right.} \right.} \right)\) die Grundplatte der Sonnenuhr. Der Befestigungspunkt des Polstabs auf der Grundplatte wird im Modell durch den Diagonalenschnittpunkt \(M\left( {2,5\left| {0\left| 2 \right.} \right.} \right)\) des Rechtecks ABCD dargestellt. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 10cm in der Realität. Die Horizontale wird im Modell durch die x1x2-Ebene beschrieben.
1. Teilaufgabe a.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts C.
2. Teilaufgabe a.2) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E, in der das Rechteck ABCD liegt, in Normalenform.
(mögliches Teilergebnis: \(E:4{x_1} + 5{x_3} - 20 = 0\))
Die Grundplatte ist gegenüber der Horizontalen um den Winkel α geneigt. Damit man mit der Sonnenuhr die Uhrzeit korrekt bestimmen kann, muss für den Breitengrad φ des Aufstellungsorts der Sonnenuhr \(\alpha + \varphi = 90^\circ \) gelten.
3. Teilaufgabe b) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Bestimmen Sie, für welchen Breitengrad φ die Sonnenuhr gebaut wurde.
Der Polstab wird im Modell durch die Strecke \(\left[ {MS} \right]{\rm{ mit }}S\left( {4,5\left| {0\left| {4,5} \right.} \right.} \right)\) dargestellt.
4. Teilaufgabe c.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Zeigen Sie, dass der Polstab senkrecht auf der Grundplatte steht.
5. Teilaufgabe c.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Berechnen Sie die Länge des Polstabs auf Zentimeter genau.
Sonnenlicht, das an einem Sommertag zu einem bestimmten Zeitpunkt t0 auf die Sonnenuhr einfällt, wird im Modell durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor
\(\overrightarrow u = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ 6\\ { - 13} \end{array}} \right)\)dargestellt.
6. Teilaufgabe d) 6 BE - Bearbeitungszeit: 14:00
Weisen Sie nach, dass der Schatten der im Modell durch den Punkt S dargestellten Spitze des Polstabs außerhalb der rechteckigen Grundplatte liegt.
Um 6 Uhr verläuft der Schatten des Polstabs im Modell durch den Mittelpunkt der Kante \(\left[ {BC} \right]\), um 12 Uhr durch den Mittelpunkt der Kante \(\left[ {AB} \right]\) und um 18 Uhr durch den Mittelpunkt der Kante \(\left[ {AD} \right]\).
7. Teilaufgabe e) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Begründen Sie, dass der (in Teilaufgabe c, Anm.) betrachtete Zeitpunkt t0 vor 12 Uhr liegt.
Im Verlauf des Vormittags überstreicht der Schatten des Polstabs auf der Grundplatte in gleichen Zeiten gleich große Winkel.
8. Teilaufgabe f) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Bestimmen Sie die Uhrzeit auf Minuten genau, zu der der Schatten des Polstabs im Modell durch den Punkt B verläuft.
Aufgabe 6030
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Geometrie
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Die Abbildung zeigt eine Sonnenuhr mit einer gegenüber der Horizontalen geneigten, rechteckigen Grundplatte, auf der sich ein kreisförmiges Zifferblatt befindet. Auf der Grundplatte ist der Polstab befestigt, dessen Schatten bei Sonneneinstrahlung die Uhrzeit auf dem
Zifferblatt anzeigt. Eine Sonnenuhr dieser Bauart wird in einem kartesischen Koordinatensystem modellhaft dargestellt (siehe nachfolgende Abbildung).
Dabei beschreibt das Rechteck ABCD mit \(A\left( {5\left| { - 4\left| 0 \right.} \right.} \right)\) und \(B\left( {5\left| {4\left| 0 \right.} \right.} \right)\) die Grundplatte der Sonnenuhr. Der Befestigungspunkt des Polstabs auf der Grundplatte wird im Modell durch den Diagonalenschnittpunkt \(M\left( {2,5\left| {0\left| 2 \right.} \right.} \right)\) des Rechtecks ABCD dargestellt. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 10cm in der Realität. Die Horizontale wird im Modell durch die x1x2-Ebene beschrieben.
1. Teilaufgabe a.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts C.
2. Teilaufgabe a.2) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E, in der das Rechteck ABCD liegt, in Normalenform.
(mögliches Teilergebnis: \(E:4{x_1} + 5{x_3} - 20 = 0\))
Die Grundplatte ist gegenüber der Horizontalen um den Winkel α geneigt. Damit man mit der Sonnenuhr die Uhrzeit korrekt bestimmen kann, muss für den Breitengrad φ des Aufstellungsorts der Sonnenuhr \(\alpha + \varphi = 90^\circ \) gelten.
3. Teilaufgabe b) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Bestimmen Sie, für welchen Breitengrad φ die Sonnenuhr gebaut wurde.
Der Polstab wird im Modell durch die Strecke \(\left[ {MS} \right]{\rm{ mit }}S\left( {4,5\left| {0\left| {4,5} \right.} \right.} \right)\) dargestellt.
4. Teilaufgabe c.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Zeigen Sie, dass der Polstab senkrecht auf der Grundplatte steht.
5. Teilaufgabe c.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Berechnen Sie die Länge des Polstabs auf Zentimeter genau.
Sonnenlicht, das an einem Sommertag zu einem bestimmten Zeitpunkt t0 auf die Sonnenuhr einfällt, wird im Modell durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor
\(\overrightarrow u = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ 6\\ { - 13} \end{array}} \right)\)dargestellt.
6. Teilaufgabe d) 6 BE - Bearbeitungszeit: 14:00
Weisen Sie nach, dass der Schatten der im Modell durch den Punkt S dargestellten Spitze des Polstabs außerhalb der rechteckigen Grundplatte liegt.
Um 6 Uhr verläuft der Schatten des Polstabs im Modell durch den Mittelpunkt der Kante \(\left[ {BC} \right]\), um 12 Uhr durch den Mittelpunkt der Kante \(\left[ {AB} \right]\) und um 18 Uhr durch den Mittelpunkt der Kante \(\left[ {AD} \right]\).
7. Teilaufgabe e) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Begründen Sie, dass der (in Teilaufgabe c, Anm.) betrachtete Zeitpunkt t0 vor 12 Uhr liegt.
Im Verlauf des Vormittags überstreicht der Schatten des Polstabs auf der Grundplatte in gleichen Zeiten gleich große Winkel.
8. Teilaufgabe f) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Bestimmen Sie die Uhrzeit auf Minuten genau, zu der der Schatten des Polstabs im Modell durch den Punkt B verläuft.