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Lineare Optimierung

Hier findest du folgende Inhalte

1
Formeln
10
Aufgaben
    Formeln
    Wissenspfad
    Aufgaben

    Lineare Optimierung

    Einfache Minimum-, Maximumaufgaben

    Dabei handelt es sich meist um textlich ausformulierte Fragestellungen, bei denen aus (sehr) vielen möglichen Lösungen die „optimale Lösung“ im Sinne eines erwünschten Minimums oder Maximums herausgesucht werden soll. Muss man lediglich 2 Variablen, die noch dazu „nur“ linear (also zur 1. Potenz) vorliegen, mit in die Suche einbeziehen, dann bestimmt man zunächst die Durchschnittsmenge und sucht anschließen daraus die optimale Lösung.

     

    Zielfunktion: Die Zielfunktion fasst die zu maximierende bzw. zu minimierende Größe als Funktion der für die Optimierung maßgeblichen Variablen zusammen.

    Nebenbedingung: Nebenbedingungen sind Bedingung für die Variablen, welche die allgemeine Lösungen der Optimierungsaufgabe auf einen kleineren Lösungsbereich einschränken.


    Extremwertaufgaben bzw. Optimierung mittels Differentialrechnung

    Bei Extremwertaufgaben geht es um die Beantwortung einer Aufgabenstellung vom Typ "finde Minimum" oder "finde Maximum", wobei die Aufgabenstellung als Zielfunktion formuliert wird, unter der Berücksichtigung von Nebenbedingungen. Für die Lösung solcher Aufgaben bewährt sich folgendes Vorgehen:

    • Skizze mit allen Variablen und Beschriftungen
    • Zielfunktion aufstellen, indem der Zusammenhang zwischen der Variable die „minimiert oder maximiert“ werden soll und den restlichen Variablen angeschrieben wird.
    • Nebenbedingungen aufstellen, indem alle Zusammenhänge der Variablen angeschrieben werden
    • In den Nebenbedingungen die Variable(n) „explizit“ machen, damit man sie in die Zielfunktion einsetzen kann und diese nur mehr von einer einzigen Variablen abhängig ist
    • Durch differenzieren den Extremwert der Zielfunktion bestimmen
    Lineare Optimierung
    Maximum (Lineare Optimierung)
    Extremwertaufgabe
    Minimum (Lineare Optimierung)
    Nebenbedingung
    Zielfunktion
    Fragen oder Feedback

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    Aufgabe 205

    Extremwertaufgabe

    Ein Bauer hat 700m Gartenzaun. Er will ein Gemüsebeet mit der größtmöglichen rechteckigen Fläche einzäunen. Welche Länge l bzw. welche Breite b muss er wählen?

    Größte Fläche eines Rechtecks bei gegebenem Umfang
    Extremwertaufgabe
    Zielfunktion
    Nebenbedingung
    Minimum (Lineare Optimierung)
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    Aufgabe 224

    Kurvendiskussion

    Führe für folgende Funktion eine Kurvendiskussion durch:

    \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} - 9}}\)

    • 1. Teilaufgabe: Definitionsbereich, Stetigkeit und Differenzierbarkeit
    • 2. Teilaufgabe: Polstellen
    • 3. Teilaufgabe: Lücken
    • 4. Teilaufgabe: Verhalten im Unendlichen
    • 5. Teilaufgabe: Gleichung der Asymptoten
    • 6. Teilaufgabe: Symmetrien
    • 7. Teilaufgabe: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
    • 8. Teilaufgabe: Berechne die 1. Ableitung
    • 9. Teilaufgabe: Berechne die 2. Ableitung
    • 10. Teilaufgabe: Berechne die 3. Ableitung
    • 11. Teilaufgabe: Berechne die Nullstellen
    • 12. Teilaufgabe: Berechne die Extremstellen - untersuche auf Hoch- und Tiefpunkte
    • 13. Teilaufgabe: Berechne die Extremstellen - untersuche auf Wende- und Sattelpunkte
    • 14. Teilaufgabe: Bestimme die Wendetangente in der Hauptform und in der Punkt-Richtungsform
    • 15. Teilaufgabe: Erstelle eine Wertetabelle
    • 16. Teilaufgabe: Skizziere die Funktion
    Polstelle
    Lücke im Definitionsbereich
    Asymptote
    Hochpunkt einer Funktion
    Tiefpunkt einer Funktion
    Wendestelle einer Funktion
    Sattelpunkt einer Funktion
    Tangente im Wendepunkt einer Funktion
    Kurvendiskussion - 224. Aufgabe
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    Aufgabe 225

    Funktionsgleichung aus Extremwerten bestimmen

    Finde die Gleichung der zugehörigen Polynomfunktion 3. Grades

    • Extremwert 1: \(E{W_1}\left( {0\left| 0 \right.} \right)\)
    • Extremwert 2: \(E{W_2}\left( {2\left| { - 4} \right.} \right)\)
    Polynomfunktion 3. Grades
    Funktionsgleichung aus Extremwerten bestimmen
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    Aufgabe 226

    Funktionsgleichung aus Extremwerten bestimmen

    Finde die Gleichung der zugehörigen Polynomfunktion 3. Grades

    • Hochpunkt: \(HP\left( {0\left| 6 \right.} \right)\)
    • Punkt \(P\left( {2\left| 3 \right.} \right)\)
    • Tangente in P hat den Anstieg: \({\rm{k = - 2}}{\rm{,5}}\)
    Polynomfunktion 3. Grades
    Funktionsgleichung aus Extremwerten bestimmen
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    Aufgabe 227

    Funktionsgleichung aus Extremwerten bestimmen

    Finde die Gleichung der zugehörigen Polynomfunktion 3. Grades

    • Hochpunkt \(HP\left( {2\left| 3 \right.} \right)\)
    • Wendepunkt \(WP\left( {0\left| 1 \right.} \right)\)
    Polynomfunktion 3. Grades
    Funktionsgleichung aus Extremwerten bestimmen
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    Aufgabe 228

    Gleichung der Tangente an den Graph eines Polynoms

    Gesucht ist die Gleichung der Tangente gemäß \(y = kx + d\) an den Graph der Funktion \(f\left( x \right) = - \dfrac{3}{8}{x^3} - \dfrac{3}{8}{x^2} + \dfrac{3}{8}x + \dfrac{3}{8}\) an der Stelle \(x = - \dfrac{1}{3}\)

     

    Tangente in einem Punkt eines Polynoms
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    Aufgabe 229

    Funktionsgleichung aus Extremwerten bestimmen

    Finde die Gleichung der zugehörigen Polynomfunktion 3. Grades

    • Extremstelle: \(EST(\dfrac{1}{3}\left| {ES{T_y}} \right.)\)
    • Wendepunkt: \(WP\left( { - \dfrac{1}{3}\left| {W{P_y}} \right.} \right)\)
    • Gleichung der Wendetangente: \(WT:\,y = 0,5 \cdot x + \dfrac{7}{{18}}\)
    Polynomfunktion 3. Grades
    Funktionsgleichung aus Extremwerten bestimmen
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    Aufgabe 230

    Funktionsgleichung aus Extremwerten bestimmen

    Finde die Gleichung der zugehörigen Polynomfunktion 3. Grades:

    • Wendepunkt: \({\rm{WP}}\left( { - 2\left| 0 \right.} \right)\)
    • Punkt auf dem Graph: \({\rm{P}}\left( {0\left| 4 \right.} \right)\)
    • Anstieg der Tangente in P: \({\rm{k = 10}}\)
    Funktionsgleichung aus Extremwerten bestimmen
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    Aufgabe 231

    Funktionsgleichung aus Extremwerten bestimmen

    Finde die Gleichung der zugehörigen Polynomfunktion 3. Grades

    • Wendepunkt: \({\rm{WP}}\left( {4\left| y \right.} \right)\)
    • Gleichung der Wendetangente: \(x + y = 8\)
    • Der Graph von f(x) verläuft durch den Ursprung des Koordinatensystems
    Polynomfunktion 3. Grades
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    Aufgabe 232

    Funktionsgleichung aus Extremwerten bestimmen

    Finde die Gleichung der zugehörigen Polynomfunktion 4. Grades

    • Die Funktion ist gerade, also symmetrisch zur x-Achse
    • Sie hat ein lokales Maximum bei \({\rm{Max}}\left( {0\left| 2 \right.} \right)\)
    • Sie hat einen Wendepunkt bei: \(W{P_1}(\sqrt {\dfrac{2}{3}} \left| { - \dfrac{2}{9})} \right.\)
    Polynomfunktion 4. Grades
    Funktionsgleichung aus Extremwerten bestimmen
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