Numerische Integration

Numerische Integration

Die numerische Integration, sie behandelt die näherungsweise Berechnung von Integralen, kommt dann zum Einsatz,

• wenn der Integrand nicht als Funktion f(x) gegeben ist, sondern aus einer Messreihe nur punktweise vorliegt. 
  • In diesem Fall kann man allerdings vorab versuchen durch Regression z.B. eine lineare Funktion, eine Polynomfunktion n-ten Grades oder eine exponentielle Funktion zu finden, welche den Graph der Messwertreihe hinreichend genau annähert und die dann anschließend durch das Auffinden einer Stammfunktion geschlossen integrierbar ist. 

Erläuterung an Hand eines Beispiels:

zur Erinnerung, der Integrand ist die konkrete Funktion f(x), zu der durch Integration die Stammfunktion F(x) gefunden werden soll...
 

Nun wird es bei physikalischen Anwendungen in der Praxis des täglichen Lebens so sein, dass man f(x) gar nicht kennt, weil f(x) ein Geheimnis der Natur bleibt, sondern nur eine Anzahl an Messwerten. In der Maturaaufgabe "Bewegung eines Bootes - Teil b" kennt man die Geschwindigkeit v(t) des Bootes nur zu 4 konkreten Zeitpunkten t₁ bis t₄, an denen jeweils die Geschwindigkeit gemessen wurde. Die Funktion v(t) selbst kennt man (zunächst) aber nicht. Daher ist es nicht möglich etwa den zurückgelegten Weg s(t) zu bestimmen, der ja der Fläche unter v(t), bzw.dem Integral über t von v(t) entspricht.

Bei einer numerischen Integration würde man die Fläche unter den Verbindungslinien zwischen den 4 Punkten, die ja dem bestimmten Integral s(t) entspricht, z.b. durch Trapeze annähern und führt so eine "numerische" Integration durch.

→ Dh bei der numerischen Integration man erhält einen Zahlenwert für das bestimmte Integral, ohne f(x) oder F(x) explizit anschreiben zu können.

In der Maturaaufgabe "Bewegung eines Bootes - Teil b" wählt man allerdings einen anderen Ansatz und umgeht die numerische Integration, indem man durch Regression die Funktion f(x) - in der Aufgabe allerdings v(t) - aus den 4 Messwerten näherungsweise als Exponentialfunktion bestimmt und dann die Stammfunktion s(t) ermittelt. 

• wenn die Funktion f(x) zwar gegeben aber nicht analytisch integrierbar ist. Das ist beim Integrieren leider nicht die Ausnahme, sondern die Regel! Nur die wenigsten Funktionen können analytisch Integriert werden.
  Beispiele für solche Funktionen sind
  \(\eqalign{ & \int {\frac{{{e^x}}}{x}} \,\,dx \cr & \int {{e^{ - {x^2}}}} \,\,dx \cr & \int {\dfrac{{\sin x}}{x}} \,\,dx \cr & \int {\sin \left( {{x^2}} \right)} \,\,dx \cr} \)

Bei der numerischen Integration kommen etwa Quadraturformeln zum Einsatz, die auf einer gewichteten Summe von Funktionswerten basieren

• Rechtecksregel
• Trapezregel
• Simpsonsche Regel
• Keplersche Fassregel

Heute setzt man bevorzugt Computeralgebrasysteme wie Maple® oder Mathematica® ein.

Numerische Integration - Rechteck

Der Flächeninhalt A zwischen dem Graphen von f(x) und der x-Achse wird durch Rechtecke - sehr grob – angenähert.

\(\eqalign{ & A = \int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx \approx } \cr & \approx \dfrac{{b - a}}{n} \cdot \left[ {f\left( {{x_0}} \right) + f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right) + ... + f\left( {{x_{n - 1}}} \right)} \right] = \cr & = \Delta x \cdot \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {f\left( {{x_i}} \right)} ; \cr}\)

Numerische Integration - Trapez

Der Flächeninhalt A zwischen dem Graphen und der x-Achse wird durch Trapeze angenähert, indem man den Kurvenbogen abschnittsweise durch Sehnen ersetzt.

\(\eqalign{ & A = \int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx \approx } \cr & \approx \dfrac{{b - a}}{{2n}} \cdot \left[ {f\left( {{x_0}} \right) + 2f\left( {{x_1}} \right) + 2f\left( {{x_2}} \right) + ... + 2f\left( {{x_{n - 1}}} \right) + f\left( {{x_n}} \right)} \right] \cr}\)

Numerische Integration - Keplersche Fassregel

Der Flächeninhalt A zwischen dem Graphen und der x-Achse wird durch eine Parabel angenähert, die durch den Funktionswert am Anfang und am Ende verläuft.

\(\eqalign{ & A = \int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx} \approx \cr & \approx \dfrac{{b - a}}{6} \cdot \left[ {f\left( a \right) + 4f\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right) + f\left( b \right)} \right] \cr}\)

Numerische Integration - Simpsonsche Regel

Der Flächeninhalt A zwischen dem Graphen und der x-Achse wird durch Teilflächen unter Parabelbögen angenähert, wobei jeder Parabelbogen durch drei aufeinanderfolgende Intervallpunkte verläuft.

\(\eqalign{ & A = \int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx \approx } \cr & \approx \dfrac{{b - a}}{{3n}} \cdot \left[ {f\left( {{x_0}} \right) + 4f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right)} \right] + \cr & + \left[ {f\left( {{x_2}} \right) + 4f\left( {{x_3}} \right) + f\left( {{x_4}} \right)} \right] + ... \cr & + \left[ {f\left( {{x_{n - 2}}} \right) + 4f\left( {{x_{n - 1}}} \right) + f\left( {{x_n}} \right)} \right] \cr}\)