Quadratische Ungleichungen mit einer Variablen

Quadratische Ungleichung mit einer Variablen

Enthält die Ungleichung die Variable x zur 2. Potenz, so spricht man von einer quadratischen Ungleichung.

\(a{x^2} + bx + c < 0\)

Man löst zunächst die zugehörige quadratische Gleichung
\(a{x^2} + bx + c = 0\)

mit der abc Formel. 

• Wenn die Gleichung keine Lösung hat, dann ist die Ungleichung entweder für kein oder für alle x erfüllt
• Wenn die Gleichung eine oder zwei Lösung hat, dann ist die Lösung der Ungleichung die Vereinigungsmenge der Lösungsintervalle

Anschließen faktorisiert man das Polynom wie folgt

\(a{x^2} + bx + c = (x - {x_1}) \cdot \left( {x - {x_2}} \right)\)

somit wird aus \(a{x^2} + bx + c < 0\) nunmehr \((x - {x_1}) \cdot \left( {x - {x_2}} \right) < 0\)

Die beiden Faktoren (x-x₁) bzw. (x-x₂) ergeben nur dann gemäß Angabe ein negatives Ergebnis (<0), wenn sie entgegengesetzte Vorzeichen haben. Es muss daher gelten:
\(\eqalign{ & \left( {x - {x_1}} \right) < 0{\text{ und }}\left( {x - {x_2}} \right) > 0 \cr & {\text{oder}} \cr & \left( {x - {x_1}} \right) > 0{\text{ und }}\left( {x - {x_2}} \right) < 0 \cr}\)

Nunmehr kann man die Lösung als offenes Intervall auf dem Zahlenstrahl darstellen.

Illustration der Lösung einer quadratischen Ungleichung am Zahlenstrahl