Quadratische Ungleichung mit einer Variablen
Formel
Quadratische Ungleichung mit einer Variablen
Enthält die Ungleichung die Variable x zur 2. Potenz, so spricht man von einer quadratischen Ungleichung.
\(a{x^2} + bx + c < 0\)
Man löst zunächst die zugehörige quadratische Gleichung
\(a{x^2} + bx + c = 0\)
mit der abc Formel.
- Wenn die Gleichung keine Lösung hat, dann ist die Ungleichung entweder für kein oder für alle x erfüllt
- Wenn die Gleichung eine oder zwei Lösung hat, dann ist die Lösung der Ungleichung die Vereinigungsmenge der Lösungsintervalle
Anschließen faktorisiert man das Polynom wie folgt
\(a{x^2} + bx + c = (x - {x_1}) \cdot \left( {x - {x_2}} \right)\)
somit wird aus \(a{x^2} + bx + c < 0\) nunmehr \((x - {x_1}) \cdot \left( {x - {x_2}} \right) < 0\)
Die beiden Faktoren (x-x1) bzw. (x-x2) ergeben nur dann gemäß Angabe ein negatives Ergebnis (<0), wenn sie entgegengesetzte Vorzeichen haben. Es muss daher gelten:
\(\eqalign{ & \left( {x - {x_1}} \right) < 0{\text{ und }}\left( {x - {x_2}} \right) > 0 \cr & {\text{oder}} \cr & \left( {x - {x_1}} \right) > 0{\text{ und }}\left( {x - {x_2}} \right) < 0 \cr}\)
Nunmehr kann man die Lösung als offenes Intervall auf dem Zahlenstrahl darstellen.
Illustration der Lösung einer quadratischen Ungleichung am Zahlenstrahl
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Wissenspfad
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