Berechnung von Drehstromsystemen

Drehstrom

Drehstrom ist eine gängige Kurzbezeichnung für dreiphasigen Wechselstrom, der in 3 um je 120° versetzten Spulen in einem homogenen Magnetfeld erzeugt wird.

Die Summe der 3 so induzierten sinusförmigen Strang-Spannungen u₁(t), u₂(t) und u₃(t) ist zu jedem Zeitpunkt Null. Mit „Strang“ bezeichnet man immer die Größe, die direkt an der Generatorspule anliegt, unabhängig davon ob die Generatorspulen im Stern oder im Dreieck zusammengeschaltet werden. Man kann die 3 Induktionsspulen zu einem Stern oder einem Dreieck zusammenschalten, ohne dass ein Kurzschluss entsteht. Wird für das Drehstromsystem eine Nennspannung angegeben, im Haushalt z.B. 400V, so handelt es sich dabei um den Effektivwert der Außenleiterspannung. Die Spannung zwischen einem Außenleiter und dem Neutralleiter ist hingegen um die Quadratwurzel aus 3 kleiner (im Haushalt also 230V).

Spannungen in einem Drehstromsystem als sich zeitlich ändernde Wechselgrößen

\(\eqalign{ & {u_{1N}}\left( t \right) = \mathop U\limits^ \wedge \cdot \cos \omega t \cr & {u_{2N}}\left( t \right) = \mathop U\limits^ \wedge \cdot \cos \left( {\omega t - \frac{{2\pi }}{3}} \right) \cr & {u_{3N}}\left( t \right) = \mathop U\limits^ \wedge \cdot \cos \left( {\omega t - \frac{{4\pi }}{3}} \right) \cr} \)

Spannungen in einem Drehstromsystem in komplexer Zeigerdarstellung unter Verwendung vom komplexen Drehoperator "a".

\(\eqalign{ & \underline {{u_{1N}}} \left( t \right) = U \cdot {e^{j{\varphi _U}}} = \overrightarrow {{U_{1N}}} \cr & \underline {{u_{2N}}} \left( t \right) = {a^2} \cdot U \cdot {e^{j{\varphi _U}}} = {a^2} \cdot \overrightarrow {{U_{1N}}} \cr & \underline {{u_{3N}}} \left( t \right) = a \cdot U \cdot {e^{j{\varphi _U}}} = a \cdot \overrightarrow {{U_{1N}}} \cr} \)

Das dreiphasige Wechselstromsystem ist symmetrisch, wenn die 3 Amplituden \(\mathop U\limits^ \wedge {\,_a} = \mathop U\limits^ \wedge {\,_b} = \mathop U\limits^ \wedge {\,_c}\)  gleich sind und wenn die Phasenverschiebung jeweils \(120^\circ = \dfrac{{2\pi }}{3}\) beträgt.

Komplexer Drehoperator “a”

In der Wechselstromtechnik werden die elektrischen Größen durch Zeiger dargestellt. Solch ein Zeiger ist ein Vektor, der mit einer frequenzabhängigen Winkelgeschwindigkeit um den Koordinatenursprung rotiert und bei denen Strom- und Spannungsgrößen einen konstanten Phasenverschiebungswinkel zu einander haben.

In der Drehstromtechnik werden elektrische Größen durch Raumzeiger dargestellt. Ist die Last im Dreieck geschaltet, oder ist der Sternpunkt der Last nicht mit dem Neutralleiter verbunden, dann ist die Summe der Phasengrößen immer Null. Auf Grund dieser "Nullbedingung" muß man bei Drehstromsystemen nicht mit drei autonomen Phasengrößen rechnen, sondern kann sich auf zwei Phasengrößen beschränken, da die dritte Größe immer die Ergänzung auf Null sein muss.

Dafür hat sich mit dem komplexen Drehstromoperator a folgende vereinfachte Schreibweise etabliert:

\(a = {e^{j120^\circ }} = {e^{j\dfrac{{2\pi }}{3}}} = \cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3}} \right) + j\sin \left( {\dfrac{{2\pi }}{3}} \right) = - \dfrac{1}{2} + j\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

\({a^2} = {\left( {{e^{j120^\circ }}} \right)^2} = {e^{j\dfrac{{4\pi }}{3}}} = \cos \left( {\dfrac{{4\pi }}{3}} \right) + j\sin \left( {\dfrac{{4\pi }}{3}} \right) = - \dfrac{1}{2} - j\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Für den komplexen Drehstromoperator gelten folgende Rechenregeln:

\(\eqalign{ & {a^2} = {a^{ - 1}};\,\,\,\,\,{a^3} = 1;\,\,\,\,\,{a^4} = a; \cr & 1 + a + {a^2} = 0; \cr & a - {a^2} = j \cdot \sqrt 3 ; \cr & 1 - {a^2} = \sqrt 3 \cdot {e^{\dfrac{{j\pi }}{3}}}; \cr}\)

Symmetrische Drehstromsysteme

Auf Grund der überragenden praktischen Bedeutung werden Dreiphasenwechselstromsysteme und Drehstromsystem im Folgenden synonym verwendet. Ein Dreiphasenwechselstromsystem ist symmetrisch, wenn die 3 Außenleiterspannungen und die 3 Außenleiterströme gleich groß und um jeweils 120° phasenverschoben sind. Elektrische Energie wird vorwiegend mit Synchrongeneratoren "erzeugt", sodass die Spannungen am Ort der Erzeugung symmetrisch sind. Die Impedanzen der Leitungen, vor allem aber die Unsymmetrien der Lasten führen zu unsymmetrischen Drehstromsystemen.

\(\eqalign{ & \overrightarrow {{Z_1}} = \overrightarrow {{Z_2}} = \overrightarrow {{Z_3}} \cr & \overrightarrow {{I_1}} + \overrightarrow {{I_2}} + \overrightarrow {{I_3}} = 0 \cr & \left| {\overrightarrow {{I_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{I_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{I_3}} } \right| \cr & \overrightarrow {{U_{12}}} + \overrightarrow {{U_{23}}} + \overrightarrow {{U_{31}}} = 0 \cr & \overrightarrow {{U_{1N}}} + \overrightarrow {{U_{2N}}} + \overrightarrow {{U_{3N}}} = 0 \cr & \left| {\overrightarrow {{U_{12}}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{U_{23}}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{U_{31}}} } \right| = \sqrt 3 \cdot \overrightarrow {{U_{1N}}} = \sqrt {3 \cdot } \overrightarrow {{U_{2N}}} = \sqrt 3 \cdot \overrightarrow {{U_{3N}}} \cr}\)

Zur Berechnung symmetrischer Drehstromnetze genügen einphasige Ersatzschaltbilder. Statt der früher üblichen und veralteten Leiterbezeichnung R, S und T wird heute L₁, L₂ und L₃ oder auch L_a, L_b und L_c verwendet.

Zusammenhang zwischen Außenleitergrößen und Stranggrößen

Mit „Strang“ bezeichnet man immer die Größe die direkt an der Generatorspule, also im Inneren des Generators anliegt, unabhängig davon ob die Generatorspulen nach außen hin im Stern oder im Dreieck zusammengeschaltet bzw. "verkettet" werden. Die verketteten Spannungen werden als Nennspannung eines Drehstromnetzes verwendet. D.h. die Höhe der verketteten Spannung ist unabhängig davon, ob es sich um eine Stern- oder Dreiecksschaltung, oder bei Verteilnetztrafos auf der Niederspannungsseite um eine Zickzackschaltung handelt. Zickzackschaltungen werden eingesetzt, um eine unsymmetrischer Last auf der Sekundärseite besser auf die Außenleiter auf der Primärseite eines Trafos aufzuteilen. Sie vertragen die Schieflast einer Dreieckschaltung verfügen aber über den in Verteilnetzen erforderlichen Sternpunktleiter.

Außenleitergrößen und Stranggrößen bei Sternschaltung​

Bei der Sternschaltung wird von jeder Spule jeweils 1 Spulenanschluss zu einem Sternpunkt verbunden. An diesen Sternpunkt kann ein für alle Stränge gemeinsamer Rückleiter, der Neutral-, oder Sternpunktsleiter angeschlossen werden. Dadurch entsteht ein Vierleiternetz, mit den Leiterbezeichnungen L₁, L₂. L₃ und N und zwei Spannungssysteme, eines zwischen je 2 Außenleitern und eines zwischen einem Außenleiter und dem Sternpunkt.

\(\eqalign{ & \overrightarrow {{U_{12}}} = \sqrt 3 \cdot \overrightarrow {{U_{LN}}} ; \cr & \overrightarrow I = \overrightarrow {{I_L}} = {\overrightarrow I _{LN}}; \cr};\)

• Außenleiterspannungen sind um den Wert \(\sqrt 3\) höher als die Strangspannungen
• Außenleiterströme sind gleich groß wie die Strangströme

400 V Netz in Sternschaltung bedeutet also:

• Verkettete Spannung = Spannung zwischen je zwei Außenleitern = 400 V
• Spannung zwischen jedem Außenleiter und dem Sternpunkt = 230 V

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Zusammenspiel zwischen Neutralleiter, Schutzleiter und Erdung

• Durch den Neutral- oder Sternpunktleiter (in blauer Farbe ausgeführt) fließt die Summe der 3 Außenleiterströme vom Verbraucher zum Sternpunkt im Trafo zurück. Der Neutralleiter ist derjenige Leiter in einem Stromnetz, der den Strom von den Verbrauchern zurück zur Stromquelle führt. Bei symmetrischer Belastung der 3 Außenleiter und ohne Oberschwingungen ist der Strom in Neutralleiter null. Bei unsymmetrischer Belastung, was in der Praxis zu erwarten ist, fließt durch den Neutralleiter ein Strom, der zwischen null und einem Strom der sogar größer als ein Außenleiterstrom sein kann. Das ist bei der Berechnung vom Leiterquerschnitt zu beachten. Bei einer Unterbrechung vom Sternpunktleiter verschiebt sich der Sternpunkt. Der Sternpunkt kann niederohmig, hochohmig oder nicht geerdet sein. Man unterscheidet auch zwischen gelöschten Netzen, bei denen der Sternpunkt über eine regelbare Petersenspule geerdet ist und nicht gelöschten Netzen.
• Vom Neutralleiter zu unterscheiden ist der Schutz- oder PE-Leiter (in gelb-grüner Farbe ausgeführt). Der Schutzleiter dient dazu, Personen und Anlagen vor elektrischem Schlag zu schützen, er leitet Fehlerströme in die Erde ab. Er ist ein spezieller Leiter, der alle leitfähigen Teile von Geräten und Anlagen an einem Punkt, der Potenzialausgleichsschiene, innerhalb der zu schützenden Anlage, miteinander verbindet und ab dort mit der Erdung der Anlage verbunden ist. Bei einem Isolationsfehler, wenn stromführende Teile mit metallenen Gehäusen (Fehler: Phase - Erde) oder anderen leitenden Teilen (Fehler Phase - Phase) in Berührung kommen, wird der Fehlerstrom über den Schutzleiter und die Potentialausgleichsschiene sicher zur Erde abgeleitet. Dabei wird ein FI-Schutzschalter oder eine Sicherung ausgelöst, die dann den Stromkreis unterbricht.
• Durch die Erdung wird ein niederohmiger Pfad, für Blitzeinschlag- und Fehlerströme bereitgestellt, um diese von Blitz-Fangeinrichtung oder der Potentialausgleichsschiene sicher in die Erde abzuleiten. 
• Als Nullung bezeichnet man eine bestimmte Art der elektrischen Verdrahtung, bei der der Neutralleiter (leitet den Summenstrom zum Trafo-Sternpunkt zurück) zugleich als Schutzleiter (leitet Fehlerströme in die Erde ab) verwendet wird. Anstatt einen separaten gelb-grünen Schutzleiter zu haben, wird dabei der Neutralleiter für die Schutzerdung verwendet. Selbstverständlich kommen auch bei Nullung FI-Schutzschalter zum Einsatz. Moderne elektrische Installationen erfordern jedoch eine getrennte Verlegung von Neutralleiter und Schutzleiter.
• Der Anlagenschutz eines Haushalts erfolgt entweder durch
  • Nullung und einen FI-Schutzschalter mit einem Fehlerstrom von z.B. 0,03A je Stromkreis, oder durch
  • Schutz durch selektive FI-Schalter. Ist der Schutz einer Anlage selektiv ausgeführt, verwendet man einen FI-Schutzschalter mit einem Fehlerstrom von z.B. 0,03A je Stromkreis und einem zusätzlichen FI-Schutzschalter mit einem Fehlerstrom von z.B.: 0,1A, der dann die gesamte Anlage abschaltet, wenn die stromkreis-spezifischen FI-Schutzschalter versagen.

Außenleitergrößen und Stranggrößen bei Dreieckschaltung

Bei der Dreieckschaltung werden die Spulenanschlüsse der Spulen direkt mit einander verbunden. Dadurch entsteht ein Dreileitersystem, mit den Leiterbezeichnungen L₁, L₂. L₃ und ein Spannungssystem, da es keinen Neutralleiter gibt.

\(\eqalign{ & \overrightarrow U = \overrightarrow {{U_L}} = \overrightarrow {{U_{12}}} ; \cr & \overrightarrow {{I_{12}}} = \sqrt 3 \cdot {\overrightarrow I _L}; \cr}\)

• Außenleiterspannungen sind so groß wie die Strangspannungen
• Außenleiterströme sind um den Wert \(\sqrt 3 \) höher als die Strangströme

400 V Netz bei Dreieckschaltung bedeutet also:

• Verkettete Spannung = Spannung zwischen je zwei Außenleitern = 400 V

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Elektrische Leistung in Drehstromsystemen

Unabhängig davon, ob Verbraucher in Stern- oder in Dreieckschaltung an ein Drehstromsystem angeschlossen sind, errechnet sich ihre Leistungsaufnahme in beiden Fällen mit den selben Formeln. Die Höhe der aufgenommenen Leistung ist bei ein und dem selben Verbraucher aber in der Sternschaltung 2/3 niedriger als in der Dreieckschaltung. Deshalb bediente man sich bei Asynchronmotoren mit hohem Anlaufstrom (Kurzschlussläufer) einer Stern-Dreiecks-Anlaufschaltung. Der Motor läuft in Sternschaltung an und nimmt nur 1/3 seiner maximalen Leistung auf und wird für den eigentlichen Betrieb in Dreiecksschaltung umgeschaltet. Heute kommen Frequenzumrichter zum Einsatz.

Wirkleistung von Drehstromsystemen

Die Wirkleistung im Drehstromnetz ist das dreifache vom Produkt aus Strangspannung, Strangstrom und dem Kosinus von Winkel zwischen Strom und Spannung bzw. das Wurzeldreifache vom Produkt aus Phasen-Phasen Spannung mal Außenleiterstrom mal dem Kosinus von Winkel zwischen Strom und Spannung​
\(P = 3 \cdot \overrightarrow {{U_{Str}}} \cdot \overrightarrow {{I_{Str}}} \cdot \cos \varphi = \sqrt 3 \cdot \overrightarrow {{U_L}} \cdot \overrightarrow {{I_L}} \cdot \cos \varphi \)

Blindleistung von Drehstromsystemen

Die Blindleistung im Drehstromnetz ist das dreifache vom Produkt aus Strangspannung, Strangstrom und dem Sinus von Winkel zwischen Strom und Spannung bzw. das Wurzeldreifache vom Produkt aus Phasen-Phasen Spannung mal Außenleiterstrom mal dem Sinus von Winkel zwischen Strom und Spannung
\(Q = 3 \cdot \overrightarrow {{U_{Str}}} \cdot \overrightarrow {{I_{Str}}} \cdot \sin \varphi = \sqrt 3 \cdot \overrightarrow {{U_L}} \cdot \overrightarrow {{I_L}} \cdot \sin \varphi \)

Scheinleistung von Drehstromsystemen

Die Scheinleistung im Drehstromnetz ist das dreifache vom Produkt aus Strangspannung und Strangstrom bzw. das Wurzeldreifache vom Produkt aus Phasen-Phasen Spannung mal Außenleiterstrom
\(S = 3 \cdot \overrightarrow {{U_{Str}}} \cdot \overrightarrow {{I_{Str}}} = \sqrt 3 \cdot \overrightarrow {{U_{L}}} \cdot \overrightarrow {{I_L}} \)