Relativitätstheorien
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Formeln
Relativitätstheorien
Newtonsche Theorien
Die Newtonsche Mechanik berücksichtigt die Gravitation als eine Kraft wie jede andere Kraft. Die Gravitationskraft hängt von der Masse der beteiligten Objekte, dem Quadrat ihres Abstands und von einer Gravitationskonstante ab. Die Newtonsche Gravitation gilt nur für Geschwindigkeiten die sehr viel kleiner sind als die Lichtgeschwindigkeit. Die Lichtgeschwindigkeit wird bei Newton als „unendlich“ angesehen.
Spezielle Relativitätstheorie (SRT - 1905)
Ausgehend vom Experiment von Michelson und Morley, welches zeigte, dass das Licht - anders als Schall - kein Medium (namentlich den Lichtäther als bevorzugtes Bezugssystem) zu seiner Ausbreitung und zum damit verbundenen Energietransport benötigt, basiert die SRT auf dem Prinzip der Konstanz der (endlichen) Lichtgeschwindigkeit. Aus der rein theoretischen Betrachtung von gegeneinander mit konstanter Geschwindigkeit bewegter Bezugssysteme, leiten sich Phänomene wie die Längenkontraktion und die Zeitdilation ab, die erst Jahrzehnte später experimentell bewiesen werden konnten. In der SRT sind Ort, Zeit und Geschwindigkeit relativ, nur die Beschleunigung und die Lichtgeschwindigkeit sind absolut. Auf Grund des späten experimentellen Nachweises hat Einstein auch nie einen Nobelpreis für die Relativitätstheorien erhalten! Weiters wurde im Rahmen der SRT die Äquivalenz von Energie und Masse gemäß \(E = m \cdot {c^2}\) hergeleitet.
Allgemeine Relativitätstheorie (ART - 1915)
Beinhaltet vollständig die SRT und geht weit darüber hinaus und zwar durch die Betrachtung von gegeneinander beschleunigten Bezugssysteme und der Einbeziehung der Gravitation unter relativistischen Gesichtspunkten. Betrachtet wird die 4-dimensionale Raumzeit (x,y,z und t). Masse krümmt alle 4 Dimensionen der Raumzeit. Körper sowie Lichtstrahlen bewegen sich entlang von Geodäten, die den kürzesten Weg in dieser gekrümmten Raumzeit darstellen. Die Formeln der ART basieren mathematisch auf Tensoren. In der ART sind Ort, Zeit, Geschwindigkeit und Beschleunigung relativ, nur die Lichtgeschwindigkeit ist endlich und absolut. Die Gültigkeit der ART wurde durch die Lichtablenkung von Sternenlicht durch die Sonne nachgewiesen, durch die Laufzeitverzögerung von Radarsignalen, durch die Frequenzänderung von Licht zufolge des Gravitationsfeldes der Erde, durch den Nachweis von Gravitationswellen, die durch den Zusammenprall von schwarzen Löchern entstanden sind und die sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten.
Grundidee der Allgemeinen Relativitätstheorie
Körper und Lichtstrahlen bewegen sich entlang von Geodäten in einer gekrümmten Raumzeit. Einstein beschreibt die Gravitation nicht mehr als Kraft (wie bei Newton), sondern als geometrische Eigenschaft von Raum und Zeit. Materie, die keiner Kraft ausgesetzt ist, bewegt sich durch die Raumzeit entlang von Geodäten. Die Bewegung entlang der Geodäten nehmen wir als Gravitation wahr.
Die Beschreibung der Raumzeitkrümmung baut auf folgenden Prinzipien auf
- Starkes Äquivalenzprinzip, demzufolge „träge Masse“ und „schwere Masse“ äquivalent sind bzw. es keinen Unterschied zwischen Schwerkraft und Kräften zufolge von Beschleunigung gibt
- Kovarianzprinzip, demzufolge in allen Bezugssystemen dieselben physikalischen Gesetze gelten. Die Anwesenheit von Materie oder Energie verursacht eine Krümmung der Raumzeit. Raum, Zeit und Materie sind untrennbar mit einander verbunden.
Die ART gilt als grundsätzlich richtige aber unvollständige Theorie, ähnlich wie man Newtons Theorien als grundsätzlich richtig aber doch nur ein Spezialfall der SRT bzw. ART verstehen kann.
Unvollständigkeit der ART
Sosehr sich die Allgemeine Relativitätstheorie ART auch bewährt, so versagt sie doch an zwei wichtigen Stellen.
Einerseits an den beiden Krümmungssingularitäten der Astronomie, weil sie dort keine Verknüpfung zwischen Energie bzw. Masse und der Krümmung der Raumzeit machen kann:
- Raumzeit-Singularität: Im Zentrum eines schwarzen Lochs
- Urknall-Singularität: Im unendlich kleinen Universum zum Zeitpunkt des Urknalls
Hier treten mathematisch nicht definierte Zustände (Division durch Null) auf und führen zu den beiden genannten Singularitäten.
Andererseits ist es bis heute noch nicht gelungen, die ART in Einklang mit der Quantenphysik zu bringen und eine Theorie der Quantengravitation zu schaffen.
1960 wurde Stephen Hawking berühmt für den Beweis der notwendigen Existenz von Singularitäten in der ART, und dass die ART daher unvollständig ist und in irgend einer Weise nachgebessert werden muss. Seit 1970 beschäftigte sich Stephen Hawking damit, diese Unzulänglichkeiten der ART durch eine Quantentheorie der Gravitation, also einer Quantisierung der Gravitation, die ohne Singularitäten auskommt, zu beheben.
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Kovarianzprinzip
Das Kovarianzprinzip besagt, dass die Naturgesetze in allen Bezugssystemen gleich sind. Es gibt kein „ausgezeichnetes“ Inertialsystem, keine Physik die von Koordinatensystemen abhängig ist.
Die Umrechnung von einem zu einem anderen Bezugssystem erfolgt über die
- Galilei-Transformation für die Newton’sche Mechanik
- Lorentz-Transformation gemäß der speziellen Relativitätstheorie
- Transformationsgesetze von Tensoren gemäß der allgemeinen Relativitätstheorie
Galilei - Transformation
Translationen dienen der Umrechnung von Vorgängen, die in zwei gegeneinander verschobenen Bezugssystemen stattfinden. Der Newtonschen Mechanik liegt die Galilei Transformation zu Grunde. Sie gilt für unbeschleunigte Inertialsysteme, also für Koordinatensysteme die sich mit konstanter Geschwindigkeit zu einander bewegen, bei \(v \ll {c_0}\) . Solche Koordinatensysteme kann man durch Messungen nicht von einander unterscheiden, man nennt sie daher Inertialsysteme.
Zum Zeitpunkt t=0 habe ein nur in Richtung der x-Achse bewegtes Koordinatensystem S' und ein ruhendes Koordinatensystem S deckungsgleiche Ursprünge. Nach der Zeit t hat S' in x-Richtung den Weg v.t zurückgelegt. Es geben sich somit folgenden Transformationsgleichungen für die 3 Ortskoordinaten und die Zeitkoordinate:
\({x' = x - v \cdot t}\) | \({x = x' + v \cdot t}\) |
\({y' = y}\) | \(y = y'\) |
\(z' = z\) | \(z = z'\) |
\({t' = t}\) | \({t = t'}\) |
Lorentz-Transformation
Translationen dienen der Umrechnung von Vorgängen, die in zwei gegeneinander verschobenen Bezugssystemen stattfinden. Der speziellen Relativitätstheorie liegt die Lorenz Transformation zu Grunde. Sie gilt für unbeschleunigte Systeme, die sich mit konstanter aber im Verhältnis zur Lichtgeschwindigkeit sehr hoher Geschwindigkeit zu einander bewegen, bei \(v \le {c_0}\). In jedem der beiden Systeme breitet sich das Licht mit der konstanten Lichtgeschwindigkeit aus, unabhängig davon wie schnell sich die beiden Bezugssysteme zu einander bewegen. Die Relativgeschwindigkeit zwischen den beiden Systemen kann nie die Lichtgeschwindigkeit übersteigen.
\(x' = \gamma \cdot \left( {x - v \cdot t} \right)\) | \(x = \gamma \cdot \left( {x' + v \cdot t} \right)\) |
\(t' = \gamma \cdot \left( {t - \dfrac{{v \cdot x}}{{{c_0}^2}}} \right)\) | \(t = \gamma \cdot \left( {t' + \dfrac{{v \cdot x'}}{{{c_0}^2}}} \right)\) |
Die Lorentztransformation bedingt, dass die Längen und die Zeit nicht invariant sind.
Längenkontraktion
Unter der relativistischen Längenkontraktion versteht man, dass alle in Bewegungsrichtung liegenden Längen von einem Objekt, aus einem anderen bewegten Bezugssystem aus betrachtet, verkürzt erscheinen. Strecken senkrecht zur Bewegungsrichtung behalten ihre Länge unverändert bei.
\(\Delta x' = \Delta x \cdot \sqrt {1 - {{\left( {\dfrac{v}{{{c_0}}}} \right)}^2}} \)
Zeitdilatation
Unter der relativistischen Zeitdilatation versteht man, dass in jedem Bezugssystem, die Zeit eines anderen bewegten Bezugssystems gedehnt erscheint. „Bewegte Uhren gehen langsamer“
\(\Delta t' = \dfrac{{\Delta t}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\dfrac{v}{{{c_0}}}} \right)}^2}} }}\)
Relativistische Massenzunahme
Die relativistische Massenzunahme besagt, dass die Masse eines Teilchens geschwindigkeitsabhängig ist. Je mehr sich die Geschwindigkeit v des Körpers der Lichtgeschwindigkeit c nähert, umso mehr nimmt seine Masse bzw. nimmt seine Trägheit zu und geht schließlich gegen Unendlich. Masselose Teilchen fliegen stets mit Lichtgeschwindigkeit.
\({m_v} = \dfrac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \dfrac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }} = \gamma .{m_0}\)
Für v=0 wird der Ausdruck unter der Wurzel gleich 1 und mv=m0. Man spricht von der Ruhemasse.
Lorentzfaktor
In vielen Formeln der speziellen Relativitätstheorie findet man einen Faktor, der auf Grund der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit ausschließlich von der Relativgeschwindigkeit v zweier Inertialsysteme abhängt. Der Lorentzfaktor "Gamma" ist dimensionslos.
\(\gamma = \dfrac{1}{{\sqrt {1 - \dfrac{{{v^2}}}{{{c_0}^2}}} }};\)
- Für v=0 wird der Ausdruck unter der Wurzel und somit der Lorentzfaktor selbst zu 1.
- Nähert sich v der Lichtgeschwindigkeit, so geht der Ausdruck unter der Wurzel gegen unendlich.
- Faustformel: Beträgt die Relativgeschwindigkeit der Systeme 10% von der Lichtgeschwindigkeit, so beträgt der Translationsfaktor ca. 1%. Umgekehrt formuliert: Rechnet man bei 10% der Lichtgeschwindigkeit nicht relativistisch, so beträgt der Fehler ca. 1%.
Masse (gemäß Einstein, 1905)
Masse ist, so wie auch schon bei Newton, eine Eigenschaft eines Teilchens. Im Unterschied zur Masse gemäß Newton ist die Masse bei Einstein von der Geschwindigkeit abhängig, mit der sich der Körper bewegt. Zudem ist Masse eine andere Erscheinungsform von Energie und kann in diese umgerechnet werden, indem sie mit dem Quadrat der Lichtgeschwindigkeit multipliziert wird. Erst bei Higgs ist Masse das Resultat der elektroschwachen Wechselwirkung zwischen dem Teilchen über ein Higgs-Boson mit dem Higgs-Feld.
Ruhemasse
Alle Elementarteilchen, außer jene Bosonen die nicht schwach wechselwirken (Gluonen, Photonen), haben eine charakteristische Masse, die sogenannte Ruhemasse. Diese Masse wird in eV also ElektronenVolt gemessen. Die Ruhemasse in eV der verschiedenen Elementarteilchen unterscheiden sich um mehr als10 Zehnerpotenzen.
Teilchen mit Ruhemasse null, werden als (ruhe)masselos bezeichnet. Ein derartiges Teilchen muss sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen.
Masseäquivalent von ruhemasselosen Teilchen, zufolge der Energie-Masseäquivalenz
Für Teilchen die keine Ruhemasse haben, wie etwa die Photonen, kann man dennoch ein Masseäquivalent errechnen. Jeder Körper, der eine Temperatur hat, die über dem absoluten Nullpunkt liegt, sendet eine elektromagnetische Wärmestrahlung aus, die einen Energietransport - sogar durchs Vakuum - ermöglicht. Die Energie E die dabei transportiert wird, ist proportional der Frequenz f des Photons gemäß \(E = h \cdot f\), wobei die Proportionalitätskonstante h das Planck’sche Wirkungsquantum ist.
Durch Einsetzen in die Einstein’sche Formel für die Umrechnung von Energie und Masse \(E = m \cdot {c^2}\) erhält man:
\(\begin{array}{*{20}{l}} {E = h \cdot f}\\ {f = \dfrac{c}{\lambda }}\\ {E = m \cdot {c^2}}\\ { \to m = \dfrac{E}{{{c^2}}} = \dfrac{{h \cdot f}}{{{c^2}}} = \dfrac{h}{{{c^2} \cdot \lambda }}} \end{array}\)
Da h und c Naturkonstanten sind, ist die Masse eines „ruhemasselosen“ Photons proportional zu seiner Frequenz, bzw. indirekt proportional zur Wellenlänge des Lichts. Auf Grund dieses Masseäquivalents werden Photonen von der Gravitationskraft beeinflusst bzw. abgelenkt.
Relativistische Massenzunahme einer Ruhemasse m0, bzw. geschwindigkeitsabhängige Masse m=m(v) zufolge Beschleunigung einer Masse auf sehr hohe Geschwindigkeiten
Die Bezugsmasse m0 ist jene Masse, die ein Beobachter mit Hilfe einer Waage feststellen kann, wobei sich der Beobachter und die Masse nicht gegen einander bewegen. D.h. Beobachter und Masse sind zu einander in Ruhe. Man spricht daher auch hier von einer Ruhemasse. Damit ist aber nicht die Masse zufolge der Wechselwirkung eines Teilchens mit dem Higgsfeld gemeint, sondern die klassische "newtonsche Masse".
Beschleunigt man diese Bezugs- bzw. Ruhe- bzw. newtonsche Masse, sodass sie nicht mehr ruhend gegenüber dem Beobachter ist, sondern sich mit zunehmender Geschwindigkeit gegenüber dem Beobachter bewegt, so nimmt die Masse aus Sicht des Beobachters exponentiell zu. (Aus Sicht eines Beobachters der sich parallel und somit gleichschnell zur der Masse bewegt, ändert sich an deren Masse natürlich nichts). Nähert sich die Geschwindigkeit der bewegten Masse gegenüber dem ruhenden Beobachter der Lichtgeschwindigkeit, so steigert sich ihre geschwindigkeitsabhängige Masse gegen unendlich. Das ist aber nicht möglich, da man dazu der bewegten Masse unendlich viel Energie zuführen müßte. Daher kann ein ruhemassebehaftetes Teilchen nie die Lichtgeschwindigkeit erreichen.
\({m(v)} = \dfrac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \dfrac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }}\)
Für ein zusammengesetztes Teilchen ergibt sich seine newtonsche Masse aus
- der Ruhemasse seiner Bestandteile (Quarks, Leptonen, W- und Z-Bosonen) zufolge dem Higgs Mechanismus (in Summe ein sehr kleiner Anteil)
- dem Masseäquivalent seiner kinetischer Energie (die Quarks wirbeln im Proton und Neutron nur so herum); Das Masseäquivalent zufolge der kinetische Energie der Quarks und der Gluonen ist viel größer, als die Ruhemasse der einzelnen Quarks zufolge dem Higgs Mechanismus)
- dem Masseäquivalent seiner potentiellen Energie (die sich aus ihren Wechselwirkungen ergibt)
Gravitation
Anziehungskraft gemäß Newton
Die Anziehungskraft zwischen 2 Körpern ist direkt proportional zu ihren Massen m1 und m2 und indirekt proportional zum Quadrat ihres Abstands. Die Gravitationskraft wirkt immer so, dass sich die beiden Massen anziehen. D.h. Massen können sich nicht abstossen, was elektrische Ladungen, mittels der Coulomb‘schen Kraft, sehr wohl können.
\(\overrightarrow F = \overrightarrow G \dfrac{{{m_1} \cdot {m_2}}}{{{r^2}}}\)
\({\text{Einheit}} = kg \cdot \dfrac{m}{{{s^2}}}\)
Gravitationskonstante
Die – sehr kleine – Gravitationskonstante bestimmt, wie groß die Kräfte sind, mit der sich Massen gegenseitig anziehen. Sie ist eine Naturkonstante.
\(G = 6,67 \cdot {10^{ - 11}}\dfrac{{N{m^2}}}{{k{g^2}}}\)
Gravitation gemäß Einstein
Die allgemeine Relativitätstheorie besagt, dass Masse und Energie den Raum krümmen und über diese Raumkrümmung die Bewegung anderer Massen beeinflussen. Zufolge starker Beschleunigung zweier Massen, wie sie beim Zusammenstoß zweier Schwarzer Löcher auftreten, beginnt die Raumkrümmung zu vibrieren und sogenannte Gravitationswellen entstehen.
Die Gravitationskraft entzieht sich bis heute einer Beschreibung in der Quantenfeldtheorie. Ein Austauschteilchen, das postulierte (!) Graviton, das die Schwerkraft vermitteln würde, ist noch nicht gefunden worden. Es scheint auch kein Anti-Teilchen zum Graviton zu geben. Auch scheint es möglich, dass die Gravitation keinen (!) „kleinsten“ Wert annehmen, also beliebig klein werden kann und daher nicht quantisierbar ist. Gravitationen addieren sich grundsätzlich immer, umgekehrt ausgedrückt: Sie kompensieren sich nie gegenseitig.
Neue Erkenntnisse zur dunklen Energie stellen obige Grundsätze durchaus in Frage.
Gravitationswellen
Die Allgemeine Relativitätstheorie besagt, dass Massen und Energien den Raum krümmen und über diese Raumkrümmung die Bewegung anderer Massen beeinflussen. Alle beschleunigten Massen sind Quellen von Gravitationswellen indem sie die Raumzeit stauchen und strecken. Sie sind eine Verzerrung der Geometrie des Raumes mit einer Amplitude kleiner als der Durchmesser eines Atomkerns.
Vor der Allgemeinen Relativitätstheorie ging man davon aus, dass die Anziehungskraft zwischen 2 Massen ohne jedem Zeitverzug, also unendlich schnell, wirkt, gleichgültig wie weit die Massen von einander entfernt sind. Die von der ART vorausgesagten Gravitationswellen krümmen, bzw. bringen die Raumzeit hingegen lediglich mit Lichtgeschwindigkeit zum Schwingen.
Zufolge der starken Beschleunigung zweier extremer Massen, wie sie beim Zusammenstoß zweier Schwarzer Löcher auftreten, beginnt die Raumzeitkrümmung für Sekunden so stark zu vibrieren, dass man die entstehenden und sich mit Lichtgeschwindigkeit im Universum ausbreitenden Gravitationswellen noch auf der Erde nachweisen kann.
Im Februar 2016 wurde der Nachweis der Gravitationswellen am LIGO durch die Lasermessungen von im rechten Winkel angeordneten Strecken nachgewiesen. Davor konnte die Existenz von Gravitationswellen durch den Energieverlust zufolge der Wellenabstrahlung und die damit verbundene Verkürzung der Umlaufzeit rotierender Neutronensterne nachgewiesen werden.
Einsteinsche Feldgleichung der ART
Die Einsteinschen Feldgleichungen, auch Gravitationsgleichungen der ART stellen einen Zusammenhang zwischen dem Einstein-Tensor G mit den Krümmungseigenschaften der Raumzeit und dem Energie-Impuls-Tensor T her. Mit anderen Worten handelt es sich um die gegenseitige Beeinflussung von der Energie-Impulsverteilung im Universum mit der Geometrie der Raumzeit.
Einsteinsche Feldgleichung ohne kosmologischer Konstante:
\({G_{\mu \nu }} = \dfrac{{8\pi G}}{{{c^4}}} \cdot {T_{\mu \nu }} = {R_{\mu \nu }} - \dfrac{1}{2} \cdot R \cdot {g_{\mu \nu }}\)
\({G_{\mu \nu }}\) | Einstein-Tensor |
\({T_{\mu \nu }}\) | Energie Impuls Tensor |
\({R_{\mu \nu }}\) | Ricci-Krümmungstensor |
R | Ricci-Krümmungsskalar |
\({g_{\mu \nu }}\) | Metrik, bzw. Metrischer Tensor |
G |
Newtonsche Gravitationskonstante \({\text{G = 6}}{\text{,67}} \cdot {\text{1}}{{\text{0}}^{ - 11}}\dfrac{{{m^3}}}{{kg \cdot {s^2}}}\) |
Einsteinsche Feldgleichung mit kosmologischer Konstante:
\({G_{\mu \nu }} = \dfrac{{8\pi G}}{{{c^4}}} \cdot {T_{\mu \nu }} + \Lambda {g_{\mu \nu }} = {R_{\mu \nu }} - \dfrac{1}{2} \cdot R \cdot {g_{\mu \nu }}\)
\(\Lambda \) |
kosmologische Konstante, sollte ursprünglich ein statisches Universum erzwingen, \(\Lambda \approx 1 \cdot {10^{ - 52}} \cdot \dfrac{1}{{{m^2}}}\) man kann sie sich am besten als einen Druck vorstellen, der Masse auseinandertreibt. |
T enthält die lokale Massendichte bzw. über E=mc2 die Energiedichte und charakterisiert damit die gravitationsrelevanten Eigenschaften der Materie. Zur Aufrechterhaltung von Energie- und Impulserhaltungsatz muss \(\nabla {T_{\mu \nu }} = 0\) die Divergenz vom Energie-Impulstensor bei festen RaumZeit-Koordianten null sein.
Die linke Seite der Gleichung beschreibt die Raumzeit, die rechte Seite der Gleichung beschreibt die Masse, die die Krümmung der Raumzeit bedingt. Eine triviale Schlussfolgerung: Wo es weder Masse noch Energie (gemäß E=mc2) gibt, dort gibt es auch keinen Raum und keine Zeit! D.h. für den Urknall, dass sich nicht die Materie in ein leeres Universum hinein ausbreitet, sondern dass sich das Universum selbst, und zwar nur dort wo es Materie gibt, ausdehnt.
Die einfache Form obiger Gleichung täuscht! Komplett ausformuliert, besteht sie aus mehreren nichtlinearen, gekoppelten, partiellen Differentialgleichungen, für die es keinen vollständigen Satz an Lösungen gibt. Immer wieder werden daher neue Lösungen für Spezialfälle gefunden.
Lösungen der Einsteinschen Feldgleichung
Alle vier hier beschriebenen Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen beschreiben „Schwarze Löcher“ und sie vereinfachen die ursprüngliche Tensorgleichung:
- Die „Schwarzschild Lösung“ (1916) geht von einem ungeladenen, nicht rotierenden, punktförmigen schwarzen Loch aus; Ein Schwarzschild-Loch hat nur eine einzige Eigenschaft: Masse
- Die „Reissner-Nordstrom-Lösung“ (1918) geht von einem elektrisch geladenen, nicht rotierenden, punktförmigen schwarzen Loch aus; Ein Reissner-Nordstrom-Loch hat 2 Eigenschaften: Masse und Ladung
- Die „Kerr-Lösung“ (1963) lässt bereits eine Rotation des nicht geladenen, ringförmigen schwarzen Lochs zu; Ein Kerr-Loch hat 2 Eigenschaften: Masse und Drehimpuls
- Die „Kerr-Newmann-Lösung“ (1965) ist die allgemeinste Lösung, lässt sie doch elektrische Ladung und Rotation zu; Ein Kerr-Newmann-Loch hat 3 Eigenschaften: Masse, Ladung und Drehimpuls
In der Praxis der Astrophysik spielt die Ladung aber keine Rolle, da Ausgleichsströme im Plasma diese Ladungen neutralisieren würden. Es bleiben also die Schwarzschild- und Kerr-Löcher über, und die besitzen maximal 2 Eigenschaften: Masse und Drehimpuls.
Linearisiert man die Feldgleichungen, so erhält man die einfacheren Wellengleichungen.
Kosmologische Konstante \(\Lambda \)
Einstein hatte die Vorstellung eines statischen Universums, welches sich nicht ausdehnt. Um das in seiner Feldgleichung mathematisch zu erzwingen, führte er den „Lambda-Term“ also die kosmologische Konstante ein. Die kosmologische Konstante steht dabei für eine Art von Vakuumenergie. Die kosmologische Konstante hat heute die Bedeutung einer Energiedichte vom Vakuum.
\(\eqalign{ & {G_{\mu \nu }} = \dfrac{{8\pi G}}{{{c^4}}} \cdot {T_{\mu \nu }} + \Lambda {g_{\mu \nu }} \cr & {R_{\mu \nu }} - \dfrac{1}{2} \cdot R \cdot {g_{\mu \nu }} = \dfrac{{8\pi G}}{{{c^4}}} \cdot {T_{\mu \nu }} + \Lambda {g_{\mu \nu }} \cr} \)
- Eine negative kosmologische Konstante / Lambda verstärkt die Gravitation, darauf deutet derzeit nichts hin, im Gegenteil:
- ein positives Lambda wirkt in Form einer „Anti-Gravitation“ also so, wie die dunkle Energie. Mit einem kleinen positiven Wert erhält man ein exponentiell expandierendes Universum. Man spricht vom Einsten-de Sitter Model.
Die Hubble Konstante H0
Nach der Entdeckung des Hubble-Effekts (1929), demzufolge sich das Universum gemäß der Hubble Konstante um 67..75 km pro Sekunde pro Megaparsec (67..75 km/s pro 3,3 Millionen Lichtjahre Entfernung) ausdehnt, verwarf Einstein die kosmologische Konstante und bezeichnete sie als seine „größte Eselei“.
1985 haben Messungen der kosmischen Expansion mittels Ia-Supanovae („Standardkerzen“) zudem gezeigt, dass sich die Hubblesche Ausdehnung des Universums nicht wie erwartet unter der Wirkung der Gravitation verlangsamt, sonder im Gegenteil, beschleunigt. Dafür macht man die sogenannte dunkle Energie verantwortlich, die entgegengesetzt zur Schwerkraft wirkt und die Massen im Universum immer stärker auseinandertreibt.
Eine exakte Bestimmung der Hubble Konstanten wäre von entscheidender Bedeutung für das Ausmaß der Beschleunigung der kosmischen Expansion.
Friedmann Gleichungen
Die beiden Friedmann Gleichungen resultieren aus eine Vereinfachung der Tensorgleichung aus der Allgemeinen Relativitätstheorie unter der Annahme eines homogenen (gleichmäßig aufgebauten) und isotropen (richtungsunabhängigen) Universums. Ein isotropes Universum hat in alle Richtungen die gleichen Eigenschaften. Die Materie, die in den Planeten, Sternen und Galaxien punktuell enthalten ist und deren Zwischenräume die von Vakuum erfüllt sind, denkt man sich als gleichmäßig über das Universum verschmiert. Die Friedmann Gleichungen beschreiben die Entwicklung des Universums mit fortschreitender Zeit.
1. Friedmann Gleichung mit kosmologischer Konstante:
Die erste Friedmann-Gleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen der Expansionsrate des Universums, der Energiedichte im Universum, der Krümmung des Raums und eines Skalenfaktors. Hinzu kommt der Druck zufolge der kosmologischen Konstante.
\(\eqalign{ & {H^2}\left( t \right) = {\left( {\dfrac{{\mathop a\limits^ \cdot }}{a}} \right)^2} = \dfrac{{8\pi G}}{3} \cdot \rho - \dfrac{{k{c^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{\Lambda {c^2}}}{3} \cr & mit\,\,...\,\,\Omega - 1 = \dfrac{k}{{{H^2} \cdot {a^2}}} \cr} \)
\(\Omega = \dfrac{{8\pi G\rho }}{{3{H^2}}}\)
\(\Omega\) | Dichteparameter, bezeichnet die Dichte von Materie und Energie im Universum. Er enstpicht dem Verhältniss von tatsächlich vorhandener Energiedichte zu genau jener Energiedichte die für ein statisches Universum erforderlich wäre. |
k | Krümmungsparameter (-1, 0, +1), ist mit der Gesamtenergiedichte des Universums verknüpft. |
\(\Lambda\) | kosmologische Konstante "Lambda" (negativ, 0, positiv), übt "Druck" auf Materie aus und trägt zur Ausdehnung des Universums bei. |
H(t) | Hubbleparameter; Beschreibt als Hubblekonstante die jeweilige Expansionsrate des Universums, liegt derzeit zwischen 67 und 75 km pro Sekunde pro Megaparsec. |
c | Lichtgeschwindigkeit c=299 792 458 m/s |
2. Friedmann Gleichung mit kosmologischer Konstante:
Die zweite Friedmann-Gleichung beschreibt, wie die Beschleunigung der Expansion des Universums von der Energiedichte und dem Druck im Inneren des Universums abhängt. Hinzu kommt der Druck zufolge der dunklen Energie repräsentiert durch die kosmologischen Konstante.
\(\eqalign{ & \mathop H\limits^ \cdot + {H^2} = \dfrac{{\mathop a\limits^{ \cdot \cdot } }}{a} = - \dfrac{{4\pi G}}{{3{c^2}}}\left( {\rho {c^2} + 3p} \right) + \dfrac{{\Lambda {c^2}}}{3} \cr & H\left( t \right) = \dfrac{{\mathop a\limits^ \cdot }}{a} \cr}\)
a(t) |
Kosmischer Skalenfaktor. Wenn der Skalenfaktor a(t) wächst, bedeutet dies, dass das Universum älter wird. Der Skalenfaktor beeinflusst die räumliche Geometrie des Universums |
\({\mathop a\limits^{ \cdot \cdot } }\) | Die 2. Ableitung des Skalenfaktors nach der Zeit beschreibt die Beschleunigung (oder Verzögerung) der Expansion des Universums |
\(\rho\) | Energiedichte des Universums, setz sich aus Materie, Strahlung und dunkler Energie zusammen |
p | Druck des Universums |
Die Friedmann Gleichungen sind Differentialgleichungen - da sie den Skalenfaktor a sowie dessen 1. und 2. zeitliche Ableitung enthalten - bei denen man folgende 3 Fälle an Hand des Krümmungsparamters k unterscheiden kann:
- k = -1: offenes Universum: Das Universum expandiert ohne Schranke, da die Gravitation nicht in der Lage ist die Expansion zu bremsen. Die Sterne erkalten und die Galaxien, ja sogar die Schwarzen Löcher, verdampfen. Das Universum erreicht den absoluten Nullpunkt der Temperaturskala und stirbt den Kältetod.
- k = 0: flaches Universum: Das Universum dehnt sich asymptotisch bis zu einer endlichen Größe aus, D.h. es existiert im Universum genau so viel Masse, dass deren Gravitation die Expansion bei einer bestimmten Ausdehnung abstoppt. Das Universum stirbt den Kältetod.
- k = +1: geschlossenes Universum: Das Universum enthält so viel Masse, dass unter der Wirkung der Gravitation die Ausdehnung zum Stillstand kommt und danach kollabiert das Universum im „Big Crunch“
Zusammenhang Krümmungsparameter k und kosmologische Konstante \(\Lambda\)
Der Krümmungsparameter k und die kosmologische Konstante Lambda machen einerseits Aussagen über die Krümmung des Universums und andererseits über die Dynamik der Ausbreitung des Universums. Sie sind abhängig von der Dichte an Materie und von der Dichte der dunklen Energie im Universum. Sie bestimmen ob sich das Universum in Richtung Expansion, Stagnation oder Kontraktion entwickelt.
Zusammenhang zwischen dunkler Energie bzw. zugehöriger kosmologischer Konstante und Vakuumenergiedichte
Die dunkle Energie ist ein Begriff der Gravitationstheorie, während die Vakuumenergiedichte ein Ausdruck der Quantenfeldtheorie ist, wodurch die beiden Theorien in einen Zusammenhang gesetzt werden können. Die dunkle Energie kann dann nämlich als eine Art der Vakuumenergiedichte interpretiert werden.
- Die dunkle Energie wird postuliert um die messbare beschleunigte Expansion des Universums zufolge ihrer negativen Gravitationswirkung zu erklären. Sie wird dort durch die kosmologische Konstante \(\Lambda\) repräsentiert und findet sich sowohl in der einsteinschen Feldgleichung der ART als auch in den beiden Friedmann-Gleichungen wieder.
- Die Vakuumenergiedichte ist jene - von Null ungleiche - Energiemenge, die dem leere Raum zugeschrieben wird. Sie ist die niedrigste Energiedichte eines quantenmechanischen Feldes. Sie spielt bei der Theorie des inflationären Universums zusammen mit der Energie des Higgsfeldes eine Rolle. Sie dominiert den Zeitraum von 10-36 s bis 10-34 s nach dem Urknall, während der sich das Universum exponentiell um das ca. 1026 -fache ausgedehnt haben könnte. Nach diesem Zeitraum dehnt sich das nunmehr strahlungsdominierte Universum zufolge der Friedmann-Gleichungen aus.
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Schwarzes Loch und Ereignishorizont
Bei einer fest vorgegebenen Entfernung r vom Schwerpunkt einer Masse M, wird die erforderliche Fluchtgeschwindigkeit vF umso größer, je größer die Masse ist. Bei einer entsprechend sehr dichten Masse erreicht die Fluchtgeschwindigkeit vF irgend wann die Lichtgeschwindigkeit c und auch Licht kann dann diese Masse nicht mehr verlassen.
\({v_F} = \sqrt {\dfrac{{2GM}}{r}} \)
Die Oberfläche, der Region, bei deren Durchschreiten auch ein Lichtstrahl auf Grund der Gravitation nicht mehr entkommen kann, wird als Ereignishorizont bezeichnet. Das Innere dieser Region selbst nennt man „Schwarzes Loch“.
\({r_S}\left( M \right) = \dfrac{{2 \cdot G}}{{{c^2}}} \cdot M\)
G = Gravitationskonstante
Bei einer fest vorgegebenen Masse M kann man jene Entfernung rS berechnen, ab deren Unterschreitung selbst Licht nicht mehr die Masse M verlassen kann. Man nennt diese masseabhängige Entfernung den Schwarzschildradius rS. Für eine Sonnenmasse beträgt er ca. 3km. Die Masse eines Schwarzen Lochs ist aber innerhalb vom Schwarzschildradius nicht gleichmäßig verteilt, sondern sie steckt in einer punktförmigen Raumzeit-Singularität, d.h. die Krümmung der Raumzeit und die Dichte sind unendlich. Dieser Zustand ist dichter als das Quark-Gluonen Plasma, dem dichtesten derzeit erklärbaren Aggregatzustand und es existieren weder Elektronen und Neutrinos noch Quarks und Gluonen.
Bei kollabierenden Sternen wird auf Grund des Actio und Reactio Prinzips immer die halbe Masse ins All abgestoßen, während die 2. Hälfte der Masse kollabiert. Die schwersten Sterne im Universum liegen aber bei unter 300 Sonnenmassen, wodurch sich der größte Schwarzschildradius eines stellaren Schwarzen Lochs zu 150 x 3 km = 450 km errechnet. Man muss also keine Sorge haben, einem solchen Schwarzen Loch je zu begegnen. In den Zentren von Galaxien finden sich aber Massekonzentrationen - supermassive Schwarze Löcher - mit mehreren Milliarden Sonnenmassen. Auch deren Schwarzschildradius hätte noch Platz innerhalb unseres Sonnensystems - er würde etwa bis zu den äußersten Planten reichen und wäre mit astronomischen Maßstäben verglichen sehr sehr sehr klein.