Stammfunktionen und Integrationsregeln

Stammfunktion einer Funktion auffinden

"Die Differentiation ist ein Handwerk, die Integration dagegen ist eine Kunst"

Differential- und Integralrechnung hängen eng zusammen: Durch Integration der Ableitungsfunktion f'(x) erhält man die Funktion f(x). Durch Integration der Funktion f(x) erhält man die Stammfunktion F(x). Durch Differenzieren der Stammfunktion F(x) erhält man die Funktion f(x) und durch Differenzieren der Funktion f(x) erhält man die Ableitungsfunktion f'(x). Bei Differenzieren berechnet man Steigung der Funktion, beim Integrieren berechnet man die Fläche unter der Funktion.

Die nachfolgende Illustration veranschaulicht den Zusammenhang zwischen Stammfunktion, Funktion und Ableitungsfunktion jeweils für die Differential- und die Integralrechnung

Für viele wichtige Funktionen sind die zugehörigen Stammfunktionen bekannt. Aber selbst relativ einfach erscheinende Funktionen wie \(f\left( x \right) = {e^{ - {x^2}}}\) sind nicht elementar integrierbar, d.h. ihre Stammfunktion lässt sich nicht durch elementare Funktionen darstellen.

\(\begin{array}{l} \int {f(x)\,\,dx = F\left( x \right) + C} \\ F'\left( x \right) = f\left( x \right) \end{array}\)

Zusammenhang Stammfunktion F(x) - Funktion f(x) - Ableitungsfunktion f'(x)

Beim Auffinden von Stammfunktionen bedient man sich gerne einer Tabelle in der die wichtigsten Funktionen f(x) und Ihre Ableitungsfunktionen f'(x) sowie die zugehörigen Stammfunktionen F(x) angeführt sind. Nachfolgend die für die Sekundarstufe 2 wichtigsten Zusammenhänge:

Auffinden gängiger Stammfunktionen

Nachfolgend jene Ableitungsfunktionen, die für die Matura bzw. das Abitur von Bedeutung sind.

Konstante Funktion integrieren bzw. Stammfunktion einer konstanten Funktion

Steht im Integrand nur eine Konstante, so ist deren Integral die Konstante mal derjenigen Variablen, nach der integriert wird.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = k \cr & F\left( x \right) = \int {k\,\,dx = kx + c} \cr}\)

Potenzfunktionen integrieren bzw. Stammfunktion einer Potenzfunktion

Die n-te Potenz von x wird integriert, indem man x hoch (n+1) in den Zähler und (n+1) in den Nenner schreibt. Gilt für alle n ungleich -1.

\(\eqalign{ & {\text{für }}n \ne - 1 \cr & f\left( x \right) = {x^n} \cr & F\left( x \right) = \int {{x^n}.dx = \dfrac{1}{{n + 1}} \cdot {x^{n + 1}}} + C \cr}\)

1/x integrieren bzw. Stammfunktion von 1/x

Zur Funktion 1/x lautet die Stammfunktion ln|x|+C. Die Funktion 1/x ist gleich der Potenzfunktion xⁿ für n=-1.

\(\eqalign{ & {\text{für }}n = - 1 \cr & f\left( x \right) = \dfrac{1}{x} \cr & F\left( x \right) = \int {\dfrac{1}{x}} .dx = \ln |x| + C \cr}\)

Der Definitionsbereich von ln(x) ist R⁺, also die positiven reellen Zahlen. Indem man im Argument der Logarithmusfunktion den Betrag von x nimmt, erweitert man den Definitionsbereich der Stammfunktion auf negative x. x=0 muss man ausschließen, da der ln(0) nicht definiert ist.

Wurzelfunktionen integrieren bzw. Stammfunktion einer Wurzelfunktion

Bei Wurzelfunktionen bietet es sich an, den Wurzelausdruck zunächst in eine Potenzfunktion f(x) umzuwandeln und anschließend deren Stammfunktion F(x) aufzusuchen

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \sqrt x = {x^{\dfrac{1}{2}}} \cr & F\left( x \right) = \int {\sqrt x } \,\,dx = \dfrac{2}{3}\sqrt {{x^3}} + C \cr}\)

Exponentialfunktionen integrieren bzw. Stammfunktion einer Exponentialfunktion

Bei der Exponentialfunktion zur Basis e (eulersche Zahl) handelt es sich um die einzige Funktion f(x), die mir Ihrer eigenen Stammfunktion F(x) identisch ist.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {e^x} \cr & F\left( x \right) = \int {{e^x}} \,\,dx = {e^x} + C \cr}\)

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {e^{k \cdot x}} \cr & F\left( x \right) = \int {{e^{k \cdot x}}} \,\,dx = \frac{1}{k}{e^{k \cdot x}} + C \cr} \)

Bei der Exponentialfunktion zur Basis a lautet die Stammfunkton "a hoch x dividiert durch den natürlichen Logarithmus von der Basis a"

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {a^x} \cr & F\left( x \right) = \int {{a^x}} \,\,dx = \dfrac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C \cr} \)

Logarithmusfunktionen integrieren bzw. Stammfunktion einer Logarithmusfunktion

Bei der Logarithmusfunktion zur Basis e (eulersche Zahl) handelt es sich um den sogenannten natürlichen Logarithmus "ln". Er hat die selben Eigenschaften wir Logarithmusfunktionen zu einer beliebigen Basis log a. Die Stammfunktion der Logarithmusfunktion lautet "x mal ln x minus x"

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \ln x \cr & F\left( x \right) = \int {\ln x} \,\,dx = x \cdot \ln x - x + C \cr} \)

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {}^a\log x \cr & F\left( x \right) = \int {{}^a\log x} \,\,dx = \dfrac{1}{{\ln a}}\left( {x.\ln x - x} \right) + C \cr} \)

Winkelfunktionen integrieren bzw. Stammfunktion von Winkelfunktionen

Winkelfunktionen, sie werden auch trigonometrische Funktionen genannt, bezeichnen Zusammenhänge zwischen einem Winkel und Verhältnissen von Seiten (der Hypotenuse, der Ankathete und der Gegenkathete) im rechtwinkeligen Dreieck. Ihrer Stammfunktionen sind Teil der Standardintegraltabellen

Sinus integrieren

Das Integral der Sinusfunktion ist die negative Kosinusfunktion plus der Integrationskonstante

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \sin x \cr & F\left( x \right) = \int {\sin x} \,\,dx = - \cos x + C \cr}\)

Kosinus integrieren

Das Integral der Kosinusfunktion ist die Sinusfunktion plus der Integrationskonstante

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \cos x \cr & F\left( x \right) = \int {\cos x} \,\,dx = \sin x + C \cr} \)

Illustration als Merkhilfe für die Vorzeichen beim Differenzieren bzw. Integrieren von Sinus und Kosinus

Tangens integrieren

Das Integral der Tangensfunktion ist der negative Logarithmus vom Betrag der Kosinusfunktion plus die Integrationskonstante.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \tan x \cr & F\left( x \right) = \int {\tan x} \,\,dx = - \ln \left| {cosx} \right| + C \cr} \)

Kotangens integrieren

Das Integral der Kotangensfunktion ist der positive Logarithmus vom Betrag der Sinusfunktion plus die Integrationskonstante.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \cot x \cr & F\left( x \right) = \int {\cot x} \,\,dx = \ln \left| {\sin x} \right| + C \cr} \)

Integrationsregeln

Wenn f(x) mehrere Terme umfasst, die durch Rechenzeichen verbunden sind, dann bedient man sich der Integrationsregeln. Die gängigsten Integrationsregeln sollte man ebenfalls auswendig können.

Konstantenregel oder Faktorregel

Einen konstanten Faktor im Integrand kann man vor das Integrationszeichen ziehen, wodurch sich die eigentliche Integration vereinfacht. D.h. der Multiplikationsfaktor bleibt beim Integrieren unverändert erhalten.

\(\eqalign{ & y = k \cdot f\left( x \right) \cr & F\left( x \right) = \int {k \cdot f\left( x \right)} \,\,dx = k \cdot \int {f\left( x \right)} \,\,dx \cr & {\text{wobei }}k \ne 0 \cr} \)

Summen- und Differenzenregel

Das Integral eine Summe bzw. Differenz bildet man, indem man zunächst jeden Summanden einzeln integriert und anschließend die jeweiligen Integrale addiert bzw. subtrahiert. D.h. bei Summen / Differenzen wird gliedweise integriert.

\(\eqalign{ & y = f\left( x \right) \pm g\left( x \right) \cr & F\left( x \right) = \int {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]} \,\,dx = \int {f\left( x \right)\,\,dx} \pm \int {g\left( x \right)\,\,dx} \cr}\)

Partielle Integration (Produktintegration)

Lässt sich der Integrand als das Produkt zweier Funktionen darstellen, kann das Integral bei geschickter Wahl von f(x) bzw. g‘(x) so umgeformt werden, dass es durch bekannte Grundintegrale lösbar wird. Speziell nützlich, wenn die Stammfunktion eines Faktors bereits bekannt ist.

\(\int {f\left( x \right)} \cdot g'\left( x \right)\,\,dx = f\left( x \right) \cdot g\left( x \right) - \int {f'\left( x \right) \cdot g\left( x \right)\,\,dx}\)

Die partielle Integration entspricht der Produktregel aus der Differentialrechnung. Auch hier soll das Produkt zweier Funktionen integriert werden. Wenn nach dem Ausmultiplizieren der beiden Faktoren das Integral nicht angemessen lösbar ist, so bietet sich die partielle Integration an, bei der man das Integral in einem Zwischenschritt verändert, natürlich in der Absicht danach einfacher als zuvor integrieren zu können

\(h(x) = f'\left( x \right) \cdot g\left( x \right)\,\,dx\)

\(H(x) = f\left( x \right) \cdot g\left( x \right) - \int {f\left( x \right) \cdot g'\left( x \right)} \,\,dx\)

• 1. Schritt: Einen (beliebigen) Faktor setzt man mit f'(x) gleich, den zweiten Faktor setzt man mit g(x) gleich. Da die Wahl beliebig ist, wählt man für g(x) jenen Faktor dessen Ableitung das in weiterer Folge entstehende Integral vereinfacht.
• 2. Schritt: Den ersten Faktor f'(x) muss man nun integrieren, um f(x) zu erhalten
• 3. Schritt: Den zweiten Faktor g(x) muss man zunächst differenzieren, um g'(x) zu erhalten.
• Zwischenschritt: Die Resultate aus Schritt 1 und 2 in die Formel für H(x) einsetzen
• Der Minuend (vor dem Minus) kann sofort angeschrieben werden, da man zu diesem Zeitpunkt f(x) und g(x) schon kennt
• Der Subtrahend (nach dem Minus) enthält nun das (hoffentlich) einfachere Integral,
• Letzter Schritt: Auffinden des (hoffentlich) einfacheren Integrals. Wenn das nicht gelingt, dann sollte man prüfen, ob man im 1. Schritt die beiden Faktoren nicht umgekehrt zuordnen soll

Integrationsregel für verkettete Funktionen - Lineare Substitution

Ist der Integrand eine verkettete lineare Funktion, so schreibt man in den Zähler die Stammfunktion der verketteten linearen Funktion und in den Nenner die Steigung k der linearen Funktion.
\(\int {f\left( {k \cdot x + d} \right)} \,\,dx = \dfrac{{F\left( {k \cdot x + d} \right)}}{k}\)

F(x) ist eine Stammfunktion von f(x) und \(k \ne 0\)

Beispiel:
Integrationsregel für verkettete Funktionen:
\(\int {{{\left( {5x + 3} \right)}^3}} \,\,dx = \dfrac{{\dfrac{1}{4} \cdot {{\left( {5x + 3} \right)}^4}}}{5} = \dfrac{1}{{20}} \cdot {\left( {5x + 3} \right)^4}\)

Integration durch Substitution

Die Integration durch Substitution führt dann zum Ziel, wenn eine Variablentransformation gefunden werden kann, bei der sich ein gegebener Integrand in einen leichter zu integrierenden Term überführen lässt.

\(\int {f\left[ {g\left( x \right)} \right]} .g'\left( x \right)\,\,dx = \int {f\left( u \right)\,\,du = F\left[ {g\left( x \right)} \right]} + C\)

Substitution: \(u = g\left( x \right){\text{ und }}g'\left( x \right)\operatorname{dx} = du;\)

\(\int {f\left( x \right)\,\,dx = \int {f\left[ {h\left( u \right)} \right]} .h'\left( u \right)\,\,du}\)

Substitution: \(x = h\left( u \right){\text{ und dx = }}h'\left( u \right)\,\,du\)

Integration spezieller Funktionen

Das Auffinden der Stammfunktion von spezieller Funktionen wird man wohl nicht auswendig können, sondern bei Bedarf nachlesen.

Integration durch Partialbruchzerlegung

Integrale gebrochener Funktionen (Brüche) werden in einfachere Teilbrüche, sogenannte Partialbrüche, zerlegt, die auf bekannten Integralen basieren. Ein Koeffizientenvergleich zwischen Z(x) und Z₁ (x; A₁…D_r) führt auf die Bestimmungsgleichungen für die Koeffizienten A₁ bis D_r.

\(\int {\dfrac{{{Z_m}\left( x \right)}}{{{N_n}\left( x \right)}}} \,\,dx\)

Partialbruchzerlegung

\(\eqalign{ & \dfrac{{Z\left( x \right)}}{{N\left( x \right)}} = \cr & = \dfrac{{Z\left( x \right)}}{{{x^p}.{{\left( {x - a} \right)}^q} \cdot {{\left( {{x^2} + bx + c} \right)}^r}}} = \cr & = \dfrac{{{A_1}}}{x} + \dfrac{{{A_2}}}{{{x^2}}} + ... + \dfrac{{{A_p}}}{{{x^p}}} + \cr & + \dfrac{{{B_1}}}{{\left( {x - a} \right)}} + \dfrac{{{B_2}}}{{{{\left( {x - a} \right)}^2}}} + ... + \dfrac{{{B_q}}}{{{{\left( {x - a} \right)}^q}}} + \cr & + \dfrac{{{C_1}x + {D_1}}}{{\left( {{x^2} + bx + c} \right)}} + \dfrac{{{C_2}x + {D_2}}}{{{{\left( {{x^2} + bx + c} \right)}^2}}} + ... + \dfrac{{{C_r}x + {D_r}}}{{{{\left( {{x^2} + bx + c} \right)}^r}}} = \cr & = \dfrac{{{Z_1} \cdot \left( {x;\,\,\,{A_1},...{A_p};\,\,\,{B_1}...{B_q};\,\,\,{C_1}...{C_r},{D_1}...{D_r}} \right)}}{{N\left( x \right)}} \cr}\)

Trigonometrische Winkelfunktionen integrieren

Auf Grund ihrer hohen Bedeutung, haben wir die trigonometrischen Winkelfunktionen unter "Auffinden gängiger Stammfunktionen" angeführt.

Arkusfunktionen integrieren

Die Arkusfunktionen sind die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Winkelfunktionen. Sie werden verwendet, wenn man aus einer gegebenen Strecke, den zugrundeliegenden Winkel ausrechnen will. Bei den Arkusfunktionen erfolgt eine Vertauschung von unabhängiger und abhängiger Variable gegenüber den trigonometrischen Winkelfunktionen.

arcsin integrieren

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \arcsin x \cr & F\left( x \right) = \int {\arcsin x} \,\,dx = x \cdot \arcsin x + \sqrt {1 - {x^2}} + C \cr}\)

arccos integrieren

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \arccos x \cr & F\left( x \right) = \int {\arccos x} \,\,dx = x \cdot \arccos x - \sqrt {1 - {x^2}} + C \cr}\)

arctan integrieren

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \arctan x \cr & F\left( x \right) = \int {\arctan x} \,\,dx = x \cdot \arctan x - \dfrac{1}{2}\ln \left( {1 + {x^2}} \right) + C \cr}\)

arccot integrieren

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{arccot} x \cr & F\left( x \right) = \int {\operatorname{arccot} x} \,\,dx = x \cdot \operatorname{arccot} x + \dfrac{1}{2}\ln \left( {1 + {x^2}} \right) + C \cr}\)

Hyperbolische Funktionen integrieren

Die Hyperbolischen Funktionen, auch Hyperbelfunktionen genannt, sind bestimmte Kombinationen der Exponentialfunktionen e^x und e^-x, die vor allem in der Technik häufig vorkommen und daher eignene Namen erhalten haben. Hyperbolische Funktionen finden sich bei Spinnweben und als „Kettenlinie“ bzw. „Seilkurve“ beim Durchhang von Stahlseilen auf Leitungsmasten zufolge ihrer Eigenlast.

sinh integrieren

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \sinh x \cr & F\left( x \right) = \int {\sinh x} \,\,dx = \cosh x + C \cr}\)

cosh integrieren

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \cosh x \cr & F\left( x \right) = \int {\cosh x} \,\,dx = \sinh x + C \cr}\)

tanh integrieren

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \tanh x \cr & F\left( x \right) = \int {\tanh x} \,\,dx = \ln \left| {\cosh x} \right| + C \cr} \)

coth integrieren

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \coth x \cr & F\left( x \right) = \int {\coth x} \,\,dx = \ln \left| {\sinh x} \right| + C \cr} \)

Areafunktionen integrieren

Area Funktionen sind die Umkehrfunktionen der hyperbolischen Funktionen. Der Begriff „Area“ leitet sich aus dem Zusammenhang mit dem Flächeninhalt (=area) eines Hyperbelsektors ab. Bei den Areafunktionen erfolgt eine Vertauschung von unabhängiger und abhängiger Variable gegenüber den hyperbolischen Funktionen.

arsinh integrieren

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{arsinh} x = \dfrac{1}{{\sinh x}} \cr & F\left( x \right) = \int {\operatorname{arsinh} x} \,\,dx = x \cdot \operatorname{arsinh} x - \sqrt {{x^2} + 1} + C \cr}\)

arcosh integrieren

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{arcosh} x = \dfrac{1}{{\cosh x}} \cr & F\left( x \right) = \int {\operatorname{arcosh} x} \,\,dx = x \cdot \operatorname{arcosh} x - \sqrt {{x^2} - 1} + C \cr}\)

artanh integrieren

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{artanh} x = \dfrac{1}{{\tanh x}} \cr & F\left( x \right) = \int {\operatorname{artanh} x} \,\,dx = x \cdot \operatorname{artanh} x + \dfrac{1}{2}\ln \left( {1 - {x^2}} \right) + C \cr}\)

arcoth integrieren

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{arcoth} x = \dfrac{1}{{\coth x}} \cr & F\left( x \right) = \int {\operatorname{arcoth} x} \,\,dx = x \cdot \operatorname{arcoth} x + \dfrac{1}{2}\ln \left( {1 - {x^2}} \right) + C \cr} \)