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  4. Stammfunktionen und Integrationsregeln

Stammfunktionen und Integrationsregeln

Hier findest du folgende Inhalte

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    Aufgaben

    Stammfunktion einer Funktion auffinden

    "Die Differentiation ist ein Handwerk, die Integration dagegen ist eine Kunst"

    Differential- und Integralrechnung hängen eng zusammen: Durch Integration der Ableitungsfunktion f'(x) erhält man die Funktion f(x). Durch Integration der Funktion f(x) erhält man die Stammfunktion F(x). Durch Differenzieren der Stammfunktion F(x) erhält man die Funktion f(x) und durch Differenzieren der Funktion f(x) erhält man die Ableitungsfunktion f'(x). Bei Differenzieren berechnet man Steigung der Funktion, beim Integrieren berechnet man die Fläche unter der Funktion.

    Die nachfolgende Illustration veranschaulicht den Zusammenhang zwischen Stammfunktion, Funktion und Ableitungsfunktion jeweils für die Differential- und die Integralrechnung

    Vektor u Vektor u: Vektor(A, C) Vektor u Vektor u: Vektor(A, C) Vektor v Vektor v: Vektor(C, E) Vektor v Vektor v: Vektor(C, E) Vektor w Vektor w: Vektor(F, D) Vektor w Vektor w: Vektor(F, D) Vektor a Vektor a: Vektor(D, B) Vektor a Vektor a: Vektor(D, B) Stammfunktion F Text1 = “Stammfunktion F” Funktion f Text2 = “Funktion f” Ableitungsfunktion f' Text3 = “Ableitungsfunktion f'” differenzieren Text4 = “differenzieren” differenzieren Text4_1 = “differenzieren” integrieren Text5 = “integrieren” integrieren Text6 = “integrieren”

    Für viele wichtige Funktionen sind die zugehörigen Stammfunktionen bekannt. Aber selbst relativ einfach erscheinende Funktionen wie \(f\left( x \right) = {e^{ - {x^2}}}\) sind nicht elementar integrierbar, d.h. ihre Stammfunktion lässt sich nicht durch elementare Funktionen darstellen.

    \(\begin{array}{l} \int {f(x)\,\,dx = F\left( x \right) + C} \\ F'\left( x \right) = f\left( x \right) \end{array}\)


    Zusammenhang Stammfunktion F(x) - Funktion f(x) - Ableitungsfunktion f'(x)

    Beim Auffinden von Stammfunktionen bedient man sich gerne einer Tabelle in der die wichtigsten Funktionen f(x) und Ihre Ableitungsfunktionen f'(x) sowie die zugehörigen Stammfunktionen F(x) angeführt sind. Nachfolgend die für die Sekundarstufe 2 wichtigsten Zusammenhänge:

      Stammfunktion F(x) Funktion f(x) Ableitungsfunktion f'(x)
    gängige Funktionen      
    Konstante Funktion \(F\left( x \right) = k \cdot x\) \(f\left( x \right) = k\) \(f'\left( x \right) = 0\)
    Potenzfunktion \(\begin{array}{l} F\left( x \right) = \dfrac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}\,\,\,\,\,für\,\,n \ne - 1\\ F\left( x \right) = \ln \left( {\left| x \right|} \right)\,\,\,\,\,fü r\,\,n = - 1 \end{array}\) \(\eqalign{
    & f\left( x \right) = {x^n} \cr
    & f\left( x \right) = {x^{ - n}} = \dfrac{1}{x} \cr} \)
    \(f'\left( x \right) = n \cdot {x^{n - 1}}\)
    Eulersche Funktion \(F\left( x \right) = {e^x}\) \(f\left( x \right) = {e^x}\) \(f'\left( x \right) = {e^x}\)
    Exponetialfunktion \(F\left( x \right) = \dfrac{{{a^x}}}{{\ln \left( a \right)}}\) \(f\left( x \right) = {a^x}\) \(f'\left( x \right) = \ln \left( a \right) \cdot {a^x}\)
    Logarithmusfunktion \(F\left( x \right) = x \cdot \ln \left( x \right) - x\) \(f\left( x \right) = \ln \left( x \right)\) \(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\)
    Logarithmusfunktion \(F\left( x \right) = \dfrac{1}{{\ln \left( a \right)}} \cdot \left( {x \cdot \ln \left( x \right) - x} \right)\) \(f\left( x \right) = {\log _a}\left( x \right)\) \(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{x \cdot \ln \left( a \right)}}\)
    Sinusfunktion \(F\left( x \right) = - \cos \left( x \right)\) \(f\left( x \right) = \sin \left( x \right)\) \(f'\left( x \right) = \cos \left( x \right)\)
    Kosinusfunktion \(F\left( x \right) = \sin \left( x \right)\) \(f\left( x \right) = \cos \left( x \right)\) \(f'\left( x \right) = - \sin \left( x \right)\)
    Tangensfuntkion \(F\left( x \right) = - \ln \left( {\left| {\cos \left( x \right)} \right|} \right)\) \(f\left( x \right) = \tan \left( x \right)\) \(f'\left( x \right) = 1 + {\tan ^2}\left( x \right) = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\left( x \right)}}\)
    Rechenregeln:      
    Konstanten- oder Faktorenregel \(G\left( x \right) = k \cdot F\left( x \right)\) \(g\left( x \right) = k \cdot f\left( x \right)\) \(g'\left( x \right) = k \cdot f'\left( x \right)\)
    Summen- bzw. Differenzenregel \(H\left( x \right) = F\left( x \right) \pm G\left( x \right)\) \(h\left( x \right) = f\left( x \right) \pm g\left( x \right)\) \(h'\left( x \right) = f'\left( x \right) \pm g'\left( x \right)\)
    Partielle Integration \(H(x) = f\left( x \right) \cdot g\left( x \right) - \int {f\left( x \right) \cdot g'\left( x \right)} \,\,dx\) \(h(x) = f'\left( x \right) \cdot g\left( x \right)\,\,dx\)  
    Integration durch Substitutions \(F\left( x \right) = \int {f\left( {g\left( u \right)} \right)} \cdot g'\left( u \right)\,\,du\) \(f\left( x \right)\)  
    Sonderfall der Substitutionsregel \(H\left( x \right) = \ln \left| {f\left( x \right)} \right|\) \(h\left( x \right) = \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}\)  
    Zusammenhang Funktion - Ableitungsfunktion - Stammfunktion
    Stammfunktion einer Funktion auffinden
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    Aufgaben

    Auffinden gängiger Stammfunktionen

    Nachfolgend jene Ableitungsfunktionen, die für die Matura bzw. das Abitur von Bedeutung sind.


    Konstante Funktion integrieren bzw. Stammfunktion einer konstanten Funktion

    Steht im Integrand nur eine Konstante, so ist deren Integral die Konstante mal derjenigen Variablen, nach der integriert wird.

    \(\eqalign{ & f\left( x \right) = k \cr & F\left( x \right) = \int {k\,\,dx = kx + c} \cr}\)


    Potenzfunktionen integrieren bzw. Stammfunktion einer Potenzfunktion

    Die n-te Potenz von x wird integriert, indem man x hoch (n+1) in den Zähler und (n+1) in den Nenner schreibt. Gilt für alle n ungleich -1.

    \(\eqalign{ & {\text{für }}n \ne - 1 \cr & f\left( x \right) = {x^n} \cr & F\left( x \right) = \int {{x^n}.dx = \dfrac{1}{{n + 1}} \cdot {x^{n + 1}}} + C \cr}\)


    1/x integrieren bzw. Stammfunktion von 1/x

    Zur Funktion 1/x lautet die Stammfunktion ln|x|+C. Die Funktion 1/x ist gleich der Potenzfunktion xn für n=-1.

    \(\eqalign{ & {\text{für }}n = - 1 \cr & f\left( x \right) = \dfrac{1}{x} \cr & F\left( x \right) = \int {\dfrac{1}{x}} .dx = \ln |x| + C \cr}\)

    Der Definitionsbereich von ln(x) ist R+, also die positiven reellen Zahlen. Indem man im Argument der Logarithmusfunktion den Betrag von x nimmt, erweitert man den Definitionsbereich der Stammfunktion auf negative x. x=0 muss man ausschließen, da der ln(0) nicht definiert ist.


    Wurzelfunktionen integrieren bzw. Stammfunktion einer Wurzelfunktion

    Bei Wurzelfunktionen bietet es sich an, den Wurzelausdruck zunächst in eine Potenzfunktion f(x) umzuwandeln und anschließend deren Stammfunktion F(x) aufzusuchen

    \(\eqalign{ & f\left( x \right) = \sqrt x = {x^{\dfrac{1}{2}}} \cr & F\left( x \right) = \int {\sqrt x } \,\,dx = \dfrac{2}{3}\sqrt {{x^3}} + C \cr}\)


    Exponentialfunktionen integrieren bzw. Stammfunktion einer Exponentialfunktion

    Bei der Exponentialfunktion zur Basis e (eulersche Zahl) handelt es sich um die einzige Funktion f(x), die mir Ihrer eigenen Stammfunktion F(x) identisch ist.

    \(\eqalign{ & f\left( x \right) = {e^x} \cr & F\left( x \right) = \int {{e^x}} \,\,dx = {e^x} + C \cr}\)


    \(\eqalign{ & f\left( x \right) = {e^{k \cdot x}} \cr & F\left( x \right) = \int {{e^{k \cdot x}}} \,\,dx = \frac{1}{k}{e^{k \cdot x}} + C \cr} \)


    Bei der Exponentialfunktion zur Basis a lautet die Stammfunkton "a hoch x dividiert durch den natürlichen Logarithmus von der Basis a"

    \(\eqalign{ & f\left( x \right) = {a^x} \cr & F\left( x \right) = \int {{a^x}} \,\,dx = \dfrac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C \cr} \)


    Logarithmusfunktionen integrieren bzw. Stammfunktion einer Logarithmusfunktion

    Bei der Logarithmusfunktion zur Basis e (eulersche Zahl) handelt es sich um den sogenannten natürlichen Logarithmus "ln". Er hat die selben Eigenschaften wir Logarithmusfunktionen zu einer beliebigen Basis log a. Die Stammfunktion der Logarithmusfunktion lautet "x mal ln x minus x"

    \(\eqalign{ & f\left( x \right) = \ln x \cr & F\left( x \right) = \int {\ln x} \,\,dx = x \cdot \ln x - x + C \cr} \)


    \(\eqalign{ & f\left( x \right) = {}^a\log x \cr & F\left( x \right) = \int {{}^a\log x} \,\,dx = \dfrac{1}{{\ln a}}\left( {x.\ln x - x} \right) + C \cr} \)


    Winkelfunktionen integrieren bzw. Stammfunktion von Winkelfunktionen

    Winkelfunktionen, sie werden auch trigonometrische Funktionen genannt, bezeichnen Zusammenhänge zwischen einem Winkel und Verhältnissen von Seiten (der Hypotenuse, der Ankathete und der Gegenkathete) im rechtwinkeligen Dreieck. Ihrer Stammfunktionen sind Teil der Standardintegraltabellen


    Sinus integrieren

    Das Integral der Sinusfunktion ist die negative Kosinusfunktion plus der Integrationskonstante

    \(\eqalign{ & f\left( x \right) = \sin x \cr & F\left( x \right) = \int {\sin x} \,\,dx = - \cos x + C \cr}\)


    Kosinus integrieren

    Das Integral der Kosinusfunktion ist die Sinusfunktion plus der Integrationskonstante

    \(\eqalign{ & f\left( x \right) = \cos x \cr & F\left( x \right) = \int {\cos x} \,\,dx = \sin x + C \cr} \)


    Illustration als Merkhilfe für die Vorzeichen beim Differenzieren bzw. Integrieren von Sinus und Kosinus

    Dreieck d1 Dreieck d1: Polygon K, B, D Dreieck d2 Dreieck d2: Polygon C, L, M Dreieck d3 Dreieck d3: Polygon G, N, O Dreieck d4 Dreieck d4: Polygon I, P, Q Dreieck d5 Dreieck d5: Polygon S, C_1, D_1 Dreieck d6 Dreieck d6: Polygon W, E_1, F_1 Dreieck d7 Dreieck d7: Polygon A_1, G_1, H_1 Dreieck d8 Dreieck d8: Polygon U, I_1, J_1 Bogen c Bogen c: Kreisbogen(E, A, C) Bogen d Bogen d: Kreisbogen(E, J, K) Bogen e Bogen e: Kreisbogen(E, H, I) Bogen f Bogen f: Kreisbogen(E, F, G) Bogen h Bogen h: Kreisbogen(R, W, V) Bogen r Bogen r: Kreisbogen(R, S, T) Bogen s Bogen s: Kreisbogen(R, U, B_1) Bogen t Bogen t: Kreisbogen(R, A_1, Z) Strecke d_1 Strecke d_1: Strecke K, B Strecke k Strecke k: Strecke B, D Strecke b Strecke b: Strecke D, K Strecke m Strecke m: Strecke C, L Strecke c_1 Strecke c_1: Strecke L, M Strecke l Strecke l: Strecke M, C Strecke o Strecke o: Strecke G, N Strecke g Strecke g: Strecke N, O Strecke n Strecke n: Strecke O, G Strecke q Strecke q: Strecke I, P Strecke i Strecke i: Strecke P, Q Strecke p Strecke p: Strecke Q, I Strecke j Strecke j: Strecke S, C_1 Strecke s_1 Strecke s_1: Strecke C_1, D_1 Strecke a Strecke a: Strecke D_1, S Strecke f_1 Strecke f_1: Strecke W, E_1 Strecke w Strecke w: Strecke E_1, F_1 Strecke e_1 Strecke e_1: Strecke F_1, W Strecke h_1 Strecke h_1: Strecke A_1, G_1 Strecke a_1 Strecke a_1: Strecke G_1, H_1 Strecke g_1 Strecke g_1: Strecke H_1, A_1 Strecke j_1 Strecke j_1: Strecke U, I_1 Strecke u Strecke u: Strecke I_1, J_1 Strecke i_1 Strecke i_1: Strecke J_1, U sin(x) Text1 = “sin(x)” cos(x) Text2 = “cos(x)” -sin(x) Text3 = “-sin(x)” -cos(x) Text4 = “-cos(x)” Differenzieren Text5 = “Differenzieren” Integrieren Text6 = “Integrieren”


    Tangens integrieren

    Das Integral der Tangensfunktion ist der negative Logarithmus vom Betrag der Kosinusfunktion plus die Integrationskonstante.

    \(\eqalign{ & f\left( x \right) = \tan x \cr & F\left( x \right) = \int {\tan x} \,\,dx = - \ln \left| {cosx} \right| + C \cr} \)


    Kotangens integrieren

    Das Integral der Kotangensfunktion ist der positive Logarithmus vom Betrag der Sinusfunktion plus die Integrationskonstante.

    \(\eqalign{ & f\left( x \right) = \cot x \cr & F\left( x \right) = \int {\cot x} \,\,dx = \ln \left| {\sin x} \right| + C \cr} \)

    Auffinden gängiger Stammfunktionen
    Konstante integrieren
    Potenzen integrieren
    Wurzeln integrieren
    Exponentialfunktionen integrieren
    Logarithmusfunktionen integrieren
    Winkelfunktionen integrieren
    Sinus integrieren
    Kosinus integrieren
    Tangens integrieren
    Kotangens integrieren
    1/x integrieren
    Stammfunktion 1/x
    Fragen oder Feedback
    Wissenspfad
    Aufgaben

    Integrationsregeln

    Wenn f(x) mehrere Terme umfasst, die durch Rechenzeichen verbunden sind, dann bedient man sich der Integrationsregeln. Die gängigsten Integrationsregeln sollte man ebenfalls auswendig können.


    Konstantenregel oder Faktorregel

    Einen konstanten Faktor im Integrand kann man vor das Integrationszeichen ziehen, wodurch sich die eigentliche Integration vereinfacht. D.h. der Multiplikationsfaktor bleibt beim Integrieren unverändert erhalten.

    \(\eqalign{ & y = k \cdot f\left( x \right) \cr & F\left( x \right) = \int {k \cdot f\left( x \right)} \,\,dx = k \cdot \int {f\left( x \right)} \,\,dx \cr & {\text{wobei }}k \ne 0 \cr} \)


    Summen- und Differenzenregel

    Das Integral eine Summe bzw. Differenz bildet man, indem man zunächst jeden Summanden einzeln integriert und anschließend die jeweiligen Integrale addiert bzw. subtrahiert. D.h. bei Summen / Differenzen wird gliedweise integriert.

    \(\eqalign{ & y = f\left( x \right) \pm g\left( x \right) \cr & F\left( x \right) = \int {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]} \,\,dx = \int {f\left( x \right)\,\,dx} \pm \int {g\left( x \right)\,\,dx} \cr}\)


    Partielle Integration (Produktintegration)

    Lässt sich der Integrand als das Produkt zweier Funktionen darstellen, kann das Integral bei geschickter Wahl von f(x) bzw. g‘(x) so umgeformt werden, dass es durch bekannte Grundintegrale lösbar wird. Speziell nützlich, wenn die Stammfunktion eines Faktors bereits bekannt ist.

    \(\int {f\left( x \right)} \cdot g'\left( x \right)\,\,dx = f\left( x \right) \cdot g\left( x \right) - \int {f'\left( x \right) \cdot g\left( x \right)\,\,dx}\)


    Die partielle Integration entspricht der Produktregel aus der Differentialrechnung. Auch hier soll das Produkt zweier Funktionen integriert werden. Wenn nach dem Ausmultiplizieren der beiden Faktoren das Integral nicht angemessen lösbar ist, so bietet sich die partielle Integration an, bei der man das Integral in einem Zwischenschritt verändert, natürlich in der Absicht danach einfacher als zuvor integrieren zu können

    \(h(x) = f'\left( x \right) \cdot g\left( x \right)\,\,dx\)

    \(H(x) = f\left( x \right) \cdot g\left( x \right) - \int {f\left( x \right) \cdot g'\left( x \right)} \,\,dx\)

    • 1. Schritt: Einen (beliebigen) Faktor setzt man mit f'(x) gleich, den zweiten Faktor setzt man mit g(x) gleich. Da die Wahl beliebig ist, wählt man für g(x) jenen Faktor dessen Ableitung das in weiterer Folge entstehende Integral vereinfacht.
    • 2. Schritt: Den ersten Faktor f'(x) muss man nun integrieren, um f(x) zu erhalten
    • 3. Schritt: Den zweiten Faktor g(x) muss man zunächst differenzieren, um g'(x) zu erhalten.
    • Zwischenschritt: Die Resultate aus Schritt 1 und 2 in die Formel für H(x) einsetzen
    • Der Minuend (vor dem Minus) kann sofort angeschrieben werden, da man zu diesem Zeitpunkt f(x) und g(x) schon kennt
    • Der Subtrahend (nach dem Minus) enthält nun das (hoffentlich) einfachere Integral,
    • Letzter Schritt: Auffinden des (hoffentlich) einfacheren Integrals. Wenn das nicht gelingt, dann sollte man prüfen, ob man im 1. Schritt die beiden Faktoren nicht umgekehrt zuordnen soll

    Integrationsregel für verkettete Funktionen - Lineare Substitution

    Ist der Integrand eine verkettete lineare Funktion, so schreibt man in den Zähler die Stammfunktion der verketteten linearen Funktion und in den Nenner die Steigung k der linearen Funktion.
    \(\int {f\left( {k \cdot x + d} \right)} \,\,dx = \dfrac{{F\left( {k \cdot x + d} \right)}}{k}\)

    F(x) ist eine Stammfunktion von f(x) und \(k \ne 0\)


    Beispiel:
    Integrationsregel für verkettete Funktionen:

    \(\int {{{\left( {5x + 3} \right)}^3}} \,\,dx = \dfrac{{\dfrac{1}{4} \cdot {{\left( {5x + 3} \right)}^4}}}{5} = \dfrac{1}{{20}} \cdot {\left( {5x + 3} \right)^4}\)


    Integration durch Substitution

    Die Integration durch Substitution führt dann zum Ziel, wenn eine Variablentransformation gefunden werden kann, bei der sich ein gegebener Integrand in einen leichter zu integrierenden Term überführen lässt.

    \(\int {f\left[ {g\left( x \right)} \right]} .g'\left( x \right)\,\,dx = \int {f\left( u \right)\,\,du = F\left[ {g\left( x \right)} \right]} + C\)

    Substitution: \(u = g\left( x \right){\text{ und }}g'\left( x \right)\operatorname{dx} = du;\)


    \(\int {f\left( x \right)\,\,dx = \int {f\left[ {h\left( u \right)} \right]} .h'\left( u \right)\,\,du}\)

    Substitution: \(x = h\left( u \right){\text{ und dx = }}h'\left( u \right)\,\,du\)

    Faktorregel beim Integrieren
    Konstantenregel beim Integrieren
    Summen integrieren
    Differenzen integrieren
    Partielle Integration
    Integration von Produkten
    Integrationsregel für verkettete Funktionen
    Integration durch Substitution
    Variablentransformation bei der Integration
    Fragen oder Feedback
    Wissenspfad

    Integration spezieller Funktionen

    Das Auffinden der Stammfunktion von spezieller Funktionen wird man wohl nicht auswendig können, sondern bei Bedarf nachlesen.


    Integration durch Partialbruchzerlegung

    Integrale gebrochener Funktionen (Brüche) werden in einfachere Teilbrüche, sogenannte Partialbrüche, zerlegt, die auf bekannten Integralen basieren. Ein Koeffizientenvergleich zwischen Z(x) und Z1 (x; A1…Dr) führt auf die Bestimmungsgleichungen für die Koeffizienten A1 bis Dr.

    \(\int {\dfrac{{{Z_m}\left( x \right)}}{{{N_n}\left( x \right)}}} \,\,dx\)


    Partialbruchzerlegung

    \(\eqalign{ & \dfrac{{Z\left( x \right)}}{{N\left( x \right)}} = \cr & = \dfrac{{Z\left( x \right)}}{{{x^p}.{{\left( {x - a} \right)}^q} \cdot {{\left( {{x^2} + bx + c} \right)}^r}}} = \cr & = \dfrac{{{A_1}}}{x} + \dfrac{{{A_2}}}{{{x^2}}} + ... + \dfrac{{{A_p}}}{{{x^p}}} + \cr & + \dfrac{{{B_1}}}{{\left( {x - a} \right)}} + \dfrac{{{B_2}}}{{{{\left( {x - a} \right)}^2}}} + ... + \dfrac{{{B_q}}}{{{{\left( {x - a} \right)}^q}}} + \cr & + \dfrac{{{C_1}x + {D_1}}}{{\left( {{x^2} + bx + c} \right)}} + \dfrac{{{C_2}x + {D_2}}}{{{{\left( {{x^2} + bx + c} \right)}^2}}} + ... + \dfrac{{{C_r}x + {D_r}}}{{{{\left( {{x^2} + bx + c} \right)}^r}}} = \cr & = \dfrac{{{Z_1} \cdot \left( {x;\,\,\,{A_1},...{A_p};\,\,\,{B_1}...{B_q};\,\,\,{C_1}...{C_r},{D_1}...{D_r}} \right)}}{{N\left( x \right)}} \cr}\)


    Trigonometrische Winkelfunktionen integrieren

    Auf Grund ihrer hohen Bedeutung, haben wir die trigonometrischen Winkelfunktionen unter "Auffinden gängiger Stammfunktionen" angeführt.


    Arkusfunktionen integrieren

    Die Arkusfunktionen sind die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Winkelfunktionen. Sie werden verwendet, wenn man aus einer gegebenen Strecke, den zugrundeliegenden Winkel ausrechnen will. Bei den Arkusfunktionen erfolgt eine Vertauschung von unabhängiger und abhängiger Variable gegenüber den trigonometrischen Winkelfunktionen.


    arcsin integrieren

    \(\eqalign{ & f\left( x \right) = \arcsin x \cr & F\left( x \right) = \int {\arcsin x} \,\,dx = x \cdot \arcsin x + \sqrt {1 - {x^2}} + C \cr}\)


    arccos integrieren

    \(\eqalign{ & f\left( x \right) = \arccos x \cr & F\left( x \right) = \int {\arccos x} \,\,dx = x \cdot \arccos x - \sqrt {1 - {x^2}} + C \cr}\)


    arctan integrieren

    \(\eqalign{ & f\left( x \right) = \arctan x \cr & F\left( x \right) = \int {\arctan x} \,\,dx = x \cdot \arctan x - \dfrac{1}{2}\ln \left( {1 + {x^2}} \right) + C \cr}\)


    arccot integrieren

    \(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{arccot} x \cr & F\left( x \right) = \int {\operatorname{arccot} x} \,\,dx = x \cdot \operatorname{arccot} x + \dfrac{1}{2}\ln \left( {1 + {x^2}} \right) + C \cr}\)


    Hyperbolische Funktionen integrieren

    Die Hyperbolischen Funktionen, auch Hyperbelfunktionen genannt, sind bestimmte Kombinationen der Exponentialfunktionen ex und e-x, die vor allem in der Technik häufig vorkommen und daher eignene Namen erhalten haben. Hyperbolische Funktionen finden sich bei Spinnweben und als „Kettenlinie“ bzw. „Seilkurve“ beim Durchhang von Stahlseilen auf Leitungsmasten zufolge ihrer Eigenlast.


    sinh integrieren

    \(\eqalign{ & f\left( x \right) = \sinh x \cr & F\left( x \right) = \int {\sinh x} \,\,dx = \cosh x + C \cr}\)


    cosh integrieren

    \(\eqalign{ & f\left( x \right) = \cosh x \cr & F\left( x \right) = \int {\cosh x} \,\,dx = \sinh x + C \cr}\)


    tanh integrieren

    \(\eqalign{ & f\left( x \right) = \tanh x \cr & F\left( x \right) = \int {\tanh x} \,\,dx = \ln \left| {\cosh x} \right| + C \cr} \)


    coth integrieren

    \(\eqalign{ & f\left( x \right) = \coth x \cr & F\left( x \right) = \int {\coth x} \,\,dx = \ln \left| {\sinh x} \right| + C \cr} \)


    Areafunktionen integrieren

    Area Funktionen sind die Umkehrfunktionen der hyperbolischen Funktionen. Der Begriff „Area“ leitet sich aus dem Zusammenhang mit dem Flächeninhalt (=area) eines Hyperbelsektors ab. Bei den Areafunktionen erfolgt eine Vertauschung von unabhängiger und abhängiger Variable gegenüber den hyperbolischen Funktionen.


    arsinh integrieren

    \(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{arsinh} x = \dfrac{1}{{\sinh x}} \cr & F\left( x \right) = \int {\operatorname{arsinh} x} \,\,dx = x \cdot \operatorname{arsinh} x - \sqrt {{x^2} + 1} + C \cr}\)


    arcosh integrieren

    \(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{arcosh} x = \dfrac{1}{{\cosh x}} \cr & F\left( x \right) = \int {\operatorname{arcosh} x} \,\,dx = x \cdot \operatorname{arcosh} x - \sqrt {{x^2} - 1} + C \cr}\)


    artanh integrieren

    \(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{artanh} x = \dfrac{1}{{\tanh x}} \cr & F\left( x \right) = \int {\operatorname{artanh} x} \,\,dx = x \cdot \operatorname{artanh} x + \dfrac{1}{2}\ln \left( {1 - {x^2}} \right) + C \cr}\)


    arcoth integrieren

    \(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{arcoth} x = \dfrac{1}{{\coth x}} \cr & F\left( x \right) = \int {\operatorname{arcoth} x} \,\,dx = x \cdot \operatorname{arcoth} x + \dfrac{1}{2}\ln \left( {1 - {x^2}} \right) + C \cr} \)

    Integration durch Partialbruchzerlegung
    Integration durch Teilbruchzerlegung
    Koeffizientenvergleich
    Partialbruchzerlegung
    Arkussinus integrieren
    Arkuskosinus integrieren
    Arkustangens integrieren
    Arkuskotangens integrieren
    Hyperbelfunktionen integrieren
    Sinus Hyperbolicus integrieren
    Kosinus Hyperbolicus integrieren
    Tangens Hyperbolicus integrieren
    Kotangens Hyperbolicus integrieren
    Areafunktionen integrieren
    Areasinus Hyperbolicus integrieren
    Areakosinus Hyperbolicus integrieren
    Areatangens Hyperbolicus integrieren
    Areakotangens Hyperbolicus integrieren
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    Aufgabe 235

    Integration einer Konstanten

    Gegeben sei die Funktion: \(f\left( x \right) = 4\)
    Finde die zugehörige Stammfunktion F(x) gemäß den Regeln der Integralrechnung

    Konstante integrieren
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    Aufgabe 236

    Integration von Potenzen

    Gegeben sei die Funktion: \(f\left( x \right) = 4x\)
    Finde die zugehörige Stammfunktion F(x) gemäß den Regeln der Integralrechnung

    Potenzen integrieren
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    Aufgabe 237

    Integration von Potenzen

    Gegeben sei die Funktion: \(f\left( x \right) = x\)
    Finde die zugehörige Stammfunktion F(x) gemäß den Regeln der Integralrechnung

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    Aufgabe 238

    Integration von Potenzen

    Gegeben sei die Funktion: \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\)
    Finde die zugehörige Stammfunktion F(x) gemäß den Regeln der Integralrechnung.

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    Aufgabe 239

    Integration von Potenzen

    Gegeben sei die Funktion: \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^2}}}\)
    Finde die zugehörige Stammfunktion F(x) gemäß den Regeln der Integralrechnung.

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    Aufgabe 240

    Integration von Potenzen

    Gegeben sei die Funktion: \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^3}}}\)
    Finde die zugehörige Stammfunktion F(x) gemäß den Regeln der Integralrechnung.

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    Aufgabe 241

    Integration von Potenzen

    Gegeben sei die Funktion: \(f\left( x \right) = 8{x^4} - 3{x^2} + \dfrac{1}{{{x^3}}}\)
    Finde die zugehörige Stammfunktion F(x) gemäß den Regeln der Integralrechnung

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    Lehrstoff und Aufgabenpool

    verständliche Erklärungen
    schneller Lernerfolg
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    Maths2Mind ist ein einzigartiges Angebot, einerseits zur Mathematik-Matura bzw. Abiturvorbereitung, andererseits zur Vermittlung eines breiten Grundlagenwissens zu den MINT-Fächern Mathematik, Elektrotechnik und Physik, das sich von anderen Online-Ressourcen abhebt.

    Hier sind einige der wesentlichen Alleinstellungsmerkmale von maths2mind.com:

    • Kostenlose Prüfungsvorbereitung: Nicht jede Familie kann es sich leisten, für Prüfungsvorbereitung zu bezahlen. Nutzer von maths2mind benötigen keine Kreditkarte, da es keine kostenpflichtigen Abonnementpakete gibt. Alle Inhalte sind kostenlos zugänglich!
    • Privatsphäre: Es werden keine zustimmungspflichtigen Cookies verwendet, es gibt keine webseitenübergreifende oder personalisierte Werbung. 
    • Anonymes Lernen: Alle Inhalte sind ohne Anmeldung zugänglich, sodass Schüler anonym lernen können.
    • Autoren Dream-Team: Die Inhalte werden von Experten mit facheinschlägigem Universitätsabschluss erstellt. Zusätzlich erfolgte eine Recherche auf Vollständigkeit mittels künstlicher Intelligenz.
    • Probeschularbeiten: Lehrer können bei jeder Aufgabe einen Link kopieren, und durch simples "kopieren - einfügen" eine Probeschularbeit zusammenstellen und diese ihren Schülern elektronisch zum Selbststudium verfügbar machen.
    • Verständliche Erklärungen – schneller Lernerfolg – mehr Freizeit: Ehemalige Matura- bzw. Abiturbeispiele werden schriftlich vorgerechnet, damit Schüler den vollständigen Rechenweg 1:1 nachvollziehen können. Die ehemaligen Aufgaben sind sowohl chronologisch nach Prüfungstermin, als auch inhaltlich nach Lehrstoff sortiert, mittels anklickbarer Tags auffindbar.
    • Vernetzung von Lehrstoff und Rechenaufgaben über Tags: "Aufgaben passend zum Lernstoff" oder "Grundlagenwissen zur jeweiligen Aufgabe" sind mittels Tags leicht zu finden.
    • 1.000 Videos zum Rechenweg: Auch Dank der freundlichen Genehmigung des Bundesministeriums für Bildung, binden wir direkt in den Lösungsweg von Maturabeispielen, videobasierte Erklärungen ein.
    • 4.000 MINT-Fachbegriffe: Nutzer können gezielt nach Fachbegriffen suchen. Bei mehreren Treffern erfolgt die Auswahl über stichwortartige Zusammenfassungen.
    • 2.000 GeoGebra Illustrationen: Alle unsere rd. 2.000 selbst erstellten vektorbasierten Grafiken wurden mit GeoGebra erstellt. Zusätzlich verlinken wir auf anschauliche interaktive Illustrationen auf der GeoGebra Lernplattform.
    • Exzellent lesbare MINT-Inhalte: Die Inhalte sind vektorbasiert und daher auf allen Geräten, vom Smartphone bis zum XXL-Screen, gestochen scharf lesbar. Das gilt besonders für komplexe Formeln und anschauliche Illustrationen.
    • Wissenspfade: Zu jeder Lerneinheit werden gut strukturiert empfohlenes Vorwissen, verbreiterndes und vertiefendes Wissen angezeigt.
    • Umfassende Unterstützung: Maths2mind begleitet Schüler bis zum erfolgreichen Lehrabschluss mit Matura, dem Berufseinstieg nach Matura/Abitur und auch beim Studieneinstieg.
    • Soziale Mission: Als E-Learning Plattform mit sozialer Mission bietet maths2mind Chancen-Fairness durch genderneutralen Bildungszugang. Unabhängig von sozioökonomischem Umfeld, Wohnort, Einstellung oder Kulturkreis der Eltern, Sympathiewert des Lehrenden, finanzieller Schulausstattung oder Tagespolitik.
    • Kostenlose Fragen per E-Mail: Bei Unklarheiten können Fragen kostenlos per E-Mail gestellt werden.

    Maths2Mind.com ist somit eine umfassende Plattform, die nicht nur Wissen vermittelt, sondern auch auf individuelle Bedürfnisse eingeht und einen fairen Zugang zur Bildung ermöglicht.

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