Aufgabe 241
Integration von Potenzen
Gegeben sei die Funktion: \(f\left( x \right) = 8{x^4} - 3{x^2} + \dfrac{1}{{{x^3}}}\)
Finde die zugehörige Stammfunktion F(x) gemäß den Regeln der Integralrechnung
Lösungsweg
Bei dieser Funktion handelt es sich um eine Potenzfunktion bzw. kann man den 3. Term einfach in eine Potenzfunktion, mit negativem Exponenten, umwandeln. Wir wenden die Regel zur Integration einer Potenz an.
\(f\left( x \right) = 8{x^4} - 3{x^2} + \dfrac{1}{{{x^3}}}\)
Den dritten Term dieser Funktion kann man einfach in eine Potenzfunktion, mit negativem Exponenten, umwandeln:
\(f\left( x \right) = 8{x^4} - 3{x^2} + {x^{ - 3}}\)
Gemäß der Formel für das Integrieren von Potenzen, deren Exponent n ungleich -1 ist, gilt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {x^n} \cr & F\left( x \right) = \int {{x^n}\,\,dx = \dfrac{1}{{n + 1}} \cdot {x^{n + 1}}} + c \cr}\)
\(\eqalign{ & F\left( x \right) = \int {8{x^4}} \,\,dx - \int {3{x^2}} \,\,dx + \int {{x^{ - 3}}} \,\,dx \cr & F\left( x \right) = 8\dfrac{{{x^5}}}{5} - 3\dfrac{{{x^3}}}{3} + \dfrac{{{x^{ - 3 + 1}}}}{{ - 3 + 1}} + c = \cr & = 8\dfrac{{{x^5}}}{5} - 3\dfrac{{{x^3}}}{3} + \dfrac{{{x^{ - 2}}}}{{ - 2}} + c \cr & F\left( x \right) = 8\dfrac{{{x^5}}}{5} - {x^3} - \dfrac{1}{{2{x^2}}} + c \cr}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(F\left( x \right) = 8\dfrac{{{x^5}}}{5} - {x^3} - \dfrac{1}{{2{x^2}}} + c\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.