Potenzen integrieren
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Auffinden gängiger Stammfunktionen
Nachfolgend jene Ableitungsfunktionen, die für die Matura bzw. das Abitur von Bedeutung sind.
Konstante Funktion integrieren bzw. Stammfunktion einer konstanten Funktion
Steht im Integrand nur eine Konstante, so ist deren Integral die Konstante mal derjenigen Variablen, nach der integriert wird.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = k \cr & F\left( x \right) = \int {k\,\,dx = kx + c} \cr}\)
Potenzfunktionen integrieren bzw. Stammfunktion einer Potenzfunktion
Die n-te Potenz von x wird integriert, indem man x hoch (n+1) in den Zähler und (n+1) in den Nenner schreibt. Gilt für alle n ungleich -1.
\(\eqalign{ & {\text{für }}n \ne - 1 \cr & f\left( x \right) = {x^n} \cr & F\left( x \right) = \int {{x^n}.dx = \dfrac{1}{{n + 1}} \cdot {x^{n + 1}}} + C \cr}\)
1/x integrieren bzw. Stammfunktion von 1/x
Zur Funktion 1/x lautet die Stammfunktion ln|x|+C. Die Funktion 1/x ist gleich der Potenzfunktion xn für n=-1.
\(\eqalign{ & {\text{für }}n = - 1 \cr & f\left( x \right) = \dfrac{1}{x} \cr & F\left( x \right) = \int {\dfrac{1}{x}} .dx = \ln |x| + C \cr}\)
Der Definitionsbereich von ln(x) ist R+, also die positiven reellen Zahlen. Indem man im Argument der Logarithmusfunktion den Betrag von x nimmt, erweitert man den Definitionsbereich der Stammfunktion auf negative x. x=0 muss man ausschließen, da der ln(0) nicht definiert ist.
Wurzelfunktionen integrieren bzw. Stammfunktion einer Wurzelfunktion
Bei Wurzelfunktionen bietet es sich an, den Wurzelausdruck zunächst in eine Potenzfunktion f(x) umzuwandeln und anschließend deren Stammfunktion F(x) aufzusuchen
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \sqrt x = {x^{\dfrac{1}{2}}} \cr & F\left( x \right) = \int {\sqrt x } \,\,dx = \dfrac{2}{3}\sqrt {{x^3}} + C \cr}\)
Exponentialfunktionen integrieren bzw. Stammfunktion einer Exponentialfunktion
Bei der Exponentialfunktion zur Basis e (eulersche Zahl) handelt es sich um die einzige Funktion f(x), die mir Ihrer eigenen Stammfunktion F(x) identisch ist.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {e^x} \cr & F\left( x \right) = \int {{e^x}} \,\,dx = {e^x} + C \cr}\)
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {e^{k \cdot x}} \cr & F\left( x \right) = \int {{e^{k \cdot x}}} \,\,dx = \frac{1}{k}{e^{k \cdot x}} + C \cr} \)
Bei der Exponentialfunktion zur Basis a lautet die Stammfunkton "a hoch x dividiert durch den natürlichen Logarithmus von der Basis a"
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {a^x} \cr & F\left( x \right) = \int {{a^x}} \,\,dx = \dfrac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C \cr} \)
Logarithmusfunktionen integrieren bzw. Stammfunktion einer Logarithmusfunktion
Bei der Logarithmusfunktion zur Basis e (eulersche Zahl) handelt es sich um den sogenannten natürlichen Logarithmus "ln". Er hat die selben Eigenschaften wir Logarithmusfunktionen zu einer beliebigen Basis log a. Die Stammfunktion der Logarithmusfunktion lautet "x mal ln x minus x"
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \ln x \cr & F\left( x \right) = \int {\ln x} \,\,dx = x \cdot \ln x - x + C \cr} \)
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {}^a\log x \cr & F\left( x \right) = \int {{}^a\log x} \,\,dx = \dfrac{1}{{\ln a}}\left( {x.\ln x - x} \right) + C \cr} \)
Winkelfunktionen integrieren bzw. Stammfunktion von Winkelfunktionen
Winkelfunktionen, sie werden auch trigonometrische Funktionen genannt, bezeichnen Zusammenhänge zwischen einem Winkel und Verhältnissen von Seiten (der Hypotenuse, der Ankathete und der Gegenkathete) im rechtwinkeligen Dreieck. Ihrer Stammfunktionen sind Teil der Standardintegraltabellen
Sinus integrieren
Das Integral der Sinusfunktion ist die negative Kosinusfunktion plus der Integrationskonstante
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \sin x \cr & F\left( x \right) = \int {\sin x} \,\,dx = - \cos x + C \cr}\)
Kosinus integrieren
Das Integral der Kosinusfunktion ist die Sinusfunktion plus der Integrationskonstante
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \cos x \cr & F\left( x \right) = \int {\cos x} \,\,dx = \sin x + C \cr} \)
Illustration als Merkhilfe für die Vorzeichen beim Differenzieren bzw. Integrieren von Sinus und Kosinus
Tangens integrieren
Das Integral der Tangensfunktion ist der negative Logarithmus vom Betrag der Kosinusfunktion plus die Integrationskonstante.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \tan x \cr & F\left( x \right) = \int {\tan x} \,\,dx = - \ln \left| {cosx} \right| + C \cr} \)
Kotangens integrieren
Das Integral der Kotangensfunktion ist der positive Logarithmus vom Betrag der Sinusfunktion plus die Integrationskonstante.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \cot x \cr & F\left( x \right) = \int {\cot x} \,\,dx = \ln \left| {\sin x} \right| + C \cr} \)
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Aufgaben
Aufgabe 236
Integration von Potenzen
Gegeben sei die Funktion: \(f\left( x \right) = 4x\)
Finde die zugehörige Stammfunktion F(x) gemäß den Regeln der Integralrechnung
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Aufgabe 237
Integration von Potenzen
Gegeben sei die Funktion: \(f\left( x \right) = x\)
Finde die zugehörige Stammfunktion F(x) gemäß den Regeln der Integralrechnung
Aufgabe 239
Integration von Potenzen
Gegeben sei die Funktion: \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^2}}}\)
Finde die zugehörige Stammfunktion F(x) gemäß den Regeln der Integralrechnung.
Aufgabe 240
Integration von Potenzen
Gegeben sei die Funktion: \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^3}}}\)
Finde die zugehörige Stammfunktion F(x) gemäß den Regeln der Integralrechnung.
Aufgabe 241
Integration von Potenzen
Gegeben sei die Funktion: \(f\left( x \right) = 8{x^4} - 3{x^2} + \dfrac{1}{{{x^3}}}\)
Finde die zugehörige Stammfunktion F(x) gemäß den Regeln der Integralrechnung
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Aufgabe 1227
AHS - 1_227 & Lehrstoff: AN 4.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Integrationsregeln
Es sei f eine reelle Funktion und a eine reelle Zahl.
- Aussage 1: \(\int {a \cdot f\left( x \right)} \,\,dx = a \cdot \int {f\left( {x\,\,dx} \right)} \)
- Aussage 2: \(\int {f\left( {a \cdot x} \right)} \,\,dx = \int {f\left( a \right)} \,\,dx \cdot \int {f\left( x \right)} \,\,dx\)
- Aussage 3: \(\int {\left( {a + f\left( x \right)} \right)} \,\,dx = \int {a\,\,dx + \int {f\left( x \right)} } \,\,dx\)
- Aussage 4: \(\int {f\left( {a + x} \right)} \,\,dx = \int {f\left( a \right)} \,\,dx + \int {f\left( {x\,\,dx} \right)} \)
- Aussage 5: \({\int {f\left( x \right)} ^2}\,\,dx = \frac{{f{{\left( x \right)}^3}}}{3} + C\)
Aufgabenstellung
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Gleichungen an!
Aufgabe 1500
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2016 - Teil-1-Aufgaben - 18. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Halbierung einer Fläche
Gegeben ist die reelle Funktion f mit \(f\left( x \right) = {x^2}\)
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Stelle b so, dass die Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion f im Intervall [2; 4] in zwei gleich große Flächen A1 und A2 geteilt wird (siehe Abbildung)!
Aufgabe 1167
AHS - 1_167 & Lehrstoff: AN 4.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Integral berechnen
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie \(\int {\left( {a \cdot {h^3} + {a^2}} \right)} \,\,dh\)
Aufgabe 1701
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Stammfunktion
Gegeben ist eine Funktion
\(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R}{\text{ mit }}f\left( x \right) = a \cdot {x^3}{\text{ mit }}a \in {\Bbb R}\)
Aufgabenstellung
Bestimmen Sie a so, dass die Funktion
\(F:{\Bbb R} \to {\Bbb R}{\text{ mit }}F\left( x \right) = 5 \cdot {x^4} - 2\) eine Stammfunktion von f ist!
a= ___
[0 / 1 Punkt]
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