Aufgabe 1701
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Stammfunktion
Gegeben ist eine Funktion
\(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R}{\text{ mit }}f\left( x \right) = a \cdot {x^3}{\text{ mit }}a \in {\Bbb R}\)
Aufgabenstellung
Bestimmen Sie a so, dass die Funktion
\(F:{\Bbb R} \to {\Bbb R}{\text{ mit }}F\left( x \right) = 5 \cdot {x^4} - 2\) eine Stammfunktion von f ist!
a= ___
[0 / 1 Punkt]
Lösungsweg
Wir integrieren f(x) wie folgt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = a \cdot {x^3} \cr & F\left( x \right) = \int {a \cdot {x^3}} \,\,dx = a \cdot \int {{x^3}} \,\,dx = \frac{a}{4} \cdot {x^4} + c \cr} \)
Wir vergleichen die Koeffizienten der Stammfunktion die wir soeben durch unbestimmte Integration errechnet haben, mit jenen der gegebenen Stammfunktion:
\(\eqalign{
& {\text{Gl}}{\text{.1: }}F\left( x \right) = \frac{a}{4} \cdot {x^4} + c \cr
& {\text{Gl}}{\text{.2: }}F\left( x \right) = 5 \cdot {x^4} - 2 \cr
& \cr
& {\text{Term in }}{{\text{x}}^{\text{4}}}{\text{: }}\frac{a}{4} = 5 \to a = 5 \cdot 4 = 20 \cr
& {\text{linearer Term: }} - 2 = c \to c = - 2 \cr} \)
→ Der gesuchte Koeffizient lautet: a=20
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Der gesuchte Koeffizient lautet: a=20
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.