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Bestimmtes Integral

Hier findest du folgende Inhalte

5
Formeln
    Formeln
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    Rechenregeln für bestimmte Integrale

    \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx = F\left( x \right)\left| {_a^b} \right. = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)


    Integral bei einer Intervalllänge gleich Null

    \(\eqalign{ & \int\limits_a^a {f\left( x \right)\,\,dx = 0} \cr}\)


    Vertauschen der Integrationsgrenzen

    Beim Integrieren kehrt sich das Vorzeichen durch das Vertauschen der Integrationsgrenzen um

    \(\int\limits_b^a {f\left( x \right)\,\,dx = - \int\limits_a^b {f\left( x \right)} } \,\,dx\)


    Kombination benachbarter Intervalle

    Beim Integrieren kann man benachbarte Intervalle zu einem Intervall zusammenfassen

    \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx + \int\limits_b^c {f\left( x \right)\,\,dx = \int\limits_a^c {f\left( x \right)\,\,dx} } } \)


    Kriterium für Integrierbarkeit

    Das Kriterium für Integrierbarkeit ist, dass die Funktion im Intervallbereich [a,b] monoton oder stetig oder zumindest stückweise stetig ist (d.h. nur endlich viele Unstetigkeitsstellen besitzt).

    Bestimmtes Integral
    Integration über benachbarte Intervalle
    Vertauschen der Integrationsgrenzen
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    Bestimmtes Integral - Bogenlänge

    Das bestimmte Integral ermöglicht es, die Bogenlänge von einem Graphen zu berechnen, der durch eine Funktionsgleichung gegeben ist.


    Bestimmtes Integral - Bogenlänge einer ebenen Kurve

    Es sei f(x) eine im Intervall [a,b] differenzierbare, also eine stetige Funktion. Dann ist s Bogenlänge der ebenen Kurve. Eine Kurve heißt rektifizierbar, wenn sie eine endliche Bogenlänge s hat.

    \(s = \int\limits_a^b {\sqrt {1 + {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}} \,\,dx}\)


    Linearer Mittelwert m einer Funktion f im Intervall [a; b]

    Neben der Bogenlänge der Funktion f(x) im Intervall [a; b] kann man sich auch für den mittleren Abstand des Bogens von der x-Achse innerhalb dieses Intervalls interessieren. Ein Beispiel wäre die mittlere Flughöhe eines Balls beim Schuss vom Elfmeterpunkt in Richtung vom Tor.

    \(m = \dfrac{1}{{b - a}} \cdot \int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx\)

    Bogenlänge einer ebenen Kurve
    Rektifizierbare Kurve
    Linearer Mittelwert m einer Funktion f im Intervall [a; b]
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    Bestimmtes Integral - Flächeninhalte

    Das bestimmte Integral ermöglicht es, Flächen zu berechnen, die von einem oder mehreren Funktionsgraphen und/oder einer Koordinatenachse begrenzt werden.


    Bestimmtes Integral - Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse

    Der Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse von stetigen positiven Funktionen f(x), ist mit Hilfe der zugehörigen Stammfunktion berechenbar.

    \(A = \int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx} = F\left( x \right)\left| {_a^b} \right. = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)

    Zahl a Zahl a: Integral von f im Intervall [4, 7] Zahl a Zahl a: Integral von f im Intervall [4, 7] Funktion f f(x) = Wenn(0.5 < x < 9, 0x⁴ + 1) a text1 = “a” b text2 = “b” A text3 = “A” f Text1 = “f”


    Ist in einem betrachteten Intervall f(x) < 0, so ergibt sich ein negativer Wert für den Flächeninhalt. Die zugehörige Fläche wird als „negativ orientiert“ bezeichnet.

    Zahl a Zahl a: Integral von f im Intervall [4, 7] Zahl a Zahl a: Integral von f im Intervall [4, 7] Funktion f f(x) = Wenn(0.5 < x < 9, -(0.15x - 1)² - 3) a text1 = “a” b text2 = “b” A text3 = “A” f Text1 = “f”


    Bestimmtes Integral - Flächeninhalt zwischen 2 einander nicht schneidender Graphen

    Der Flächeninhalt zwischen 2 Graphen, die sich im Intervall [a,b] nicht schneiden, kann aus der Differenz der jeweiligen Flächeninhalte zwischen dem zugehörigem Graphen und der x-Achse berechnet werden. Dabei gilt grundsätzlich "obere Funktion" minus "untere Funktion"

    \(A = \int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx - \int\limits_a^b {g\left( x \right)\,\,dx = } } \int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]\,\,dx} \)

    Zahl b Zahl b: IntegralZwischen[f, g, 2, 8] Zahl b Zahl b: IntegralZwischen[f, g, 2, 8] Funktion f f(x) = Wenn[0.5 < x < 9, -(0.15x - 1)² + 5] Funktion g g(x) = Wenn[0.5 < x < 9, (0.25x - 1)² + 2] Strecke h Strecke h: Strecke [(2, 0), (2, 6)] Strecke i Strecke i: Strecke [(8, 0), (8, 6)] a text1 = "a" b text2 = "b" A text3 = "A" g text5 = "g" f text4 = "f"


    Der Flächeninhalt zwischen 2 Graphen, die sich im Intervall [a,b] an der Stelle x1 schneiden

    • Am einfachsten zu merken ist die 1. Art:

      • An der Schnittstelle x1 der beiden Graphen sind die Integrale zu teilen.
      • Es gilt grundsätzlich "obere minus untere" Funktion
    • Bei der 2. und 3. Art ist zu bedenken, dass in diesem Fall das rechte bestimmte Integral eine negativ Fläche ausweist. Das Vorzeichen dieser negativen Fläche kann auf 2 Arten umgekehrt werden:
      • durch ein "minus" oder
      • durch den "Betrag"

    Anmerkung:

    • a, x1 und b sind dabei z.B. die 3 Schittpunkte der beiden Funktionen f(x) und g(x). Damit man das bestimmte Integral berechnen kann, muss man die Schnittpunkte durch Gleichsetzen der beiden Funktionen f(x)=g(x) ermitteln.
    • Während a und b auch von Schnittpunkten abweichende Integrationsgrenzen sein können, ist bei einander schneidenden Funktionen x1 auf jeden Fall ein Schnittpunkt.

    \(\eqalign{ & A = \int\limits_a^{{x_1}} {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]\,\,dx + \int\limits_{{x_1}}^b {\left[ {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]} } \,\,dx = \cr & A = \int\limits_a^{{x_1}} {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,\,dx - \int\limits_{{x_1}}^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,\,dx = \cr & A = \left| {\int\limits_a^{{x_1}} {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,\,dx} \right| + \left| {\int\limits_{{x_1}}^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,\,dx} \right| \cr} \)


    Zahl a Zahl a: IntegralZwischen(p, h, 1, 8) Zahl a Zahl a: IntegralZwischen(p, h, 1, 8) Funktion h Funktion h: Polynom({A, B, C, D}) Funktion p Funktion p: Polynom({A, B, E, D}) Punkt A A = (1, -2) Punkt A A = (1, -2) Punkt B B = (3, 2) Punkt B B = (3, 2) Punkt D D = (8, 5) Punkt D D = (8, 5) g Text1 = “g” f Text2 = “f” a Text3 = “a” x_1 Text4 = “x_1” x_1 Text4 = “x_1” b Text5 = “b”

    Bestimmtes Integral
    Fläche zwischen Graph und x-Achse
    Negativ orientierte Fläche
    Flächeninhalt zwischen 2 einander nicht schneidender Graphen
    Flächeninhalt zwischen 2 einander schneidender Graphen
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    Bestimmtes Integral - Schwertpunkt von Flächen

    Das bestimmte Integral ermöglicht es, den Schwerpunkt von Flächen zu berechnen, die von einem oder mehreren Funktionsgraphen und/oder einer Koordinantenachse begrenzt werden.


    Bestimmtes Integral - Schwerpunkt der Fläche zwischen Graph und x-Achse

    Die x- und y-Koodinaten vom Schwerpunkt einer Fläche, zwischen Graph und x-Achse einerseits und einer unteren und einer oberen Grenze andererseits, können mit Hilfe der Integralrechnung berechnet werden.

    \(\eqalign{ & {S_x} = \dfrac{{\int\limits_a^b {x \cdot f\left( x \right)\,\,dx} }}{{\int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx} }} = \dfrac{{\int\limits_a^b {x \cdot y\,\,dx} }}{{\int\limits_a^b {y\,\,dx} }} \cr & {S_y} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{\int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}\,\,dx} }}{{\int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx} }} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\int\limits_a^b {{y^2}\,\,dx} }}{{\int\limits_a^b {y\,\,dx} }} \cr}\)

    Zahl a Zahl a: Integral von f im Intervall [4, 7] Zahl a Zahl a: Integral von f im Intervall [4, 7] Funktion f f(x) = Wenn(0.5 < x < 9, 0x⁴ + 1) Punkt A A = (5.82, 1.21) Punkt A A = (5.82, 1.21) a text1 = “a” b text2 = “b” A text3 = “A” f Text1 = “f” $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$ Text2 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$” $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$ Text2 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$” $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$ Text2 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$” $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$ Text2 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$” $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$ Text2 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$” $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$ Text2 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$” $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$ Text2 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$” $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$ Text2 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$”


    Bestimmtes Integral - Schwerpunkt der Fläche zwischen 2 Graphen, die sich im Intervall [a,b] nicht schneiden

    Die x- und y-Koordinaten vom Schwerpunkt einer Fläche, zwischen zwei Graphen f(x) und g(x) einerseits und einer unteren und einer oberen Grenze andererseits, können mit Hilfe der Integralrechnung berechnet werden.

    \(\eqalign{ & {S_x} = \dfrac{{\int\limits_a^b {x \cdot \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]\,\,dx} }}{{\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]\,\,dx} }} \cr & {S_y} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{\int\limits_a^b {\left[ {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right]} \,\,dx}}{{\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]\,\,dx} }} \cr}\)

    Zahl b Zahl b: IntegralZwischen(f, g, 2, 8) Zahl b Zahl b: IntegralZwischen(f, g, 2, 8) Funktion f f(x) = Wenn(0.5 < x < 9, -(0.15x - 1)² + 5) Funktion g g(x) = Wenn(0.5 < x < 9, (0.25x - 1)² + 2) Strecke h Strecke h: Strecke (2, 0), (2, 6) Strecke i Strecke i: Strecke (8, 0), (8, 6) Punkt A A = (4.91, 3.52) Punkt A A = (4.91, 3.52) a text1 = “a” b text2 = “b” A text3 = “A” g text5 = “g” f text4 = “f” $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$ Text1 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$” $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$ Text1 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$” $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$ Text1 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$” $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$ Text1 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$” $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$ Text1 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$” $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$ Text1 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$” $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$ Text1 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$” $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$ Text1 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$”


    Die Integrationsgrenzen a, b selbst dürfen natürlich mit einem oder beiden Schnittpunkten der Funktionen f(x) und g(x) zusammenfallen.

    Zahl a Zahl a: IntegralZwischen(f, g, 0, 0.88) Zahl a Zahl a: IntegralZwischen(f, g, 0, 0.88) Funktion f f(x) = sin(x) Funktion g g(x) = x² Gerade h Gerade h: Gerade durch B senkrecht zu xAchse Punkt A A = (0.47, 0.34) Punkt A A = (0.47, 0.34) Punkt B Punkt B: Punkt auf f Punkt B Punkt B: Punkt auf f Punkt C Punkt C: Punkt auf g Punkt C Punkt C: Punkt auf g $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$ Text1 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$” $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$ Text1 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$” $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$ Text1 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$” $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$ Text1 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$” $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$ Text1 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$” $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$ Text1 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$” $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$ Text1 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$” $S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$ Text1 = “$S\left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right)$” f(x) Text2 = “f(x)” f(x) Text2 = “f(x)” f(x) Text2 = “f(x)” f(x) Text2 = “f(x)” g(x) Text3 = “g(x)” g(x) Text3 = “g(x)” g(x) Text3 = “g(x)” g(x) Text3 = “g(x)” a Text4 = “a” b Text5 = “b”


    Die Gültigkeit obiger Formeln - dass sich die Funktionen im Intervall [a,b] nicht schneiden dürfen - hat folgenden Hintergrund:

    • In die Berechnung vom Schwerpunkt geht die Berechnung der Fläche mit ein und für deren Berechnung gilt grundsätzlich "obere Funktion" minus "untere Funktion".
    • Wenn die Funktionen f(x) und g(x) einander aber schneiden, dann kehrt sich "oben" und "unten" für jede der beiden Funktionen ab dem Schnittpunkt um. Es liegt keine "einteilige Fläche" mehr vor. Das müsste bei der Flächen- und folglich bei der Schwerpunktberechnung gesondert berücksichtigt werden. In diesem Zusammenhang sei auf den Satz von Steiner hingewiesen, mit dessen Hilfe man das Flächenträgheitsmoment von zusammengesetzten Flächen berechnen kann.
    Bestimmtes Integral
    Schwerpunkt der Fläche zwischen 2 Graphen
    Schwerpunkt der Fläche zwischen Graph und x-Achse
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    Bestimmtes Integral - Rotationskörper

    Das bestimmte Integral ermöglicht es, die Mantelfläche und das Volumen von Rotationskörpern zu berechnen, die durch die Rotation einer Funktion um eine Koordinatenachse entstehen.


    Bestimmtes Integral - Mantelfläche eines Rotationskörpers

    Es sei y=f(x) eine über dem Intervall [a,b] stetige Funktion. Dann beträgt die Mantelfläche des Körpers, der durch Rotation der Funktion um die x-Achse entsteht Mx, bzw. sei die Mantelfläche bei Rotation der Funktion um die y-Achse My.

    Bei Rotation um die x-Achse:
    \({M_x} = 2\pi \int\limits_{x = a}^b {f\left( x \right) \cdot \sqrt {1 + {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}} \,\,dx = } 2\pi \int\limits_{x = a}^b {y \cdot \sqrt {1 + {{\left( {y'} \right)}^2}} \,\,dx}\)

    Bei Rotation um die y-Achse:
    \({M_y} = 2\pi \int\limits_{\min \left[ {f\left( a \right),f\left( b \right)} \right]}^{\max \left[ {f\left( 1 \right),f\left( b \right)} \right]} {x \cdot \sqrt {1 + {{\left( {x'} \right)}^2}} \,\,dy}\)


    Bestimmtes Integral - Volumen eines Rotationskörpers

    Es sei y=f(x) eine über dem Intervall [a,b] stetige Funktion. Dann ist das Volumen des Körpers, der durch Rotation der Funktion um die x-Achse entsteht Vx, bzw. das Volumen bei Rotation der Funktion um die y-Achse sei Vy.

    Bei Rotation um die x-Achse:
    \({V_x} = \pi \int\limits_{x = a}^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}\,\,dx = \pi \int\limits_a^b {{y^2}\,\,dx} }\)

    Bei Rotation um die y-Achse:
    \({V_y} = \pi \int\limits_{y = c}^d {{{\left[ {x \left( y \right)} \right]}^2}\,\,dy}\)
    Anmerkung: Da Funktionen üblicher Weise als y=f(x) gegeben sind, muss man in diesen Fällen die Funktionsgleichung so umformen, dass x2 explizit wird.

    Bestimmtes Integral
    Mantelfläche eines Rotationskörpers
    Volumen eines Rotationskörpers
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    • Probeschularbeiten: Lehrer können bei jeder Aufgabe einen Link kopieren, und durch simples "kopieren - einfügen" eine Probeschularbeit zusammenstellen und diese ihren Schülern elektronisch zum Selbststudium verfügbar machen.
    • Verständliche Erklärungen – schneller Lernerfolg – mehr Freizeit: Ehemalige Matura- bzw. Abiturbeispiele werden schriftlich vorgerechnet, damit Schüler den vollständigen Rechenweg 1:1 nachvollziehen können. Die ehemaligen Aufgaben sind sowohl chronologisch nach Prüfungstermin, als auch inhaltlich nach Lehrstoff sortiert, mittels anklickbarer Tags auffindbar.
    • Vernetzung von Lehrstoff und Rechenaufgaben über Tags: "Aufgaben passend zum Lernstoff" oder "Grundlagenwissen zur jeweiligen Aufgabe" sind mittels Tags leicht zu finden.
    • 1.000 Videos zum Rechenweg: Auch Dank der freundlichen Genehmigung des Bundesministeriums für Bildung, binden wir direkt in den Lösungsweg von Maturabeispielen, videobasierte Erklärungen ein.
    • 4.000 MINT-Fachbegriffe: Nutzer können gezielt nach Fachbegriffen suchen. Bei mehreren Treffern erfolgt die Auswahl über stichwortartige Zusammenfassungen.
    • 2.000 GeoGebra Illustrationen: Alle unsere rd. 2.000 selbst erstellten vektorbasierten Grafiken wurden mit GeoGebra erstellt. Zusätzlich verlinken wir auf anschauliche interaktive Illustrationen auf der GeoGebra Lernplattform.
    • Exzellent lesbare MINT-Inhalte: Die Inhalte sind vektorbasiert und daher auf allen Geräten, vom Smartphone bis zum XXL-Screen, gestochen scharf lesbar. Das gilt besonders für komplexe Formeln und anschauliche Illustrationen.
    • Wissenspfade: Zu jeder Lerneinheit werden gut strukturiert empfohlenes Vorwissen, verbreiterndes und vertiefendes Wissen angezeigt.
    • Umfassende Unterstützung: Maths2mind begleitet Schüler bis zum erfolgreichen Lehrabschluss mit Matura, dem Berufseinstieg nach Matura/Abitur und auch beim Studieneinstieg.
    • Soziale Mission: Als E-Learning Plattform mit sozialer Mission bietet maths2mind Chancen-Fairness durch genderneutralen Bildungszugang. Unabhängig von sozioökonomischem Umfeld, Wohnort, Einstellung oder Kulturkreis der Eltern, Sympathiewert des Lehrenden, finanzieller Schulausstattung oder Tagespolitik.
    • Kostenlose Fragen per E-Mail: Bei Unklarheiten können Fragen kostenlos per E-Mail gestellt werden.

    Maths2Mind.com ist somit eine umfassende Plattform, die nicht nur Wissen vermittelt, sondern auch auf individuelle Bedürfnisse eingeht und einen fairen Zugang zur Bildung ermöglicht.

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