Bestimmtes Integral
Das bestimmte Integral der Funktion f(x) zwischen den Grenzen [a,b], entspricht grafisch der Fläche unter der Funktion und über der x-Achse, sowie zwischen der oberen und der unteren Intervallgrenze.
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Stammfunktion F(x) zur Funktion f(x) auffinden
Eine Funktion F(x) heißt Stammfunktion der Funktion f(x), wenn für alle \(x \in {D_f}\) wie folgt gilt: \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\). Umgekehrt formuliert: Eine Funktion f(x) ist integrierbar, falls es eine „Stammfunktion“ gibt, sodass die Ableitung der Stammfunktion wieder die ursprüngliche Funktion ergibt. Das Aufsuchen der Stammfunktion F(x) für ein gegebenes f(x) heißt unbestimmtes Integrieren. Eine integrierbare Funktion hat unendlich viele (entlang der y-Achse parallel verschobene) Stammfunktionen, die sich nur durch die „Integrationskonstante c“ unterscheiden.
Unbestimmtes Integral F(x)
Die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion f(x) heißt das unbestimmte Integral F(x), C heißt Integrationskonstante. Sprich: „Integral f von x dx“. dx ist ein Operator, der anzeigt, nach welcher Variablen zu integrieren ist.
\(\int {f\left( x \right)} \,\,dx = F\left( x \right) + c{\text{ mit }}F' = f\)
Ist F(x) eine Stammfunktion von f(x), so sind auch die Funktionen F(x)+C ebenfalls Stammfunktionen von f(x). Zwei Stammfunktionen unterscheiden sich also nur durch eine additive Konstante C. Die Graphen aller Stammfunktionen gehen durch Parallelverschiebung längs der y-Achse ineinander über.
Bei der Integralrechnung sind die Begriffe Stammfunktion, Integrand, Integrationskonstante und Differential gebräuchlich.
\(\int {f\left( x \right)} \,\,dx = F\left( x \right) + C\)
F(x) |
Stammfunktion von f(x) |
f(x) | Integrand, das ist die gegebene Funktion, zu der die Stammfunktion gebildet werden soll. f(x) ist die Ableitung von F(x) |
c | Integrationskonstante, verschiebt die Stammfunktionen entlang der y-Achse |
dx | Differential, besagt nach welcher Variablen integriert wird |
a | ist das niedrigste Argument bzw. die untere Grenze, welches die Variable x annimmt |
b | ist das höchste Argument bzw. die obere Greneze, welches die Variable x annimmt |
Zusammenhang Stammfunktion F(x), Funktion f(x) und Ableitungsfunktion f'(x)
Die nachfolgende Illustration veranschaulicht den Zusammenhang zwischen Stammfunktion, Funktion und Ableitungsfunktion jeweils für die Differential- und die Integralrechnung
Integriert man die Funktion y=f(x) nach x, so erhält man deren Stammfunktion F(x). Differenziert man die Stammfunktion F(x) so erhält man wieder die Funktion y=f(x).
\(\int {f\left( x \right)} \,\,dx = F\left( x \right) + c\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,F'(x) = f(x)\)
Differenziert man die Funktion y=f(x) so erhält man deren 1. Ableitung y‘(x). Integriert man die 1. Ableitung y‘(x) so erhält man wieder y=f(x).
\(\int {y'\left( x \right)} \,\,dx = f\left( x \right) + c\)
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung auch der Fundamentalsatz der Analysis liefert
- den Zusammenhang zwischen der Differential- und der Integralrechnung
- besagt mit der Formel von Newton und Leibnitz wie das bestimmte Integral aus dem unbestimmten Integral hervorgeht.
- Wenn man die Funktion f(x) integriert, erhält man die Stammfunktion F(x) und wenn man die Stammfunktion F(x) differenziert, erhält man die Funktion f(x). Wenn die Funktion f(x) im Intervall [a,b] stetig ist, so ist ihre Stammfunktionfunktion F(x) an jeder Stelle x∈[a,b] differenzierbar und es gilt: F‘(x)=f(x).
\(F\left( x \right) = \int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx}\)
- Das bestimmte Integral einer stetigen Funktion f(x) kann berechnet werden, indem man die Differenz der oberen - und der unteren Grenze der Stammfunktion F(x) bildet. Man nennt diesen Zusammenhang die Formel von Newton und Leibnitz.
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = \left. {\left[ {F\left( x \right)} \right]} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)
Geometrische Interpretation vom Integral
- Beim unbestimmten Integral erfolgt das Aufsuchen der Stammfunktion F(x) für ein gegebenes f(x). Die Stammfunktion F(x) gibt ganz allgemein die Gleichung für die Fläche zwischen der zugehörigen Funktion f(x) und der x-Achse an.
- Beim bestimmten Integral wird nicht nur die Gleichung der Fläche, sondern tatsächlich der Zahlenwert der Fläche bestimmt und zwar zwischen einer konkreten unteren und einer konkreten oberen Grenze.
Um Missverständnisse zu vermeiden: Beim bestimmten Integral wird "die Fläche" unter der Funktion bestimmt. Es muss sich dabei aber nicht unbedingt um eine Fläche im geometrischen Sinn von Länge mal Breite handeln. Wenn die Funktion etwa die den zeitlichen Verlauf einer Leistung P(t) entspricht, dann entspricht die "Fläche" unter der Funktion einer elektrischen Arbeit gemäß \(W = \int\limits_0^t {P\,\,dt} \) im Zeitraum 0 bis t
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Rechenregeln für bestimmte Integrale
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx = F\left( x \right)\left| {_a^b} \right. = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)
Integral bei einer Intervalllänge gleich Null
\(\eqalign{ & \int\limits_a^a {f\left( x \right)\,\,dx = 0} \cr}\)
Vertauschen der Integrationsgrenzen
Beim Integrieren kehrt sich das Vorzeichen durch das Vertauschen der Integrationsgrenzen um
\(\int\limits_b^a {f\left( x \right)\,\,dx = - \int\limits_a^b {f\left( x \right)} } \,\,dx\)
Kombination benachbarter Intervalle
Beim Integrieren kann man benachbarte Intervalle zu einem Intervall zusammenfassen
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx + \int\limits_b^c {f\left( x \right)\,\,dx = \int\limits_a^c {f\left( x \right)\,\,dx} } } \)
Kriterium für Integrierbarkeit
Das Kriterium für Integrierbarkeit ist, dass die Funktion im Intervallbereich [a,b] monoton oder stetig oder zumindest stückweise stetig ist (d.h. nur endlich viele Unstetigkeitsstellen besitzt).
Anwendungen der Integralrechnung
Die Integralrechnung ist aus dem Wunsch nach der Berechnung von Flächen entstanden, die über die Flächen einfacher geometrischer Figuren mit simplen Formen hinausgehen.
- Figuren, die durch Gerade oder Kreise begrenzt werden
Für geometrische Figuren wie Dreiecke, Vielecke oder Kreise gibt es feste Formeln für die Berechnung von Umfang oder Fläche. Auch für die Oberfläche oder das Volumen von geometrischen Körpern wie Quader, Zylinder, Pyramide oder Kugel gibt es feste Formeln. - Figuren, die durch eine Funktion begrenzt werden
Bei Flächen, die von krummlinigen Kurven, also durch Funktionen f(x) begrenzt werden, kann man die Fläche leider nicht so einfach wie beim Rechteck, mit „Länge mal Breite“ berechnen. Durch die Integralrechnung wird die Berechnung von Bogenlängen, Flächen oder Volumina von Figuren und Körpern ermöglicht, deren Begrenzungslinien allgemeine Funktionen f(x) sind.
Illustration: links die Fläche unter der Funktion f(x)=x² rechts daneben die zusammengesetzte geometrische Figur bestehend aus einem Rechteck und einem Dreieck
Produktsumme zur näherungsweisen Berechnung von Flächen
Man zerlegt geometrisch die von den Funktionen begrenzte Fläche in viele schmale parallele Streifen. Summiert man die einzelnen Flächen als das Produkt aus der „Breite vom Streifen“ mal der „Höhe vom Streifen“ über alle Streifen auf, so erhält man eine Näherung für den gesuchten Flächeninhalt.
Praktisch kann man die Streifen nach verschiedenen Kriterien auswählen: Als „Obersumme“ , als „Untersumme“, als „Mittelsumme“, als "Linkssumme“ oder als „Rechtssumme“ oder als "Trapezsumme".
Eingrenzung der exakten Fläche durch „Untersumme“ und „Obersumme“
Teilt man das Intervall \(\left[ {a;b} \right]\) in n Teile der gleichen Breite \(\Delta x = {{b - a} \over n}\), so erhält man die Untersumme als die Summe aller Rechteckstreifen unterhalb der Kurve und die Obersumme als die Summe aller Rechteckstreifen oberhalb der Kurve. Die "exakte Fläche" A, die dem bestimmten Integral entspricht, liegt für \(n \to \infty\) genau zwischen Ober- und Untersumme.
\({U_n} = \left[ {f\left( {{x_0}} \right) + f\left( {{x_1}} \right) + ... + f\left( {{x_{n - 1}}} \right)} \right] \cdot \Delta x \le A \le {O_n} = \left[ {f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right) + ... + f\left( {{x_n}} \right)} \right] \cdot \Delta x\)
für \(n \to \infty\)
\({U_n} = \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {f\left( {{x_i}} \right) \cdot \Delta x \le A \le {O_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {{x_i}} \right) \cdot \Delta x} }\)
Obersumme
Bei der Obersumme wählt man den größten Funktionswert des betrachteten Teilintervalls als höchsten Punkt des jeweiligen Rechtecks.
Untersumme
Bei der Untersumme wählt man den niedersten Funktionswert des betrachteten Teilintervalls als höchsten Punkt des jeweiligen Rechtecks.
Wenn der Grenzwert der Untersummen gleich groß ist wie der Grenzwert der Obersummen aller Rechteckstreifen, dann ist dieser Grenzwert zugleich der Wert des bestimmten Integrals.
\({U_n} = {O_n} = \int\limits_a^b {f\left( {x\,\,dx} \right)} = A\)
Exakte Fläche durch Integration
Die "exakte Fläche" A, die dem bestimmten Integral entspricht, liegt für \(n \to \infty\) zwischen Ober- und Untersumme bzw. zwischen Links- und Rechtssumme. Die Genauigkeit der Näherung hängt nur von der Breite der Streifen ab. Je schmaler die Streifen, umso besser die Näherung des Flächeninhalts.
Eingrenzung der exakten Fläche durch „Linkssumme“, Mittelsumme" und „Rechtssumme“
Bei Funktionen deren Monotonie sich ändert (steigend, fallend) verwendet man statt der Ober- und Untersummen die Links- und die Rechtssummen.
Linkssumme
Bei der Linkssumme liegt für jedes Teilintervall der linke obere Punkt des Rechtecks auf dem Graphen der Funktion.
Mittelsumme
Bei der Mittelsumme liegt für jedes Teilintervall jeweils der Halbierungspunkt der oberen Seite des Rechtecks auf dem Graphen der Funktion.
Rechtssumme
Bei der Rechtssumme liegt für jedes Teilintervall jeweils der rechte ober Punkt des Rechtecks auf dem Graphen der Funktion.
Exakte Fläche durch Integration
Die "exakte Fläche" A, die dem bestimmten Integral entspricht, liegt für \(n \to \infty\) zwischen Ober- und Untersumme bzw. zwischen Links- und Rechtssumme. Die Genauigkeit der Näherung hängt nur von der Breite der Streifen ab. Je schmaler die Streifen, umso besser die Näherung des Flächeninhalts.
Annäherung der exakten Fläche durch "Trapezsumme"
Die Genauigkeit der Näherung hängt nur von der Breite der Streifen ab. Je schmaler die Streifen, umso besser die Näherung des Flächeninhalts. Bei der Trapezsumme liegt für jedes Teilintervall jeweils der rechte und der linke obere Punkt des Rechtecks auf dem Graphen der Funktion. Da die Punkte, (außer im Bereich eines konstanten Verlaufs) unterschiedlich hoch liegen, wird die Fläche unter der Funktion durch ein Trapez sehr genau angenähert.
Trapezsumme mit 6 Trapezen
Trapezsumme mit 12 Trapezen
Riemann Summe
Zerlegt man die von einer Funktionen begrenzte Fläche in viele schmale parallele Streifen und summiert man das Produkt aus der „Breite vom Streifen“ mal der „Höhe vom Streifen“ über alle Streifen auf, so erhält man eine Näherung für den gesuchten Flächeninhalt. Macht man die Rechteckstreifen immer schmäler - also tendenziell unendlich schmal - so nähert sich die Summe der Flächeninhalte beliebig genau dem tatsächlichen Flächeninhalt an. Man nennt dies die Riemann Summe.
Zusammenhang zwischen der Riemann-Summe und dem bestimmten Integral
Ist f(x) eine stetige Funktion im Intervall \(\left[ {a;b} \right]\), dann ist das bestimmte Integral \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx\) gleich dem Grenzwert („Limes“) der Riemann-Summe für
- unendlich viele (\(n \to \infty \)) und gleichbedeutend mit
- unendlich schmalen xi Rechteckstreifen.
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx = \mathop {\lim }\limits_{\Delta {x_i} \to 0} } \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {{x_i}} \right)} \cdot \Delta {x_i} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {{x_i}} \right)} \cdot \Delta {x_i}\)
Integrationsgrenzen beim bestimmten Integral
Die Integrationsgrenzen geben an, für welches Intervall einer stetigen Funktion die Fläche berechnet werden soll. Die linke und die rechte Grenze vom Intervall, also die Werte „a“ und „b“ nennt man die Integrationsgrenzen, weil „…von „a“ nach „b“ integriert wird…“
Vertauscht man die Integrationsgrenzen beim bestimmten Integral, so wechselt das Vorzeichen
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx = - \int\limits_b^a {f\left( x \right)} \,\,dx\)
Unterschied bestimmtes und unbestimmtes Integral
Beim bestimmten Integral sind die Integrationsgrenzen angegeben beim unbestimmten Integral hingegen nicht.
- Beim bestimmten Integral erhält man als Resultat einen konkreten Zahlenwert (ohne physikalischer Einheit), der der Fläche unter dem Graphen zwischen der unteren Grenze „a“ und der oberen Grenze „b“ entspricht.
\(A = \int\limits_{x = a}^{x = b} {f\left( x \right)} \,\,dx = \left[ {F\left( x \right)} \right]_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)
- Beim unbestimmten Integral erhält man als Resultat die, bis auf die additive „Integrationskonstante c“ eindeutige Stammfunktion F(x). Es gibt also zu jeder Funktion unendlich viele Stammfunktionen, deren Graph durch die Wahl von „c“ lediglich entlang der y-Achse (nach oben oder unten) parallel verschoben wird.
\(\int {f\left( x \right)} \,\,dx = F\left( x \right) + c\)
Zusammenhang Stammfunktion und bestimmtes Integral
Setzt man in die Stammfunktion für die obere und die untere Grenze konkrete Werte ein, dann erhält man als Resultat das bestimmte Integral. Es ist als Differenz „obere minus untere Grenze“ ein konkreten Zahlenwert, der wiederum der Fläche unter dem Graphen zwischen der unteren Grenze „x=a“ und der oberen Grenze „x=b“ entspricht.
\(A = \int\limits_{x = a}^{x = b} {f\left( x \right)} \,\,dx = \left[ {F\left( x \right)} \right]_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)
Geometrische Erklärung für das bestimmte Integral
Das bestimmte Integral ist ein dimensionsloser Zahlenwert, der der Fläche entspricht, die
- oben oder unten vom Graphen f(x)
- unten oder oben von der x-Achse
- links von der „unteren“ Grenze, gemäß der Geraden x=a
- rechts von der „oberen Grenze, gemäß der Geraden x=b
begrenzt wird.
Unterschied zwischen Flächeninhaltsfunktion und Stammfunktion
Flächeninhaltsfunktion
Die Flächeninhaltsfunktion F(b) ist das bestimmte Integral mit fester unterer Grenze "a" aber variabler oberer Grenze "b". Die Fläche A=F(b) ist also eine Funktion der oberen Grenze „b“.
\(F\left( b \right) = \int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx\)
Stammfunktion
Die Stammfunktion F(x) ist jene Funktion, deren Ableitung die Funktion f(x) ergibt.
\(F'(x) = f(x)\)
Orientierte Fläche
Das bestimmte Integral liefert eine „orientierte Fläche“. D.h.: Bei der Ermittlung der Fläche gehen jene Teilflächen die unter der x-Achse liegen mit einem negativen Vorzeichen in den Flächeninhalt ein und jene Teilflächen die oberhalb der x-Achse liegen gehen mit positiven Vorzeichen ein.
- Das bestimmte Integral ist nur für Funktionen die ausschließlich über der x-Achse liegen, gleich dem Flächeninhalt unter dem Graphen und über der x-Achse. Bedenke: Funktionen die ausschließlich über der x-Achse liegen, haben keine Nullstellen, allenfalls haben sie die x-Achse als Tangente an einen Wendepunkt für den y=0 gilt.
- Bei Funktionen die negativ werden, gehen Flächen oberhalb der x-Achse positiv in die Summe ein. Flächen unterhalb der x-Achse gehen negativ in die Summe ein. Man spricht hier von negativ orientierten Flächen.
Bedeutung vom Differential dx
Das sogenannte „Differential“ z.B.: „dx“ gibt an, über welche Variable - bei „dx“ nach der „x“-Variablen - integriert werden soll. Würde das Differential "dt" lauten, so würde nach der "t"-Variablen abgeleitet werden. Kommen noch andere Variablen vor, so werden diese so behandelt, als wären sie keine Variablen sondern Konstante!
Im nachfolgendem Beispiel ist „x“ die Variable und „t“ wird wie eine Konstante behandelt. Das kannst du genau erkennen: f(x), F(x) und dx
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = 2x + 2t \cr & F\left( x \right) = \int {\left( {2x + 2t} \right)\,\,dx} = \int {2x\,\,dx} + \int {2t\,\,dx} = 2{{{x^2}} \over 2} + 2t \cdot x + c = {x^2} + 2tx + c \cr}\)
Im nachfolgendem Beispiel ist „t“ die Variable und „x“ wird wie eine Konstante behandelt. Das kannst du genau erkennen: f(t), F(t) und dt
\(\eqalign{ & f\left( t \right) = 2x + 2t \cr & F\left( t \right) = \int {\left( {2x + 2t} \right)\,\,dt} = \int {2x\,\,dt} + \int {2t\,\,dt} = 2x \cdot t + 2{{{t^2}} \over 2} + c = 2xt + {t^2} + c \cr} \)
Mehrfach Integrale - wenn über mehr als eine Variable integriert wird
Beim einfachsten Mehrfach-Integral, dem „Doppelintegral“ etwa wird zuerst das „innere Integral“ gemäß dem „inneren Differential“ mit variablen Grenzen und dann das „äußere Integral“ gemäß dem „äußeren Differential“ mit konstanten Integrationsgrenzen berechnet. Als Resultat erhält man einen konkreten Zahlenwert (ohne physikalische Einheit), der dem Rauminhalt eines zylindrischen Körpers entspricht, welcher über der Fläche A liegt und den zur z-Achse parallelen Mantellinien begrenzt wird.
\(\int\limits_A^{} {f\left( {x,y} \right)\,\,dA = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {\int\limits_{{y_1}\left( x \right)}^{{y_2}\left( x \right)} {f\left( {x,y} \right)\,\,dy} } \right)} } \,\,dx = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\int\limits_{{y_1}\left( x \right)}^{{y_2}\left( x \right)} {f\left( {x,y} \right)} } \,\,dy\,\,dx\)
Am Beispiel eines unbestimmten Integrals:
1. Es wird zuerst nach "x" und dann nach "t" integriert
\(\eqalign{ & f\left( {x,t} \right) = 2x + 2t \cr & \int\!\!\!\int {\left( {2x + 2t} \right)} \,\,dx\,\,dt = \int {\left[ {\int {2x\,\,dx + \int {2t\,\,dx} } } \right]} \,\,dt = \cr & = \int {\left[ {{x^2} + 2tx} \right]} \,\,dt = \int {{x^2}\,\,dt} + \int {2tx\,\,dt} = \cr & = {x^2}t + {t^2}x \cr}\)
2. Es wird zuerst nach "t" und dann nach "x" integriert
\(\eqalign{ & f\left( {x,t} \right) = 2x + 2t \cr & \int\!\!\!\int {\left( {2x + 2t} \right)} \,\,dx\,\,dt = \int {\left[ {\int {2x\,\,dt + \int {2t\,\,dt} } } \right]} \,\,{\mathop{\rm dx}\nolimits} = \cr & = \int {\left[ {2xt + {t^2}} \right]} \,\,{\mathop{\rm dx}\nolimits} = \int {2xt\,\,{\mathop{\rm dx}\nolimits} } + \int {{t^2}\,\,{\mathop{\rm dx}\nolimits} } = \cr & = {x^2}t + {t^2}x \cr}\)
Bestimmtes Integral - Flächeninhalte
Das bestimmte Integral ermöglicht es, Flächen zu berechnen, die von einem oder mehreren Funktionsgraphen und/oder einer Koordinatenachse begrenzt werden.
Bestimmtes Integral - Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse
Der Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse von stetigen positiven Funktionen f(x), ist mit Hilfe der zugehörigen Stammfunktion berechenbar.
\(A = \int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx} = F\left( x \right)\left| {_a^b} \right. = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)
Ist in einem betrachteten Intervall f(x) < 0, so ergibt sich ein negativer Wert für den Flächeninhalt. Die zugehörige Fläche wird als „negativ orientiert“ bezeichnet.
Bestimmtes Integral - Flächeninhalt zwischen 2 einander nicht schneidender Graphen
Der Flächeninhalt zwischen 2 Graphen, die sich im Intervall [a,b] nicht schneiden, kann aus der Differenz der jeweiligen Flächeninhalte zwischen dem zugehörigem Graphen und der x-Achse berechnet werden. Dabei gilt grundsätzlich "obere Funktion" minus "untere Funktion"
\(A = \int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx - \int\limits_a^b {g\left( x \right)\,\,dx = } } \int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]\,\,dx} \)
Der Flächeninhalt zwischen 2 Graphen, die sich im Intervall [a,b] an der Stelle x1 schneiden
- Am einfachsten zu merken ist die 1. Art:
- An der Schnittstelle x1 der beiden Graphen sind die Integrale zu teilen.
- Es gilt grundsätzlich "obere minus untere" Funktion
- Bei der 2. und 3. Art ist zu bedenken, dass in diesem Fall das rechte bestimmte Integral eine negativ Fläche ausweist. Das Vorzeichen dieser negativen Fläche kann auf 2 Arten umgekehrt werden:
- durch ein "minus" oder
- durch den "Betrag"
Anmerkung:
- a, x1 und b sind dabei z.B. die 3 Schittpunkte der beiden Funktionen f(x) und g(x). Damit man das bestimmte Integral berechnen kann, muss man die Schnittpunkte durch Gleichsetzen der beiden Funktionen f(x)=g(x) ermitteln.
- Während a und b auch von Schnittpunkten abweichende Integrationsgrenzen sein können, ist bei einander schneidenden Funktionen x1 auf jeden Fall ein Schnittpunkt.
\(\eqalign{ & A = \int\limits_a^{{x_1}} {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]\,\,dx + \int\limits_{{x_1}}^b {\left[ {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]} } \,\,dx = \cr & A = \int\limits_a^{{x_1}} {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,\,dx - \int\limits_{{x_1}}^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,\,dx = \cr & A = \left| {\int\limits_a^{{x_1}} {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,\,dx} \right| + \left| {\int\limits_{{x_1}}^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,\,dx} \right| \cr} \)
Bestimmtes Integral - Schwertpunkt von Flächen
Das bestimmte Integral ermöglicht es, den Schwerpunkt von Flächen zu berechnen, die von einem oder mehreren Funktionsgraphen und/oder einer Koordinantenachse begrenzt werden.
Bestimmtes Integral - Schwerpunkt der Fläche zwischen Graph und x-Achse
Die x- und y-Koodinaten vom Schwerpunkt einer Fläche, zwischen Graph und x-Achse einerseits und einer unteren und einer oberen Grenze andererseits, können mit Hilfe der Integralrechnung berechnet werden.
\(\eqalign{ & {S_x} = \dfrac{{\int\limits_a^b {x \cdot f\left( x \right)\,\,dx} }}{{\int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx} }} = \dfrac{{\int\limits_a^b {x \cdot y\,\,dx} }}{{\int\limits_a^b {y\,\,dx} }} \cr & {S_y} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{\int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}\,\,dx} }}{{\int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx} }} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\int\limits_a^b {{y^2}\,\,dx} }}{{\int\limits_a^b {y\,\,dx} }} \cr}\)
Bestimmtes Integral - Schwerpunkt der Fläche zwischen 2 Graphen, die sich im Intervall [a,b] nicht schneiden
Die x- und y-Koordinaten vom Schwerpunkt einer Fläche, zwischen zwei Graphen f(x) und g(x) einerseits und einer unteren und einer oberen Grenze andererseits, können mit Hilfe der Integralrechnung berechnet werden.
\(\eqalign{ & {S_x} = \dfrac{{\int\limits_a^b {x \cdot \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]\,\,dx} }}{{\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]\,\,dx} }} \cr & {S_y} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{\int\limits_a^b {\left[ {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right]} \,\,dx}}{{\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]\,\,dx} }} \cr}\)
Die Integrationsgrenzen a, b selbst dürfen natürlich mit einem oder beiden Schnittpunkten der Funktionen f(x) und g(x) zusammenfallen.
Die Gültigkeit obiger Formeln - dass sich die Funktionen im Intervall [a,b] nicht schneiden dürfen - hat folgenden Hintergrund:
- In die Berechnung vom Schwerpunkt geht die Berechnung der Fläche mit ein und für deren Berechnung gilt grundsätzlich "obere Funktion" minus "untere Funktion".
- Wenn die Funktionen f(x) und g(x) einander aber schneiden, dann kehrt sich "oben" und "unten" für jede der beiden Funktionen ab dem Schnittpunkt um. Es liegt keine "einteilige Fläche" mehr vor. Das müsste bei der Flächen- und folglich bei der Schwerpunktberechnung gesondert berücksichtigt werden. In diesem Zusammenhang sei auf den Satz von Steiner hingewiesen, mit dessen Hilfe man das Flächenträgheitsmoment von zusammengesetzten Flächen berechnen kann.
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Bestimmtes Integral - Rotationskörper
Das bestimmte Integral ermöglicht es, die Mantelfläche und das Volumen von Rotationskörpern zu berechnen, die durch die Rotation einer Funktion um eine Koordinatenachse entstehen.
Bestimmtes Integral - Mantelfläche eines Rotationskörpers
Es sei y=f(x) eine über dem Intervall [a,b] stetige Funktion. Dann beträgt die Mantelfläche des Körpers, der durch Rotation der Funktion um die x-Achse entsteht Mx, bzw. sei die Mantelfläche bei Rotation der Funktion um die y-Achse My.
Bei Rotation um die x-Achse:
\({M_x} = 2\pi \int\limits_{x = a}^b {f\left( x \right) \cdot \sqrt {1 + {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}} \,\,dx = } 2\pi \int\limits_{x = a}^b {y \cdot \sqrt {1 + {{\left( {y'} \right)}^2}} \,\,dx}\)
Bei Rotation um die y-Achse:
\({M_y} = 2\pi \int\limits_{\min \left[ {f\left( a \right),f\left( b \right)} \right]}^{\max \left[ {f\left( 1 \right),f\left( b \right)} \right]} {x \cdot \sqrt {1 + {{\left( {x'} \right)}^2}} \,\,dy}\)
Bestimmtes Integral - Volumen eines Rotationskörpers
Es sei y=f(x) eine über dem Intervall [a,b] stetige Funktion. Dann ist das Volumen des Körpers, der durch Rotation der Funktion um die x-Achse entsteht Vx, bzw. das Volumen bei Rotation der Funktion um die y-Achse sei Vy.
Bei Rotation um die x-Achse:
\({V_x} = \pi \int\limits_{x = a}^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}\,\,dx = \pi \int\limits_a^b {{y^2}\,\,dx} }\)
Bei Rotation um die y-Achse:
\({V_y} = \pi \int\limits_{y = c}^d {{{\left[ {x \left( y \right)} \right]}^2}\,\,dy}\)
Anmerkung: Da Funktionen üblicher Weise als y=f(x) gegeben sind, muss man in diesen Fällen die Funktionsgleichung so umformen, dass x2 explizit wird.
Aufgaben
Aufgabe 1170
AHS - 1_170 & Lehrstoff: AN 4.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Stahlfeder
Um eine Stahlfeder aus der Ruhelage x0 = 0 um x cm zu dehnen, ist die Kraft F(x) erforderlich.
Aufgabenstellung:
Geben Sie an, was in diesem Kontext mit dem Ausdruck \(\int\limits_0^8 {F\left( x \right)} \) berechnet wird!
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Aufgabe 6001
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Graph und Funktionsgleichung ganzrationaler Funktionen
Gegeben sind die in \({\Bbb R}\) definierten Funktionen f, g und h mit
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {x^2} - x + 1 \cr & g\left( x \right) = {x^3} - x + 1 \cr & h\left( x \right) = {x^4} + {x^2} + 1 \cr} \)
Die unten stehende Abbildung zeigt den Graphen einer der drei Funktionen.
1. Teilaufgabe a.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Geben Sie an, um welche Funktion es sich handelt.
2. Teilaufgabe a.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Begründen Sie, dass der Graph die anderen beiden Funktionen nicht darstellt.
Die erste Ableitungsfunktion von h ist h‘.
3. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Bestimmen Sie den Wert von \(\int\limits_0^1 {h'\left( x \right)\,\,dx} \).
Aufgabe 6020
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
In einem Labor wird ein Verfahren zur Reinigung von mit Schadstoffen kontaminiertem Wasser getestet. Die Funktion
\(h:x \mapsto \dfrac{3}{{{e^{x + 1}} - 1}}{\text{ mit }}{D_h} = \left] { - 1; + \infty } \right[\)
beschreibt für \(x \geqslant 0\) modellhaft die zeitliche Entwicklung des momentanen Schadstoffabbaus in einer bestimmten Wassermenge. Dabei bezeichnet h(x) die momentane Schadstoffabbaurate in Gramm pro Minute und x die seit Beginn des Reinigungsvorgangs vergangene Zeit in Minuten.
1. Teilaufgabe a) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells den Zeitpunkt x, zu dem die momentane Schadstoffabbaurate auf 0,01 Gramm pro Minute zurückgegangen ist.
Die in \({\Bbb R}\backslash \left\{ { - 3;1} \right\}\) definierte Funktion
\(k:x \mapsto 3 \cdot \left( {\dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 3}}} \right) - 0,2\)
stellt im Bereich \( - 0,5 \leqslant x \leqslant 2\) eine gute Näherung für die Funktion h dar.
2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Beschreiben Sie, wie der Graph der Funktion k aus dem Graphen der Funktion \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 3}}{\text{ mit }}{D_f} = {\Bbb R}\backslash \left\{ { - 3; - 1} \right\}\) hervorgeht.
3. Teilaufgabe c.1) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Berechnen Sie einen Näherungswert für \(\int\limits_0^1 {h\left( x \right)} \,\,dx\), indem Sie den Zusammenhang \(\int\limits_0^1 {h\left( x \right)} \,\,dx \approx \int\limits_0^1 {k\left( x \right)} \,\,dx\) verwenden.
4. Teilaufgabe c.2) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Geben Sie die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an.
Aufgabe 1428
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21.September 2015 - Teil-1-Aufgaben - 18. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Durchflussrate
In einem Wasserrohr wird durch einen Sensor die Durchflussrate (= Durchflussmenge pro Zeiteinheit) gemessen. Die Funktion D ordnet jedem Zeitpunkt t die Durchflussrate D(t) zu. Dabei wird t in Minuten und D(t) in Litern pro Minute angegeben.
Aufgabenstellung:
Geben Sie die Bedeutung der Zahl \(\int\limits_{60}^{120} {D\left( t \right)} \,\,dt\) im vorliegenden Kontext an!
Aufgabe 4031
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Leistungsdiagnostik im Sport - Aufgabe B_417
Teil b
Nach Beginn einer körperlichen Belastung beim Sport (Arbeitsphase) passt sich das Atmungssystem nur verzögert dem erhöhten Sauerstoffbedarf an. Erst nach einigen Minuten wird eine ausreichende Versorgung erreicht. Bis dahin kommt es zu einem Sauerstoffdefizit.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Stellen Sie eine Formel auf, mit der man das Sauerstoffdefizit D die mit durchgängiger Begrenzung eingerahmte Fläche in obiger Skizze) berechnen kann, wenn eine Gleichung der Funktion s bekannt ist.
D =
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Geben Sie die Einheit von D an.
[1 Punkt]
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Aufgabe 4234
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 16. Jänner 2018 - Teil-A Aufgabe
Quelle: Distance-Learning-Check vom 15. April 2020 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Der Genfer See - Aufgabe A_222
Teil b
Der Genfer See wird durch mehrere Flüsse gespeist. Der Wasserstand des Sees wird beim Abfluss reguliert. Die nachstehende Grafik zeigt den Verlauf der Durchflussrate des Wassers beim Abfluss innerhalb von 48 Stunden.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Beschreiben Sie unter Angabe der entsprechenden Einheit, was mit dem Ausdruck \(\int\limits_0^{48} {f\left( t \right)} \,\,dt\) im gegebenen Sachzusammenhang berechnet wird.
[1 Punkt]
Die Funktion F ist eine Stammfunktion der in der obigen Grafik dargestellten Funktion f.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
- Aussage 1: F hat die Stelle mit dem größten Anstieg im Intervall [14; 18].
- Aussage 2: F hat eine Maximumstelle im Intervall [26; 30].
- Aussage 3: F ist monoton fallend im Intervall [32; 44].
- Aussage 4: F ist monoton steigend im Intervall [4; 26].
- Aussage 5: F ist im Intervall [0; 16] positiv gekrümmt (linksgekrümmt).
[1 Punkt]
Aufgabe 4082
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Flussläufe und Pegelstände -Aufgabe A_266
Teil b
Auf einem annähernd geradlinig verlaufenden Abschnitt eines Flusses soll das Flussbett verbreitert und vertieft werden. In der nachstehenden Abbildung ist das Flussbett im Querschnitt dargestellt.
mit
f | Profillinie des ursprünglichen Flussbetts |
h | Profillinie des neuen Flussbetts |
f und h sind Polynomfunktionen 2. Grades mit zur y-Achse symmetrischen Graphen.
Ein Teilstuck des Flussbetts mit der Lange L (in m) wird ausgebaggert.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Interpretieren Sie unter Angabe der entsprechenden Einheit, was mit dem folgenden Ausdruck im gegebenen Sachzusammenhang berechnet wird:
\(2 \cdot \left| {\int\limits_0^{17,5} {h\left( x \right)\,\,dx - \int\limits_0^{15} {f\left( x \right)\,\,dx} } } \right| \cdot L\)
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie mithilfe der obigen Abbildung eine Gleichung der Funktion h.
[1 Punkt]
Aufgabe 1113
AHS - 1_113 & Lehrstoff: AN 4.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Aussagen über bestimmte Integrale
Die stetige reelle Funktion f mit dem abgebildeten Graphen hat Nullstellen bei \({x_1} = 1;\,\,\,\,\,{x_2} = 3;\,\,\,\,\,{x_3} = 6;\)
- Aussage 1: \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)\,\,dx < 2} \)
- Aussage 2: \(\int\limits_1^6 {f\left( x \right)\,\,dx < 0}\)
- Aussage 3: \(\left| {\int\limits_3^6 {f\left( x \right)\,\,dx} } \right| < 6\)
- Aussage 4: \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)\,\,dx + \int\limits_3^6 {f\left( x \right)\,\,dx > 0} } \)
- Aussage 5: \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)} \,\,dx > 0\) und \(\int\limits_3^6 {f\left( x \right)\,\,dx < 0}\)
Aufgabenstellung:
Welche der folgenden Aussagen ist/sind zutreffend? Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!
Aufgabe 1501
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2016 - Teil-1-Aufgaben - 17. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Integral
Gegeben ist das bestimmte Integral \(I = \int\limits_0^a {\left( {25 \cdot {x^2} + 3} \right)} \,\,dx\) mit \(a \in {{\Bbb R}^ + }\)
- Aussage 1: \(25 \cdot \int\limits_0^a {{x^2}\,\,dx + \int\limits_0^a {3\,\,dx} }\)
- Aussage 2: \(\int\limits_0^a {25\,\,dx \cdot \int\limits_0^a {{x^2}\,\,dx} + \int\limits_0^a {3\,\,dx} } \)
- Aussage 3: \(\int\limits_0^a {25 \cdot {x^2}\,\,dx + 3} \)
- Aussage 4: \(\dfrac{{25 \cdot {a^3}}}{3} + 3 \cdot a\)
- Aussage 5: \(50 \cdot a\)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Ausdrücke an, die für alle a > 0 denselben Wert wie I haben!
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Aufgabe 4201
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 14. Jänner 2020 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Baumhaus - Aufgabe A_116
Teil b
Die Fenster des Baumhauses sollen eine spezielle Form haben (siehe grau markierte Flache in der nachstehenden Abbildung).
Die obere Begrenzungslinie des Fensters kann näherungsweise durch den Graphen der Funktion f beschrieben werden.
\(f\left( x \right) = - 0,003 \cdot {x^3} + 0,164 \cdot {x^2} - 2,25 \cdot x + 40{\text{ mit }}0 \leqslant x \leqslant 40\)
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20
Berechnen Sie, um wie viel Prozent die Fensterfläche in der dargestellten Form kleiner als die Fensterfläche eines quadratischen Fensters mit der Seitenlange 40 cm ist.
[2 Punkte]
Aufgabe 1476
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 18. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Integral
Gegeben ist die Potenzfunktion f mit \(f\left( x \right) = {x^3}\)
Aufgabenstellung:
Geben Sie eine Bedingung für die Integrationsgrenzen b und c (b ≠ c) so an, dass \(\int\limits_b^c {f\left( x \right)} \,\,dx = 0\) gilt!
Aufgabe 1452
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 18. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wasserversorgung
Wasser fließt durch eine Wasserleitung, wobei v(t) die Geschwindigkeit des Wassers zum Zeitpunkt t ist. Die Geschwindigkeit v(t) wird in m/s, die Zeit t in s gemessen, der Inhalt der Querschnittsfläche Q des Rohres wird in m2 gemessen. Im nachstehenden Diagramm ist die Abhängigkeit der Geschwindigkeit v(t) von der Zeit t dargestellt.
Aufgabenstellung:
Geben Sie an, welche Größe durch den Ausdruck \(Q \cdot \int\limits_{10}^{40} {v\left( t \right)} \,\,dt\) diesem Zusammenhang berechnet werden kann!