Aufgabe 1501
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2016 - Teil-1-Aufgaben - 17. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Integral
Gegeben ist das bestimmte Integral \(I = \int\limits_0^a {\left( {25 \cdot {x^2} + 3} \right)} \,\,dx\) mit \(a \in {{\Bbb R}^ + }\)
- Aussage 1: \(25 \cdot \int\limits_0^a {{x^2}\,\,dx + \int\limits_0^a {3\,\,dx} }\)
- Aussage 2: \(\int\limits_0^a {25\,\,dx \cdot \int\limits_0^a {{x^2}\,\,dx} + \int\limits_0^a {3\,\,dx} } \)
- Aussage 3: \(\int\limits_0^a {25 \cdot {x^2}\,\,dx + 3} \)
- Aussage 4: \(\dfrac{{25 \cdot {a^3}}}{3} + 3 \cdot a\)
- Aussage 5: \(50 \cdot a\)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Ausdrücke an, die für alle a > 0 denselben Wert wie I haben!
Lösungsweg
- Konstantenregel: Einen konstanten Faktor im Integranden kann man vor das Integrationszeichen ziehen. D.h. der Multiplikationsfaktor bleibt beim Integrieren unverändert erhalten.
- Summenregel: Das Integral der Summe / der Differenz zweier Funktionen f(x), g(x) ist gleich der Summe / der Differenz der jeweiligen Integrale. D.h. bei Summen / Differenzen wird gliedweise integriert.
- Konstante Integrieren: Steht im Integrand nur eine Konstante, so ist deren Integral die Konstante mal derjenigen Variablen, nach der integriert wird.
- Aussage 1: Diese Aussage ist richtig, weil man gemäß der Summenregel den Term in 2 getrennte Integrale auftrennen darf und gemäß der Konstantenregel kann man beim 1. Integral den konstanten Faktor 25 vor das Integral ziehen.
- Aussage 2: Diese Aussage ist falsch, weil man für das 1. Integral den konstanten Faktor 25 gemäß der Konstantenregel vor das Integral ziehen muss.
- Aussage 3: Diese Aussage ist falsch, weil die Stammfunktion vom 2. Summanden wie folgt lautet: \(\int\limits_0^a {3\,\,dx} = 3x\left| {_0^a} \right.\)
- Aussage 4: Diese Aussage ist richtig, weil \(I = \int\limits_0^a {\left( {25 \cdot {x^2} + 3} \right)} \,\,dx = \left[ {25 \cdot \dfrac{{{x^3}}}{3} + 3 \cdot x} \right]\left| {_0^a = } \right.25 \cdot \dfrac{{{a^3}}}{3} + 3a\)
- Aussage 5: Diese Aussage ist falsch, weil \(I=5 \cdot \dfrac{{{a^3}}}{3} + 3a \ne 50 \cdot a\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden richtigen Aussagen angekreuzt sind.