Würfel, Quader, Prisma

Würfel

Ein Würfel, auch Kubus genannt, ist ein Körper (ein Quader) der von 6 Quadraten begrenzt wird. Er besitzt 8 rechtwinkelige Ecken und 12 Kanten, die alle die gleiche Länge besitzen.

Volumen vom Würfel

Das Volumen vom Würfel errechnet sich aus Grundfläche mal Höhe. Die Länge, die Breite und die Höhe betragen jeweils a

\(V = {a^3}\)

Beispiel:
Wie viele Liter Wasser passen in 1m³?
1 Liter Wasser hat ein Volumen von 1dm³
1m hat 10dm
\(1{m^3} = 10dm \cdot 10dm \cdot 10dm = 1.000d{m^3} \buildrel \wedge \over{=} 1.000{\text{ l Wasser}}\)

Oberfläche vom Würfel

Die Oberfläche vom Würfel setzt sich aus 6 Quadraten mit der Kantenlänge a zusammen

\(O = 6{a^2}\)

Netz vom Würfel

Das Netz vom Würfel setzt sich aus der quadratischen Grund- und Deckfläche, sowie aus der Mantelfläche zusammen. Die Mantelfläche wiederum besteht aus vier quadratischen Seitenflächen.

Flächendiagonale vom Würfel

Die Flächendiagonale vom Würfel verbindet jeweils zwei gegenüber liegende Eckpunkte einer Seitenfläche. Sie errechnet sich als Hypotenuse mit Hilfe vom Satz des Pythagoras für ein gleichschenkeliges Dreieck, mit a als der Schenkellänge. Alle Flächendiagonalen sind gleich lang.

\({d_F} = \sqrt {2{a^2}} \)

Raumdiagonale vom Würfel

Die Raumdiagonalen vom Würfel gehen jeweils von einem Eckpunkt in den gegenüber liegenden, am weitesten entfernten Eckpunkt. Die Raumdiagonale vom Würfel errechnet sich mit Hilfe vom Satz des Pythagoras, wobei die Raumdiagonale durch eine Flächendiagonale und eine Kantenlänge aufgespannt wird. Alle Raumdiagonalen sind gleich lang.

\({d_R} = a\sqrt 3 \)

Illustration vom Würfel

Quader

Ein Quader ist ein Körper der von 6 Rechtecken begrenzt wird, wobei die drei einander jeweils gegenüberliegenden Rechtecke gleich groß sind. Der Quader besitzt 8 rechtwinkelige Ecken und 12 Kanten, von denen jeweils 4 die gleiche Länge (a, b, c) besitzen. Haben sogar alle 12 Kanten die gleiche Länge, dann handelt es sich um einen Würfel.

Volumen vom Quader

Das Volumen vom Quader errechnet sich aus Grundfläche mal Höhe. Häufig werden die Kanten auch mit Länge l, Breite b und Höhe h bezeichnet. Länge mal Breite ergibt dann die Grund- bzw. Deckfläche.

\(V = a \cdot b \cdot c = {A_G} \cdot c\)

Oberfläche vom Quader

Die Oberfläche vom Quader setzt sich aus 6 Rechtecken zusammen. Die einander jeweils gegenüber liegenden Rechtecke sind jeweils gleich groß.

\(\eqalign{ & G = D = a \cdot b \cr & M = 2(ac + bc) \cr & O = 2{A_G} + {A_M} = 2(ab + ac + bc) \cr} \)

Netz vom Quader

Das Netz vom Quader setzt sich aus der rechteckigen Grund- und Deckfläche, sowie aus der Mantelfläche zusammen. Die Mantelfläche wiederum besteht aus vier rechteckigen Seitenflächen.

Flächendiagonale vom Quader

Die drei Flächendiagonale vom Quader errechnen sich mit Hilfe vom Satz des Pythagoras aus der Wurzel der Summe der quadrierten Kantenlängen der jeweiligen Fläche.

\(\eqalign{ & {d_G} = {d_D} = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \cr & {d_{M1}} = {d_{M3}} = \sqrt {{a^2} + {c^2}} \cr & {d_{M2}} = {d_{M4}} = \sqrt {{b^2} + {c^2}} \cr} \)

Raumdiagonale vom Quader

Die Raumdiagonalen vom Quader gehen jeweils von einem Eckpunkt in den gegenüber liegenden, am weitesten entfernten Eckpunkt. Die Raumdiagonale vom Quader errechnet sich mit Hilfe vom Satz des Pythagoras, wobei die Raumdiagonale durch eine Flächendiagonale und eine Kantenlänge aufgespannt wird. Alle Raumdiagonalen sind gleich lang.

\({d_R} = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)

Illustration vom Quader

Prisma

Ein Prisma ist ein Körper, dessen Grund- und Deckfläche kongruente n-Ecke sind, die in parallelen Ebenen liegen. Es gibt daher dreiseitige, vierseitige, fünfseitige,... Prismen.

Gerades Prisma

Beim geraden Prisma steht die Höhe senkrecht auf die Grund- und Deckfläche. Die Mantelfläche besteht aus n Parallelogrammen. Die Höhe vom geraden Prisma entspricht dem Abstand zwischen Grund- und Deckfläche.

Volumen vom geraden Prisma

Das Volumen vom geraden Prisma errechnet sich aus Grundfläche mal Höhe.

\(V = G \cdot h \)

Mantelfläche vom geraden Prisma

Die Mantelfläche vom geraden Prisma ergibt sich aus dem Umfang der Grundfläche mal der Höhe vom Prisma

\(M = {U_G} \cdot h\)

Oberfläche vom geraden Prisma

Die Oberfläche vom geraden Prisma ergibt sich aus der Summe von Grund- und Deckfläche plus Mantelfläche

\(O = 2G + M\)

Illustration vom geraden Prisma

Netz vom geraden Prisma

Das Netz vom geraden Prisma setzt sich aus der n-eckigen Grund- und Deckfläche, sowie aus der Mantelfläche zusammen. Die Mantelfläche wiederum besteht aus n rechteckigen Seitenflächen.

Schiefes Prisma

Beim schiefen Prisma steht die Höhe nicht senkrecht auf der Grund- und Deckfläche.

Mantelfläche vom schiefen Prisma

Die Mantelfläche besteht aus n Rechtecken. Die Höhe vom schiefen Prisma entspricht dem senkrechten Abstand zwischen der Ebene in der die Grund- bzw. Deckfläche liegt.

\(M \ne {U_G} \cdot h\)

Oberfläche vom schiefen Prisma

Die Oberfläche vom geraden Prisma ergibt sich aus der Summe von Grund- und Deckfläche plus Mantelfläche

\(O = 2G + M\)

Illustration vom schiefen Prisma

Prinzip von Cavalieri

Das Prinzip von Cavalieri besagt, dass das Volumen eines Prismas das Produkt aus Grundfläche und Höhe ist, unabhängig davon ob es sich um ein gerades oder schiefes Prisma handelt.

\(V = G \cdot h\)