Hyperbel- und Areafunktionen

Hyperbelfunktionen

Die hyperbolischen Funktionen auch Hyperbelfunktionen genannt sind bestimmte Kombinationen der natürlichen Exponentialfunktionen e^x und e^-x, die vor allem in der Technik häufig vorkommen.

\(\begin{array}{l} \sinh x = \dfrac{1}{2}({e^x} - {e^{ - x}}) = - i \cdot sin\left( {ix} \right)\\ \cosh x = \dfrac{1}{2}\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right) = \cos (ix)\\ \tanh x = \dfrac{{\sinh \,x}}{{\cosh \,x}} = \dfrac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}\\ \coth x = \dfrac{{\cosh \,x}}{{\sinh \,x}} = \dfrac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{{{e^x} - {e^{ - x}}}} \end{array}\)

Kostruktion von sinh und cosh an der Einheitshyperbel

Vergleichbar dazu, wie sich die trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis herleiten lassen, lassen sich die Hyperbelfunktionen an der Einheitshyperbel herleiten. Der Ausgangspunkt ist die Einheitshyperbel in 1. Hauptlage mit Halbachsenlängen a und b. Die Asymptoten haben die Steigungen \(\dfrac{b}{a}{\text{ bzw}}{\text{. - }}\dfrac{b}{a}\). Die Brennpunkte liegen auf einem Kreis mit dem Radius \(r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \) .

Für die Koordinaten x bzw. y eines auf der Einheitshyperbel liegenden Punktes P gilt dabei folgender funktionaler Zusammenhang zur blau markierten Fläche: 

\(\eqalign{ & x = \cosh \left( A \right) \to A = \operatorname{arcosh} \left( x \right) \cr & y = \sinh \left( A \right) \to A = ar\sinh (x) \cr} \)

Area leitet sich aus dem Zusammenhang mit dem Flächeninhalt (=area) des blau markierten Hyperbelsektors ab.

Einige Notationen zur Einheitshyperbel

\(\eqalign{ & \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 \cr & a = b = 1 \cr & \dfrac{{{x^2}}}{{{1^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{1^2}}} = 1 \to {x^2} - {y^2} = 1 \cr & r = \sqrt {{1^2} + {1^2}} = \sqrt 2 = 1,414 \cr} \)

Illustration der Einheitshyperbel

Geogebra Befehl Hyperbel

Die Konstruktion selbst erfolge mit dem Geogebra Befehl Hyperbel

• Hyperbel( <Brennpunkt>, <Brennpunkt>, <Halbachsenlänge> )
• Hyperbel((-1.414, 0), (1.414, 0), 1)

Zusammenhang coshx und sinhx mit der Eulerschen Funktion

Man kann für coshx und sinhx folgende einfache Zusammenhänge angeben

\(\begin{array}{l} \cosh x + \sinh x = {e^x}\\ \cos hx - \sinh x = {e^{ - x}}\\ \cos {h^2}x - {\sinh ^2}x = 1 \end{array}\)

Kettenlinie

Hyperbolische Funktionen finden sich bei Spinnweben und als „Kettenlinie“ bzw. „Seilkurve“ etwa beim Durchhang von Leiterseilen auf Leitungsmasten zufolge ihrer Eigenlast. Die Funktion coshx wird auch als Kettenlinie bezeichnet.

Eine an zwei Punkten aufgehängte und dazwischen durchhängende Kette, nimmt diese Kettenlinienform an. Die Form der Kettenlinie hängt von der Lage der beiden Aufhängepunkte und der Länge der Kette ab, sie ist aber unabhängig vom auf die Länge bezogenen Gewicht der Kette. (also von deren Material.)

Beispiel:
Durchhang von einem Leitungsseil zwischen zwei Masten

• Gegeben sei ein Seil der Länge 2l=52,96m. Achtung, die Länge vom Seil ist 2l und nicht l !
• Die beiden Aufhängepunkte haben einen Abstand 2b=40m. Achtung, der Abstand ist 2b und nicht b!
• Die beiden Aufhängepunkte befinden sich in einer Höhe h=40m über Grund. Achtung, die Höhe ist h und nicht 2h !

Die Kettenlinie f(x) nimmt dann folgende Form an
\(y = f\left( x \right) = h - a \cdot \cosh \dfrac{b}{a} + a \cdot \cosh \dfrac{x}{a}\)

Der Seilparameter a ist durch Iteration etwa mit Hilfe des Newtonschen Näherungsverfahren mit Hilfe der nachfolgenden Beziehung zu bestimmen:
\(2l = 2a \cdot \sinh \dfrac{b}{a}\)

in unserem Beispiel ergibt sich a gemäß
\(a = \dfrac{l}{{\sinh \dfrac{b}{a}}} = 15\)

Probe:
\(l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m\)

Für den Durchhang d gilt:
\(d = \sqrt {{l^2} + {a^2}} - a{\text{ vorausgesetzt: }}d = h - f\left( 0 \right)\)
in unserem Beispiel ergibt sich d gemäß
\(d = \sqrt {{l^2} + {a^2}} - a = 15,43m\)

Illustration zum Beispiel für die Berechnung vom Durchhang eines Leiterseils zwischen zwei Masten

Areafunktionen

Area Funktionen sind die Umkehrfunktionen der hyperbolischen Funktionen.​ Area leitet sich aus dem Zusammenhang mit dem Flächeninhalt (=area) eines Hyperbelsektors ab.