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Hyperbel- und Areafunktionen

Hier findest du folgende Inhalte

1
Formeln
    Formeln
    Wissenspfad

    Hyperbelfunktionen

    Die hyperbolischen Funktionen auch Hyperbelfunktionen genannt sind bestimmte Kombinationen der natürlichen Exponentialfunktionen ex und e-x, die vor allem in der Technik häufig vorkommen.

    \(\begin{array}{l} \sinh x = \dfrac{1}{2}({e^x} - {e^{ - x}}) = - i \cdot sin\left( {ix} \right)\\ \cosh x = \dfrac{1}{2}\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right) = \cos (ix)\\ \tanh x = \dfrac{{\sinh \,x}}{{\cosh \,x}} = \dfrac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}\\ \coth x = \dfrac{{\cosh \,x}}{{\sinh \,x}} = \dfrac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{{{e^x} - {e^{ - x}}}} \end{array}\)


    Kostruktion von sinh und cosh an der Einheitshyperbel

    Vergleichbar dazu, wie sich die trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis herleiten lassen, lassen sich die Hyperbelfunktionen an der Einheitshyperbel herleiten. Der Ausgangspunkt ist die Einheitshyperbel in 1. Hauptlage mit Halbachsenlängen a und b. Die Asymptoten haben die Steigungen \(\dfrac{b}{a}{\text{ bzw}}{\text{. - }}\dfrac{b}{a}\). Die Brennpunkte liegen auf einem Kreis mit dem Radius \(r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \) .

    Für die Koordinaten x bzw. y eines auf der Einheitshyperbel liegenden Punktes P gilt dabei folgender funktionaler Zusammenhang zur blau markierten Fläche: 

    \(\eqalign{ & x = \cosh \left( A \right) \to A = \operatorname{arcosh} \left( x \right) \cr & y = \sinh \left( A \right) \to A = ar\sinh (x) \cr} \)

    Area leitet sich aus dem Zusammenhang mit dem Flächeninhalt (=area) des blau markierten Hyperbelsektors ab.

    Einige Notationen zur Einheitshyperbel

    \(\eqalign{ & \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 \cr & a = b = 1 \cr & \dfrac{{{x^2}}}{{{1^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{1^2}}} = 1 \to {x^2} - {y^2} = 1 \cr & r = \sqrt {{1^2} + {1^2}} = \sqrt 2 = 1,414 \cr} \)

    Illustration der Einheitshyperbel

    Dreieck d1 Dreieck d1: Polygon E, C, F Dreieck d2 Dreieck d2: Polygon E, F, G Dreieck d3 Dreieck d3: Polygon E, G, H Dreieck d4 Dreieck d4: Polygon E, H, I Dreieck d5 Dreieck d5: Polygon E, I, J Dreieck d6 Dreieck d6: Polygon E, J, K Dreieck d7 Dreieck d7: Polygon E, K, L Dreieck d8 Dreieck d8: Polygon E, L, D Hyperbel d Hyperbel d: Hyperbel mit Brennpunkten (-1.41, 0), (1.41, 0) und Hauptachsenlänge 1 Hyperbel d Hyperbel d: Hyperbel mit Brennpunkten (-1.41, 0), (1.41, 0) und Hauptachsenlänge 1 Gerade s Gerade s: Linie P, E Gerade t Gerade t: Linie O, E Strecke f_1 Strecke f_1: Strecke E, C Strecke l_2 Strecke l_2: Strecke D, E Strecke q Strecke q: Strecke M, C Strecke r Strecke r: Strecke C, N Punkt A A(-1.41 | 0) Punkt A A(-1.41 | 0) Punkt B B(1.41 | 0) Punkt B B(1.41 | 0) Punkt C Punkt C: Punkt auf d Punkt C Punkt C: Punkt auf d Punkt D Punkt D: Schnittpunkt von d, f Punkt D Punkt D: Schnittpunkt von d, f Punkt E Punkt E: Schnittpunkt von xAchse, yAchse Punkt E Punkt E: Schnittpunkt von xAchse, yAchse F_1 Text2 = “F_1” F_1 Text2 = “F_1” F_2 Text3 = “F_2” F_2 Text3 = “F_2” A Text1 = “A” S_1 Text4 = “S_1” S_1 Text4 = “S_1” S_2 Text5 = “S_2” S_2 Text5 = “S_2” sinh(A) Text6 = “sinh(A)” cosh(A) Text7 = “cosh(A)” Asymptote Text8 = “Asymptote” Asymptote Text8_{2} = “Asymptote”

    Geogebra Befehl Hyperbel

    Die Konstruktion selbst erfolge mit dem Geogebra Befehl Hyperbel

    • Hyperbel( <Brennpunkt>, <Brennpunkt>, <Halbachsenlänge> )
    • Hyperbel((-1.414, 0), (1.414, 0), 1)

    Zusammenhang coshx und sinhx mit der Eulerschen Funktion

    Man kann für coshx und sinhx folgende einfache Zusammenhänge angeben

    \(\begin{array}{l} \cosh x + \sinh x = {e^x}\\ \cos hx - \sinh x = {e^{ - x}}\\ \cos {h^2}x - {\sinh ^2}x = 1 \end{array}\)


    Kettenlinie

    Hyperbolische Funktionen finden sich bei Spinnweben und als „Kettenlinie“ bzw. „Seilkurve“ etwa beim Durchhang von Leiterseilen auf Leitungsmasten zufolge ihrer Eigenlast. Die Funktion coshx wird auch als Kettenlinie bezeichnet.

    Eine an zwei Punkten aufgehängte und dazwischen durchhängende Kette, nimmt diese Kettenlinienform an. Die Form der Kettenlinie hängt von der Lage der beiden Aufhängepunkte und der Länge der Kette ab, sie ist aber unabhängig vom auf die Länge bezogenen Gewicht der Kette. (also von deren Material.)


    Beispiel:
    Durchhang von einem Leitungsseil zwischen zwei Masten

    • Gegeben sei ein Seil der Länge 2l=52,96m. Achtung, die Länge vom Seil ist 2l und nicht l !
    • Die beiden Aufhängepunkte haben einen Abstand 2b=40m. Achtung, der Abstand ist 2b und nicht b!
    • Die beiden Aufhängepunkte befinden sich in einer Höhe h=40m über Grund. Achtung, die Höhe ist h und nicht 2h !

    Die Kettenlinie f(x) nimmt dann folgende Form an
    \(y = f\left( x \right) = h - a \cdot \cosh \dfrac{b}{a} + a \cdot \cosh \dfrac{x}{a}\)

    Der Seilparameter a ist durch Iteration etwa mit Hilfe des Newtonschen Näherungsverfahren mit Hilfe der nachfolgenden Beziehung zu bestimmen:
    \(2l = 2a \cdot \sinh \dfrac{b}{a}\)

    in unserem Beispiel ergibt sich a gemäß
    \(a = \dfrac{l}{{\sinh \dfrac{b}{a}}} = 15\)

    Probe:
    \(l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m\)

    Für den Durchhang d gilt:
    \(d = \sqrt {{l^2} + {a^2}} - a{\text{ vorausgesetzt: }}d = h - f\left( 0 \right)\)
    in unserem Beispiel ergibt sich d gemäß
    \(d = \sqrt {{l^2} + {a^2}} - a = 15,43m\)


    Illustration zum Beispiel für die Berechnung vom Durchhang eines Leiterseils zwischen zwei Masten

    Funktion g g(x) = Wenn(-20 < x < 20, 40 - 15cosh(20 / 15) + 15cosh(x / 15)) Strecke h Strecke h: Strecke E, F Vektor u Vektor u: Vektor(H, E) Vektor u Vektor u: Vektor(H, E) Vektor v Vektor v: Vektor(E, H) Vektor v Vektor v: Vektor(E, H) Vektor w Vektor w: Vektor(G, F) Vektor w Vektor w: Vektor(G, F) Vektor a Vektor a: Vektor(F, G) Vektor a Vektor a: Vektor(F, G) Vektor b Vektor b: Vektor(J, I) Vektor b Vektor b: Vektor(J, I) Vektor c Vektor c: Vektor(I, J) Vektor c Vektor c: Vektor(I, J) Vektor d Vektor d: Vektor(K, L) Vektor d Vektor d: Vektor(K, L) Vektor e Vektor e: Vektor(M, N) Vektor e Vektor e: Vektor(M, N) Punkt E E = (-20, 40) Punkt E E = (-20, 40) Punkt F F = (20, 40) Punkt F F = (20, 40) h=40m Text1 = “h=40m” h=40m Text1_2 = “h=40m” -b=20m Text2 = “-b=20m” b=20m Text3 = “b=20m” y Text4 = “y” $d = \sqrt {{l^2} + {a^2}} - a = 15,43m$ Text5 = “$d = \sqrt {{l^2} + {a^2}} - a = 15,43m$” $d = \sqrt {{l^2} + {a^2}} - a = 15,43m$ Text5 = “$d = \sqrt {{l^2} + {a^2}} - a = 15,43m$” $d = \sqrt {{l^2} + {a^2}} - a = 15,43m$ Text5 = “$d = \sqrt {{l^2} + {a^2}} - a = 15,43m$” $d = \sqrt {{l^2} + {a^2}} - a = 15,43m$ Text5 = “$d = \sqrt {{l^2} + {a^2}} - a = 15,43m$” $d = \sqrt {{l^2} + {a^2}} - a = 15,43m$ Text5 = “$d = \sqrt {{l^2} + {a^2}} - a = 15,43m$” $d = \sqrt {{l^2} + {a^2}} - a = 15,43m$ Text5 = “$d = \sqrt {{l^2} + {a^2}} - a = 15,43m$” $d = \sqrt {{l^2} + {a^2}} - a = 15,43m$ Text5 = “$d = \sqrt {{l^2} + {a^2}} - a = 15,43m$” $d = \sqrt {{l^2} + {a^2}} - a = 15,43m$ Text5 = “$d = \sqrt {{l^2} + {a^2}} - a = 15,43m$” $d = \sqrt {{l^2} + {a^2}} - a = 15,43m$ Text5 = “$d = \sqrt {{l^2} + {a^2}} - a = 15,43m$” $d = \sqrt {{l^2} + {a^2}} - a = 15,43m$ Text5 = “$d = \sqrt {{l^2} + {a^2}} - a = 15,43m$” $d = \sqrt {{l^2} + {a^2}} - a = 15,43m$ Text5 = “$d = \sqrt {{l^2} + {a^2}} - a = 15,43m$” $d = \sqrt {{l^2} + {a^2}} - a = 15,43m$ Text5 = “$d = \sqrt {{l^2} + {a^2}} - a = 15,43m$” $d = \sqrt {{l^2} + {a^2}} - a = 15,43m$ Text5 = “$d = \sqrt {{l^2} + {a^2}} - a = 15,43m$” $d = \sqrt {{l^2} + {a^2}} - a = 15,43m$ Text5 = “$d = \sqrt {{l^2} + {a^2}} - a = 15,43m$” $d = \sqrt {{l^2} + {a^2}} - a = 15,43m$ Text5 = “$d = \sqrt {{l^2} + {a^2}} - a = 15,43m$” $d = \sqrt {{l^2} + {a^2}} - a = 15,43m$ Text5 = “$d = \sqrt {{l^2} + {a^2}} - a = 15,43m$” $d = \sqrt {{l^2} + {a^2}} - a = 15,43m$ Text5 = “$d = \sqrt {{l^2} + {a^2}} - a = 15,43m$” $d = \sqrt {{l^2} + {a^2}} - a = 15,43m$ Text5 = “$d = \sqrt {{l^2} + {a^2}} - a = 15,43m$” l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m Text6 = “l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m” l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m Text6 = “l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m” l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m Text6 = “l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m” l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m Text6 = “l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m” l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m Text6 = “l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m” l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m Text6 = “l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m” l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m Text6 = “l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m” l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m Text6 = “l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m” l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m Text6 = “l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m” l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m Text6 = “l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m” l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m Text6 = “l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m” l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m Text6 = “l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m” l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m Text6 = “l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m” l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m Text6 = “l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m” l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m Text6 = “l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m” l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m Text6 = “l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m” l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m Text6 = “l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m” l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m Text6 = “l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m” l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m Text6 = “l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m” l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m Text6 = “l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m” l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m Text6 = “l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m” l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m Text6 = “l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m” l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m Text6 = “l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m” l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m Text6 = “l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m” l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m Text6 = “l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m” l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m Text6 = “l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m” l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m Text6 = “l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m” a = \dfrac{l}{{\sinh \dfrac{b}{a}}} = 15 Text7 = “a = \dfrac{l}{{\sinh \dfrac{b}{a}}} = 15” a = \dfrac{l}{{\sinh \dfrac{b}{a}}} = 15 Text7 = “a = \dfrac{l}{{\sinh \dfrac{b}{a}}} = 15” a = \dfrac{l}{{\sinh \dfrac{b}{a}}} = 15 Text7 = “a = \dfrac{l}{{\sinh \dfrac{b}{a}}} = 15” a = \dfrac{l}{{\sinh \dfrac{b}{a}}} = 15 Text7 = “a = \dfrac{l}{{\sinh \dfrac{b}{a}}} = 15” a = \dfrac{l}{{\sinh \dfrac{b}{a}}} = 15 Text7 = “a = \dfrac{l}{{\sinh \dfrac{b}{a}}} = 15” a = \dfrac{l}{{\sinh \dfrac{b}{a}}} = 15 Text7 = “a = \dfrac{l}{{\sinh \dfrac{b}{a}}} = 15” a = \dfrac{l}{{\sinh \dfrac{b}{a}}} = 15 Text7 = “a = \dfrac{l}{{\sinh \dfrac{b}{a}}} = 15” a = \dfrac{l}{{\sinh \dfrac{b}{a}}} = 15 Text7 = “a = \dfrac{l}{{\sinh \dfrac{b}{a}}} = 15” a = \dfrac{l}{{\sinh \dfrac{b}{a}}} = 15 Text7 = “a = \dfrac{l}{{\sinh \dfrac{b}{a}}} = 15” a = \dfrac{l}{{\sinh \dfrac{b}{a}}} = 15 Text7 = “a = \dfrac{l}{{\sinh \dfrac{b}{a}}} = 15” a = \dfrac{l}{{\sinh \dfrac{b}{a}}} = 15 Text7 = “a = \dfrac{l}{{\sinh \dfrac{b}{a}}} = 15” a = \dfrac{l}{{\sinh \dfrac{b}{a}}} = 15 Text7 = “a = \dfrac{l}{{\sinh \dfrac{b}{a}}} = 15” a = \dfrac{l}{{\sinh \dfrac{b}{a}}} = 15 Text7 = “a = \dfrac{l}{{\sinh \dfrac{b}{a}}} = 15” a = \dfrac{l}{{\sinh \dfrac{b}{a}}} = 15 Text7 = “a = \dfrac{l}{{\sinh \dfrac{b}{a}}} = 15” y = f\left( x \right) = h - a \cdot \cosh \frac{b}{a} + a \cdot \cosh \frac{x}{a} Text8 = “y = f\left( x \right) = h - a \cdot \cosh \frac{b}{a} + a \cdot \cosh \frac{x}{a}” y = f\left( x \right) = h - a \cdot \cosh \frac{b}{a} + a \cdot \cosh \frac{x}{a} Text8 = “y = f\left( x \right) = h - a \cdot \cosh \frac{b}{a} + a \cdot \cosh \frac{x}{a}” y = f\left( x \right) = h - a \cdot \cosh \frac{b}{a} + a \cdot \cosh \frac{x}{a} Text8 = “y = f\left( x \right) = h - a \cdot \cosh \frac{b}{a} + a \cdot \cosh \frac{x}{a}” y = f\left( x \right) = h - a \cdot \cosh \frac{b}{a} + a \cdot \cosh \frac{x}{a} Text8 = “y = f\left( x \right) = h - a \cdot \cosh \frac{b}{a} + a \cdot \cosh \frac{x}{a}” y = f\left( x \right) = h - a \cdot \cosh \frac{b}{a} + a \cdot \cosh \frac{x}{a} Text8 = “y = f\left( x \right) = h - a \cdot \cosh \frac{b}{a} + a \cdot \cosh \frac{x}{a}” y = f\left( x \right) = h - a \cdot \cosh \frac{b}{a} + a \cdot \cosh \frac{x}{a} Text8 = “y = f\left( x \right) = h - a \cdot \cosh \frac{b}{a} + a \cdot \cosh \frac{x}{a}” y = f\left( x \right) = h - a \cdot \cosh \frac{b}{a} + a \cdot \cosh \frac{x}{a} Text8 = “y = f\left( x \right) = h - a \cdot \cosh \frac{b}{a} + a \cdot \cosh \frac{x}{a}” y = f\left( x \right) = h - a \cdot \cosh \frac{b}{a} + a \cdot \cosh \frac{x}{a} Text8 = “y = f\left( x \right) = h - a \cdot \cosh \frac{b}{a} + a \cdot \cosh \frac{x}{a}” y = f\left( x \right) = h - a \cdot \cosh \frac{b}{a} + a \cdot \cosh \frac{x}{a} Text8 = “y = f\left( x \right) = h - a \cdot \cosh \frac{b}{a} + a \cdot \cosh \frac{x}{a}” y = f\left( x \right) = h - a \cdot \cosh \frac{b}{a} + a \cdot \cosh \frac{x}{a} Text8 = “y = f\left( x \right) = h - a \cdot \cosh \frac{b}{a} + a \cdot \cosh \frac{x}{a}” y = f\left( x \right) = h - a \cdot \cosh \frac{b}{a} + a \cdot \cosh \frac{x}{a} Text8 = “y = f\left( x \right) = h - a \cdot \cosh \frac{b}{a} + a \cdot \cosh \frac{x}{a}” y = f\left( x \right) = h - a \cdot \cosh \frac{b}{a} + a \cdot \cosh \frac{x}{a} Text8 = “y = f\left( x \right) = h - a \cdot \cosh \frac{b}{a} + a \cdot \cosh \frac{x}{a}” y = f\left( x \right) = h - a \cdot \cosh \frac{b}{a} + a \cdot \cosh \frac{x}{a} Text8 = “y = f\left( x \right) = h - a \cdot \cosh \frac{b}{a} + a \cdot \cosh \frac{x}{a}” y = f\left( x \right) = h - a \cdot \cosh \frac{b}{a} + a \cdot \cosh \frac{x}{a} Text8 = “y = f\left( x \right) = h - a \cdot \cosh \frac{b}{a} + a \cdot \cosh \frac{x}{a}” y = f\left( x \right) = h - a \cdot \cosh \frac{b}{a} + a \cdot \cosh \frac{x}{a} Text8 = “y = f\left( x \right) = h - a \cdot \cosh \frac{b}{a} + a \cdot \cosh \frac{x}{a}” y = f\left( x \right) = h - a \cdot \cosh \frac{b}{a} + a \cdot \cosh \frac{x}{a} Text8 = “y = f\left( x \right) = h - a \cdot \cosh \frac{b}{a} + a \cdot \cosh \frac{x}{a}” y = f\left( x \right) = h - a \cdot \cosh \frac{b}{a} + a \cdot \cosh 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\cosh \frac{x}{a}”


    Areafunktionen

    Area Funktionen sind die Umkehrfunktionen der hyperbolischen Funktionen.​ Area leitet sich aus dem Zusammenhang mit dem Flächeninhalt (=area) eines Hyperbelsektors ab.

    Hyperbelfunktionen: Funktionen, die sich aus einfachen Exponentialfunktionen zusammensetzen Areafunktionen: Funktionen, die durch den natürlichen Logarithmus ausgedrückt werden
    \(\sinh x = \dfrac{1}{2}({e^x} - {e^{ - x}})\) \({\mathop{\rm arsinh}\nolimits} \left( x \right) = \ln (x - \sqrt {{x^2} + 1} \)
    \(\cosh x = \dfrac{1}{2}\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)\) \(\operatorname{arcosh} \left( x \right) = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right){\text{ für }}x \geqslant 1\)
    \(\tanh x = \dfrac{{\sinh \,x}}{{\cosh \,x}} = \dfrac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}\) \({\mathop{\rm artanh}\nolimits} \left( x \right) = \dfrac{1}{2}\ln \left( {\dfrac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right){\rm{ für }}\left| x \right| < 1\)
    \(\coth x = \dfrac{{\cosh \,x}}{{\sinh \,x}} = \dfrac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{{{e^x} - {e^{ - x}}}}\) \({\mathop{\rm arcoth}\nolimits} \left( x \right) = \dfrac{1}{2}\ln \left( {\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right){\rm{ für }}\left| x \right| > 1\)
    Hyperbelfunktionen
    Sinus Hyperbolicus
    Tangens Hyperbolicus
    Kotangens Hyperbolicus
    Kettenlinie
    Kosinus Hyperbolicus
    Geogebra Hyperbel Befehl
    Areafunktionen
    Areasinus Hyperbolicus
    Areakosinus Hyperbolicus
    Areatangens Hyperbolicus
    Areakotangens Hyperbolicus
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    Maths2Mind ist ein einzigartiges Angebot, einerseits zur Mathematik-Matura bzw. Abiturvorbereitung, andererseits zur Vermittlung eines breiten Grundlagenwissens zu den MINT-Fächern Mathematik, Elektrotechnik und Physik, das sich von anderen Online-Ressourcen abhebt.

    Hier sind einige der wesentlichen Alleinstellungsmerkmale von maths2mind.com:

    • Kostenlose Prüfungsvorbereitung: Nicht jede Familie kann es sich leisten, für Prüfungsvorbereitung zu bezahlen. Nutzer von maths2mind benötigen keine Kreditkarte, da es keine kostenpflichtigen Abonnementpakete gibt. Alle Inhalte sind kostenlos zugänglich!
    • Privatsphäre: Es werden keine zustimmungspflichtigen Cookies verwendet, es gibt keine webseitenübergreifende oder personalisierte Werbung. 
    • Anonymes Lernen: Alle Inhalte sind ohne Anmeldung zugänglich, sodass Schüler anonym lernen können.
    • Autoren Dream-Team: Die Inhalte werden von Experten mit facheinschlägigem Universitätsabschluss erstellt. Zusätzlich erfolgte eine Recherche auf Vollständigkeit mittels künstlicher Intelligenz.
    • Probeschularbeiten: Lehrer können bei jeder Aufgabe einen Link kopieren, und durch simples "kopieren - einfügen" eine Probeschularbeit zusammenstellen und diese ihren Schülern elektronisch zum Selbststudium verfügbar machen.
    • Verständliche Erklärungen – schneller Lernerfolg – mehr Freizeit: Ehemalige Matura- bzw. Abiturbeispiele werden schriftlich vorgerechnet, damit Schüler den vollständigen Rechenweg 1:1 nachvollziehen können. Die ehemaligen Aufgaben sind sowohl chronologisch nach Prüfungstermin, als auch inhaltlich nach Lehrstoff sortiert, mittels anklickbarer Tags auffindbar.
    • Vernetzung von Lehrstoff und Rechenaufgaben über Tags: "Aufgaben passend zum Lernstoff" oder "Grundlagenwissen zur jeweiligen Aufgabe" sind mittels Tags leicht zu finden.
    • 1.000 Videos zum Rechenweg: Auch Dank der freundlichen Genehmigung des Bundesministeriums für Bildung, binden wir direkt in den Lösungsweg von Maturabeispielen, videobasierte Erklärungen ein.
    • 4.000 MINT-Fachbegriffe: Nutzer können gezielt nach Fachbegriffen suchen. Bei mehreren Treffern erfolgt die Auswahl über stichwortartige Zusammenfassungen.
    • 2.000 GeoGebra Illustrationen: Alle unsere rd. 2.000 selbst erstellten vektorbasierten Grafiken wurden mit GeoGebra erstellt. Zusätzlich verlinken wir auf anschauliche interaktive Illustrationen auf der GeoGebra Lernplattform.
    • Exzellent lesbare MINT-Inhalte: Die Inhalte sind vektorbasiert und daher auf allen Geräten, vom Smartphone bis zum XXL-Screen, gestochen scharf lesbar. Das gilt besonders für komplexe Formeln und anschauliche Illustrationen.
    • Wissenspfade: Zu jeder Lerneinheit werden gut strukturiert empfohlenes Vorwissen, verbreiterndes und vertiefendes Wissen angezeigt.
    • Umfassende Unterstützung: Maths2mind begleitet Schüler bis zum erfolgreichen Lehrabschluss mit Matura, dem Berufseinstieg nach Matura/Abitur und auch beim Studieneinstieg.
    • Soziale Mission: Als E-Learning Plattform mit sozialer Mission bietet maths2mind Chancen-Fairness durch genderneutralen Bildungszugang. Unabhängig von sozioökonomischem Umfeld, Wohnort, Einstellung oder Kulturkreis der Eltern, Sympathiewert des Lehrenden, finanzieller Schulausstattung oder Tagespolitik.
    • Kostenlose Fragen per E-Mail: Bei Unklarheiten können Fragen kostenlos per E-Mail gestellt werden.

    Maths2Mind.com ist somit eine umfassende Plattform, die nicht nur Wissen vermittelt, sondern auch auf individuelle Bedürfnisse eingeht und einen fairen Zugang zur Bildung ermöglicht.

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