Rentenrechnung

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Rentenrechnung

Bei der Rentenrechnung werden die Raten berechnet, mit denen ein vorher angespartes Kapital in regelmäßigen Zeitabständen und in konstanter Höhe ausbezahlt wird. Das Prinzip der Rentenrechnung lässt sich besonders gut an der Alterspension erklären: In Österreich zahlen Berufstätige während ihres Erwerbslebens als Teil der Sozialversicherung monatlich in eine Pensionskasse ein. Der Dienstnehmer bezahlt dabei 10,25% und der Dienstgeber 12,55% vom beitragspflichtigen Verdienst. Im Jahr 2020 beträgt die monatliche Höchstbeitragsgrundlage 5.370 € Brutto. Sollte man ein höheres Einkommen erzielen, dann ist dafür kein zusätzliche Sozialversicherungsbeitrag zu bezahlen. Durch die Beitragszahlungen spart der Erwerbstätige einen Pensionsanspruch an.

Erreicht der Erwerbstätige das Pensionsantrittsalter von derzeit 65 Jahren, so wird der Rentenbarwert aus den Einzahlungen der letzten 40 Jahre bzw. 480 Monate ermittelt und in Form einer Rentenzahlung für den Rest des Lebens ausbezahlt, wobei der Rentenbarwert auf die versicherungsmathematisch ermittelte voraussichtliche verbleibende Lebenserwartung gleichmäßig aufgeteilt und in Form von Ratenzahlungen monatlich ausbezahlt wird. Die höchste Pension, ausgenommen für Beamte, beträgt 3.566 € im Jahr 2020, gesetzt den Fall man hat während des gesamten Durchrechnungszeitraumes die jeweiligen Höchstbetragsgrundlage (über)erreicht. Dabei handelt es sich um einen Bruttobetrag, von dem man noch 5,1% Krankenversicherung und die Lohnsteuer abziehen muss. Im Durchschnitt beträgt die Nettopension 78% vom letzten Erwerbstätigeneinkommen.

Illustration Rentenrechnung, vereinfacht

Vektor u Vektor u: Vektor(I, J) Vektor u Vektor u: Vektor(I, J) Vektor w Vektor w: Vektor(F, G) Vektor w Vektor w: Vektor(F, G) Vektor v Vektor v: Vektor(G, H) Vektor v Vektor v: Vektor(G, H) Vektor a Vektor a: Vektor(E, F) Vektor a Vektor a: Vektor(E, F) Vektor b Vektor b: Vektor(K, T) Vektor b Vektor b: Vektor(K, T) Vektor c Vektor c: Vektor(L, U) Vektor c Vektor c: Vektor(L, U) Vektor d Vektor d: Vektor(M, V) Vektor d Vektor d: Vektor(M, V) Vektor e Vektor e: Vektor(N, W) Vektor e Vektor e: Vektor(N, W) Vektor f Vektor f: Vektor(O, Z) Vektor f Vektor f: Vektor(O, Z) Vektor g Vektor g: Vektor(S, A_1) Vektor g Vektor g: Vektor(S, A_1) Vektor h Vektor h: Vektor(R, B_1) Vektor h Vektor h: Vektor(R, B_1) Vektor i Vektor i: Vektor(Q, C_1) Vektor i Vektor i: Vektor(Q, C_1) Vektor j Vektor j: Vektor(P, G) Vektor j Vektor j: Vektor(P, G) Vektor k Vektor k: Vektor(D_1, H_1) Vektor k Vektor k: Vektor(D_1, H_1) Vektor l Vektor l: Vektor(E_1, I_1) Vektor l Vektor l: Vektor(E_1, I_1) Vektor m Vektor m: Vektor(F_1, J_1) Vektor m Vektor m: Vektor(F_1, J_1) Vektor n Vektor n: Vektor(G_1, K_1) Vektor n Vektor n: Vektor(G_1, K_1) Vektor p Vektor p: Vektor(R_1, O_1) Vektor p Vektor p: Vektor(R_1, O_1) Vektor q Vektor q: Vektor(Q_1, N_1) Vektor q Vektor q: Vektor(Q_1, N_1) Vektor r Vektor r: Vektor(P_1, M_1) Vektor r Vektor r: Vektor(P_1, M_1) Vektor s Vektor s: Vektor(H, L_1) Vektor s Vektor s: Vektor(H, L_1) Vektor t Vektor t: Vektor(S_1, E) Vektor t Vektor t: Vektor(S_1, E) Vektor u_1 Vektor u_1: Vektor(T_1, F) Vektor u_1 Vektor u_1: Vektor(T_1, F) Vektor v_1 Vektor v_1: Vektor(U_1, G) Vektor v_1 Vektor v_1: Vektor(U_1, G) Vektor w_1 Vektor w_1: Vektor(V_1, H) Vektor w_1 Vektor w_1: Vektor(V_1, H) Vektor a_1 Vektor a_1: Vektor(Z_1, W_1) Vektor a_1 Vektor a_1: Vektor(Z_1, W_1) Punkt E E = (1, 4) Punkt E E = (1, 4) Punkt F F = (3, 4) Punkt F F = (3, 4) Punkt G G = (10, 4) Punkt G G = (10, 4) Punkt H H = (20, 4) Punkt H H = (20, 4) Geburt Text1 = “Geburt” Start ins Erwerbsleben Text2 = “Start ins Erwerbsleben” 65 Jahre - Pensionsantritt Text3 = “65 Jahre - Pensionsantritt” Lebenserwartung 82 Jahre Text4 = “Lebenserwartung 82 Jahre” Durchrechnungszeitraum 40 Jahre Text5 = “Durchrechnungszeitraum 40 Jahre” Einzahlungen in Rentenkasse Text6 = “Einzahlungen in Rentenkasse” Auszahlungen durch Rentenkasse Text8 = “Auszahlungen durch Rentenkasse” Rente Text7 = “Rente” 22,8% Text9 = “22,8%”

Rente

Unter einer Rente versteht man Zahlungen - die man wiederum als Raten bezeichnet - die in regelmäßigen Zeitabständen und in konstanter Höhe erfolgen

Raten

Regelmäßige Zahlungen werden als Rente bezeichnet. Die in gleichen Zeitabständen erfolgenden Zahlungen bezeichnet man als Rate R.

  • Vorschüssige Raten werden am Anfang der Zahlungsperiode (z.B. Monatsanfang) geleistet. Die Auszahlung der Darlehenssumme erfolgt bereits um die erste Rate reduziert.
  • Nachschüssige Raten werden am Ende der Zahlungsperiode (z.B. Monatsende) geleistet.
  • Der Barwert einer Rente, ist der gegenwärtige Wert aller Raten, vor Beginn der Laufzeit.
  • Der Endwert einer Rente, ist der zukünftige Wert aller Raten, am Ende der Laufzeit.
R Ratenhöhe
n Anzahl der Raten
i Jährlicher Zinssatz (Dezimalzahl)
q=1+i Jährlicher Aufzinsungsfaktor
\(\nu = \dfrac{1}{q} = \dfrac{1}{{\left( {1 + i} \right)}}\) Jährlicher Abzinsungsfaktor
K0 Barwert heute
Kn Endwert in n Jahren

 

Anmerkung: Kennt man nur den monatlichen Aufzinsungsfaktor qm, weil man monatlichen Raten berücksichtigen muss, so kann man den jährlichen Aufzinsungsfaktor q wie folgt berechnen:
\(q = {q_m}^{12}\)

Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik

Das Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik besagt: Damit Zahlungen die zu unterschiedlichen Zeitpunkten getätigt wurden verglichen können, müssen sie auf einen Bezugszeitpunkt auf- oder abgezinst werden.

Barwert und Endwert

Um Zahlungen die zu unterschiedlichen Zeitpunkten eingehen vergleichbar zu machen, bezieht man sie mit Hilfe des Barwerts auf den Anfang des Zahlungsstroms oder mit Hilfe des Endwerts auf das Ende vom Zahlungsstrom.

Barwert

Der Barwert ist ein Maß für den Wert, der einer zukünftigen Zahlung in der Gegenwart entspricht. Der Barwert einer Rente ist die Summe aller Rentenzahlungen auf den Anfangszeitpunkt abgezinst.
​\({K_0} = \dfrac{{{K_n}}}{{{q^n}}} = {K_n} \cdot {\nu ^n}\)

Beispiel:
\(\eqalign{ & {K_n} = 15.000\mbox{€} \cr & p = 10\% \to i = 0,1 \to q = 1,1 \cr & n = 5{\text{ Jahre}} \cr & {K_0} = \dfrac{{15.000}}{{{{1,1}^5}}} = 9.313,82 \cr} \)

→ 15.000 € die man erst in 5 Jahren ausbezahlt bekommt, haben heute einen Barwert von nur 9.313 €, wenn für den Veranlagungszeitraum ein risikoloser Zinssatz von 10% erzielt werden kann.

Endwert

Der Endwert ist ein Maß für den Wert, der einer heutigen Zahlung in der Zukunft entspricht. Der Endwert einer Rente ist die Summe aller Rentenzahlungen, welche auf den Endzeitpunkt aufgezinst werden.
\({K_n} = {K_0} \cdot {q^n}\)

Beispiel
\(\eqalign{ & {K_0} = 9.313,82\mbox{€} \cr & p = 10\% \to i = 0,1 \to q = 1,1 \cr & n = 5{\text{ Jahre}} \cr & {{\text{K}}_n} = {K_0} \cdot {q^n} = 9.313,82\mbox{€} \cdot {1,1^5} = 15.000\mbox{€} \cr} \)

→ Für 9.313,82€ die man für die kommenden 5 Jahre verborgt, erwartet man einen Endwert von immerhin 15.000€ zurück zu erhalten, wenn für den Veranlagungszeitraum ein risikoloser Zinssatz von 10% erzielt werden kann.

Barwert einer Rente mit vorschüssigen Raten

Der Barwert einer vorschüssigen Rente entspricht dem Zeitwert zu jenem Zeitpunkt, an dem die 1. Ratenzahlung erfolgt.

​\({B_{{\rm{vorsch}}}} = \left( {R \cdot \dfrac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}}} \right) \cdot \dfrac{1}{{{q^{n - 1}}}}\)

\({B_{{\text{vorsch}}}} = R \cdot \dfrac{{1 - {{\left( {1 + i} \right)}^{ - n}}}}{i} \cdot \left( {1 + i} \right)\)

Endwert einer Rente mit vorschüssigen Raten

 Der Endwert einer vorschüssigen Rente entspricht dem Zeitwert zu jenem Zeitpunkt, welcher 1 Zinsperiode nach der letzten Ratenzahlung liegt.

\({E_{{\rm{vorsch}}}} = \left( {R \cdot \dfrac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}}} \right) \cdot q\)

\({E_{{\text{vorsch}}}} = R \cdot \dfrac{{{{\left( {1 + i} \right)}^n} - 1}}{i} \cdot \left( {1 + i} \right)\)

Strecke f Strecke f: Strecke [A_1, A_5] Strecke j Strecke j: Strecke [A_8, A_{11}] Vektor u Vektor u: Vektor[A, B] Vektor u Vektor u: Vektor[A, B] Vektor v Vektor v: Vektor[C, D] Vektor v Vektor v: Vektor[C, D] Vektor w Vektor w: Vektor[E, F] Vektor w Vektor w: Vektor[E, F] Vektor a Vektor a: Vektor[G, H] Vektor a Vektor a: Vektor[G, H] Vektor b Vektor b: Vektor[I, J] Vektor b Vektor b: Vektor[I, J] Vektor c Vektor c: Vektor[K, L] Vektor c Vektor c: Vektor[K, L] Punkt A_1 A_1 = (4, 7) Punkt A_1 A_1 = (4, 7) Punkt A_2 A_2 = (5, 7) Punkt A_2 A_2 = (5, 7) Punkt A_3 A_3 = (6, 7) Punkt A_3 A_3 = (6, 7) Punkt A_4 A_4 = (7, 7) Punkt A_4 A_4 = (7, 7) Punkt A_9 A_9 = (10.5, 7) Punkt A_9 A_9 = (10.5, 7) Punkt A_{10} A_{10} = (11.5, 7) Punkt A_{10} A_{10} = (11.5, 7) Punkt A_{11} A_{11} = (12.5, 7) Punkt A_{11} A_{11} = (12.5, 7) Vorschüssige Rente (Ein- bzw. Auszahlung am Anfang jeder Zinsperiode) text2 = "Vorschüssige Rente (Ein- bzw. Auszahlung am Anfang jeder Zinsperiode)" Vorschüssige Rente (Ein- bzw. Auszahlung am Anfang jeder Zinsperiode) text2 = "Vorschüssige Rente (Ein- bzw. Auszahlung am Anfang jeder Zinsperiode)" Zinsperiode text4 = "Zinsperiode" 0 text5 = "0" 1 text6 = "1" 2 text7 = "2" 3 text8 = "3" R text9 = "R" R text10 = "R" R text11 = "R" R text12 = "R" R text13 = "R" R text14 = "R" n text15 = "n" ... Text1 = "..."

Barwert einer Rente mit nachschüssigen Raten

Der Barwert einer nachschüssigen Rente entspricht dem Zeitwert zu jenem Zeitpunkt, welcher 1 Zinsperiode vor der 1. Ratenzahlung liegt.

\({B_{{\rm{nachsch}}}} = \left( {R \cdot \dfrac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}}} \right) \cdot \dfrac{1}{{{q^n}}}\)

\({B_{{\text{nachsch}}}} = R \cdot \dfrac{{1 - {{\left( {1 + i} \right)}^{ - n}}}}{i}\)

Endwert einer Rente mit nachschüssigen Raten

Der Endwert einer nachschüssigen Rente entspricht dem Zeitwert zu jenem Zeitpunkt an dem die letzte Ratenzahlung erfolgt.

\({E_{{\rm{nachsch}}}} = \left( {R \cdot \dfrac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}}} \right)\)

\({E_{{\text{nachsch}}}} = R \cdot \dfrac{{{{\left( {1 + i} \right)}^n} - 1}}{i}\)

Strecke f Strecke f: Strecke [A_1, A_5] Strecke j Strecke j: Strecke [A_8, A_{11}] Vektor v Vektor v: Vektor[C, D] Vektor v Vektor v: Vektor[C, D] Vektor w Vektor w: Vektor[E, F] Vektor w Vektor w: Vektor[E, F] Vektor a Vektor a: Vektor[G, H] Vektor a Vektor a: Vektor[G, H] Vektor b Vektor b: Vektor[I, J] Vektor b Vektor b: Vektor[I, J] Vektor c Vektor c: Vektor[K, L] Vektor c Vektor c: Vektor[K, L] Vektor c_1 Vektor c_1: Vektor[K_1, L_1] Vektor c_1 Vektor c_1: Vektor[K_1, L_1] Punkt A_1 A_1 = (4, 7) Punkt A_1 A_1 = (4, 7) Punkt A_2 A_2 = (5, 7) Punkt A_2 A_2 = (5, 7) Punkt A_3 A_3 = (6, 7) Punkt A_3 A_3 = (6, 7) Punkt A_4 A_4 = (7, 7) Punkt A_4 A_4 = (7, 7) Punkt A_9 A_9 = (10.5, 7) Punkt A_9 A_9 = (10.5, 7) Punkt A_{10} A_{10} = (11.5, 7) Punkt A_{10} A_{10} = (11.5, 7) Punkt A_{11} A_{11} = (12.5, 7) Punkt A_{11} A_{11} = (12.5, 7) Nachschüssige Rente (Ein- bzw. Auszahlung am Ende jeder Zinsperiode) text2 = "Nachschüssige Rente (Ein- bzw. Auszahlung am Ende jeder Zinsperiode)" Nachschüssige Rente (Ein- bzw. Auszahlung am Ende jeder Zinsperiode) text2 = "Nachschüssige Rente (Ein- bzw. Auszahlung am Ende jeder Zinsperiode)" 0 text5 = "0" 1 text6 = "1" 2 text7 = "2" 3 text8 = "3" R text9 = "R" R text10 = "R" R text11 = "R" R text13 = "R" R text14 = "R" n text15 = "n" Zinsperiode Text1 = "Zinsperiode" R text13_1 = "R" ... Text2 = "..."

Rentenrechnung
Vorschüssige Rente
Nachschüssige Rente
Rente
Barwert
Endwert
Abzinsungsfaktor
Aufzinsungsfaktor
Rate (Rentenrechnung)
Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik

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