Endwert
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Formeln
Rentenrechnung
Bei der Rentenrechnung werden die Raten berechnet, mit denen ein vorher angespartes Kapital in regelmäßigen Zeitabständen und in konstanter Höhe ausbezahlt wird. Das Prinzip der Rentenrechnung lässt sich besonders gut an der Alterspension erklären: In Österreich zahlen Berufstätige während ihres Erwerbslebens als Teil der Sozialversicherung monatlich in eine Pensionskasse ein. Der Dienstnehmer bezahlt dabei 10,25% und der Dienstgeber 12,55% vom beitragspflichtigen Verdienst. Im Jahr 2020 beträgt die monatliche Höchstbeitragsgrundlage 5.370 € Brutto. Sollte man ein höheres Einkommen erzielen, dann ist dafür kein zusätzliche Sozialversicherungsbeitrag zu bezahlen. Durch die Beitragszahlungen spart der Erwerbstätige einen Pensionsanspruch an.
Erreicht der Erwerbstätige das Pensionsantrittsalter von derzeit 65 Jahren, so wird der Rentenbarwert aus den Einzahlungen der letzten 40 Jahre bzw. 480 Monate ermittelt und in Form einer Rentenzahlung für den Rest des Lebens ausbezahlt, wobei der Rentenbarwert auf die versicherungsmathematisch ermittelte voraussichtliche verbleibende Lebenserwartung gleichmäßig aufgeteilt und in Form von Ratenzahlungen monatlich ausbezahlt wird. Die höchste Pension, ausgenommen für Beamte, beträgt 3.566 € im Jahr 2020, gesetzt den Fall man hat während des gesamten Durchrechnungszeitraumes die jeweiligen Höchstbetragsgrundlage (über)erreicht. Dabei handelt es sich um einen Bruttobetrag, von dem man noch 5,1% Krankenversicherung und die Lohnsteuer abziehen muss. Im Durchschnitt beträgt die Nettopension 78% vom letzten Erwerbstätigeneinkommen.
Illustration Rentenrechnung, vereinfacht
Rente
Unter einer Rente versteht man Zahlungen - die man wiederum als Raten bezeichnet - die in regelmäßigen Zeitabständen und in konstanter Höhe erfolgen
Raten
Regelmäßige Zahlungen werden als Rente bezeichnet. Die in gleichen Zeitabständen erfolgenden Zahlungen bezeichnet man als Rate R.
- Vorschüssige Raten werden am Anfang der Zahlungsperiode (z.B. Monatsanfang) geleistet. Die Auszahlung der Darlehenssumme erfolgt bereits um die erste Rate reduziert.
- Nachschüssige Raten werden am Ende der Zahlungsperiode (z.B. Monatsende) geleistet.
- Der Barwert einer Rente, ist der gegenwärtige Wert aller Raten, vor Beginn der Laufzeit.
- Der Endwert einer Rente, ist der zukünftige Wert aller Raten, am Ende der Laufzeit.
R | Ratenhöhe |
n | Anzahl der Raten |
i | Jährlicher Zinssatz (Dezimalzahl) |
q=1+i | Jährlicher Aufzinsungsfaktor |
\(\nu = \dfrac{1}{q} = \dfrac{1}{{\left( {1 + i} \right)}}\) | Jährlicher Abzinsungsfaktor |
K0 | Barwert heute |
Kn | Endwert in n Jahren |
Anmerkung: Kennt man nur den monatlichen Aufzinsungsfaktor qm, weil man monatlichen Raten berücksichtigen muss, so kann man den jährlichen Aufzinsungsfaktor q wie folgt berechnen:
\(q = {q_m}^{12}\)
Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik
Das Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik besagt: Damit Zahlungen die zu unterschiedlichen Zeitpunkten getätigt wurden verglichen können, müssen sie auf einen Bezugszeitpunkt auf- oder abgezinst werden.
Barwert und Endwert
Um Zahlungen die zu unterschiedlichen Zeitpunkten eingehen vergleichbar zu machen, bezieht man sie mit Hilfe des Barwerts auf den Anfang des Zahlungsstroms oder mit Hilfe des Endwerts auf das Ende vom Zahlungsstrom.
Barwert
Der Barwert ist ein Maß für den Wert, der einer zukünftigen Zahlung in der Gegenwart entspricht. Der Barwert einer Rente ist die Summe aller Rentenzahlungen auf den Anfangszeitpunkt abgezinst.
\({K_0} = \dfrac{{{K_n}}}{{{q^n}}} = {K_n} \cdot {\nu ^n}\)
Beispiel:
\(\eqalign{ & {K_n} = 15.000\mbox{€} \cr & p = 10\% \to i = 0,1 \to q = 1,1 \cr & n = 5{\text{ Jahre}} \cr & {K_0} = \dfrac{{15.000}}{{{{1,1}^5}}} = 9.313,82 \cr} \)
→ 15.000 € die man erst in 5 Jahren ausbezahlt bekommt, haben heute einen Barwert von nur 9.313 €, wenn für den Veranlagungszeitraum ein risikoloser Zinssatz von 10% erzielt werden kann.
Endwert
Der Endwert ist ein Maß für den Wert, der einer heutigen Zahlung in der Zukunft entspricht. Der Endwert einer Rente ist die Summe aller Rentenzahlungen, welche auf den Endzeitpunkt aufgezinst werden.
\({K_n} = {K_0} \cdot {q^n}\)
Beispiel
\(\eqalign{ & {K_0} = 9.313,82\mbox{€} \cr & p = 10\% \to i = 0,1 \to q = 1,1 \cr & n = 5{\text{ Jahre}} \cr & {{\text{K}}_n} = {K_0} \cdot {q^n} = 9.313,82\mbox{€} \cdot {1,1^5} = 15.000\mbox{€} \cr} \)
→ Für 9.313,82€ die man für die kommenden 5 Jahre verborgt, erwartet man einen Endwert von immerhin 15.000€ zurück zu erhalten, wenn für den Veranlagungszeitraum ein risikoloser Zinssatz von 10% erzielt werden kann.
Barwert einer Rente mit vorschüssigen Raten
Der Barwert einer vorschüssigen Rente entspricht dem Zeitwert zu jenem Zeitpunkt, an dem die 1. Ratenzahlung erfolgt.
\({B_{{\rm{vorsch}}}} = \left( {R \cdot \dfrac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}}} \right) \cdot \dfrac{1}{{{q^{n - 1}}}}\)
\({B_{{\text{vorsch}}}} = R \cdot \dfrac{{1 - {{\left( {1 + i} \right)}^{ - n}}}}{i} \cdot \left( {1 + i} \right)\)
Endwert einer Rente mit vorschüssigen Raten
Der Endwert einer vorschüssigen Rente entspricht dem Zeitwert zu jenem Zeitpunkt, welcher 1 Zinsperiode nach der letzten Ratenzahlung liegt.
\({E_{{\rm{vorsch}}}} = \left( {R \cdot \dfrac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}}} \right) \cdot q\)
\({E_{{\text{vorsch}}}} = R \cdot \dfrac{{{{\left( {1 + i} \right)}^n} - 1}}{i} \cdot \left( {1 + i} \right)\)
Barwert einer Rente mit nachschüssigen Raten
Der Barwert einer nachschüssigen Rente entspricht dem Zeitwert zu jenem Zeitpunkt, welcher 1 Zinsperiode vor der 1. Ratenzahlung liegt.
\({B_{{\rm{nachsch}}}} = \left( {R \cdot \dfrac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}}} \right) \cdot \dfrac{1}{{{q^n}}}\)
\({B_{{\text{nachsch}}}} = R \cdot \dfrac{{1 - {{\left( {1 + i} \right)}^{ - n}}}}{i}\)
Endwert einer Rente mit nachschüssigen Raten
Der Endwert einer nachschüssigen Rente entspricht dem Zeitwert zu jenem Zeitpunkt an dem die letzte Ratenzahlung erfolgt.
\({E_{{\rm{nachsch}}}} = \left( {R \cdot \dfrac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}}} \right)\)
\({E_{{\text{nachsch}}}} = R \cdot \dfrac{{{{\left( {1 + i} \right)}^n} - 1}}{i}\)
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Aufgaben
Aufgabe 4050
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Seegrundstück - Aufgabe B_415
Teil a
Für den Kauf eines Seegrundstucks benötigt der Käufer einen Kredit in Höhe von € 865.000. (Spesen und Gebühren werden nicht berücksichtigt.) Ein Kreditinstitut macht folgendes Angebot: Der Kreditnehmer bezahlt am Ende jedes Jahres eine Rate in Höhe von € 100.000 bei einem Zinssatz von 6,75 % p. a.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie, wie viele volle Raten der Kreditnehmer bezahlen muss.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Höhe des ein Jahr nach der letzten vollen Rate fälligen Restbetrags.
[1 Punkt]
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Aufgabe 4462
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Reisebus - Aufgabe B_516
Ein Reiseunternehmen plant, einen neuen Reisebus anzuschaffen.
Teil b
Für den Ankauf des Reisebusses hat das Reiseunternehmen in den letzten 8 Jahren eine Rücklage in Hohe von € 60.000 gebildet. Die Höhe der Rücklage ergibt sich aus einer Einmalzahlung in Höhe von € 20.000 und regelmäßigen Zahlungen R:
\(20\,000 \cdot {1,021^8} + R \cdot \dfrac{{{{1,021}^4} - 1}}{{1,021 - 1}} \cdot {1,021^2} = 60\,000\)
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Tragen Sie alle Zahlungen R auf der nachstehenden Zeitachse ein.
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Höhe von R.
[0 / 1 P.]
Aufgabe 4513
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Zinsentwicklung - Aufgabe B_528
Die Zinssätze für Kredite und Spareinlagen unterliegen zeitabhängigen Schwankungen.
Teil c
Ein Geldbetrag B wird 2 Jahre lang mit dem Jahreszinssatz i0 verzinst, danach weitere 3 Jahre mit einem geänderten Jahreszinssatz i1.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
1) Stellen Sie eine Formel für den Endwert E am Ende dieser 5 Jahre auf. Verwenden Sie dabei B, i0 und i1.
E =
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie für i0 = 3 % und i1 = 1 % denjenigen gleichbleibenden Jahreszinssatz i, bei dem der Betrag B innerhalb von 5 Jahren auf den gleichen Endwert E anwächst.
[0 / 1 P.]