Aufgabe 4462
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Reisebus - Aufgabe B_516
Ein Reiseunternehmen plant, einen neuen Reisebus anzuschaffen.
Teil b
Für den Ankauf des Reisebusses hat das Reiseunternehmen in den letzten 8 Jahren eine Rücklage in Hohe von € 60.000 gebildet. Die Höhe der Rücklage ergibt sich aus einer Einmalzahlung in Höhe von € 20.000 und regelmäßigen Zahlungen R:
\(20\,000 \cdot {1,021^8} + R \cdot \dfrac{{{{1,021}^4} - 1}}{{1,021 - 1}} \cdot {1,021^2} = 60\,000\)
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Tragen Sie alle Zahlungen R auf der nachstehenden Zeitachse ein.
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Höhe von R.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
\(20\,000 \cdot {1,021^8} + R \cdot \dfrac{{{{1,021}^4} - 1}}{{1,021 - 1}} \cdot {1,021^2} = 60\,000\)
Wir betrachten die beiden Summanden, die jeweils aus einem Produkt bestehen wie folgt:
- 1. Faktor vom 1. Summanden: 20000 € wurden angelegt.
- 2. Faktor vom 1. Summanden: Wegen n=8 Jahre wurden die 20000 € mit i=1,021 für den Betrachtungszeitraum von 8 Jahren verzinst.
- 1. Faktor vom 2. Summanden: Ein Blick in die Formelsammlung liefert den Endwert einer nachschüssigen Rente:\({E_{nach}} = R \cdot \dfrac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}}\)
Wegen n=4 liegen 4 nachschüssige Rentenzahlungen vor.
-
2. Faktor vom 2. Summanden: Also an 1,0212 sehen wir wegen n=2, dass der nachschüssige Endwert obiger 4 Ratenzahlungen für 2 weitere Jahre verzinst wird, ohne dass neue Raten dazu kämen. D.h. der Endwert muss 2 Jahre vor dem Ende des achtjährigen Betrachtungszeitraums, also im Jahr 6 vorgelegen haben. Die 4 Ratenzahlungen müssen auf Grund ihrer Nachschüssigkeit in den Jahren 3, 4, 5 und 6 erfolgt sein.
Somit sieht die Zeitachse wie folgt aus:
2. Teilaufgabe:
\(\eqalign{ & 20000 \cdot {1,021^8} + R \cdot \frac{{{{1,021}^4} - 1}}{{1,021 - 1}} \cdot {1,021^2} = 60000 \cr & R \approx 8455,2 \cr} \)
Man kann R zwar innerhalb von einer einzigen Zeile explizit machen, aber das was man dann in den Taschenrechner eintippen muss, ist ziemlich umfangreich:
\(\eqalign{ & 20000 \cdot {1,021^8} + R \cdot \dfrac{{{{1,021}^4} - 1}}{{1,021 - 1}} \cdot {1,021^2} = 60000 \cr & R = (60000 - 20000 \cdot {1,021^8}) \cdot \dfrac{{1,021 - 1}}{{{{1,021}^4} - 1}} \cdot \dfrac{1}{{{{1,021}^2}}} \approx 8455,2006 \cr} \)
Es ist wohl einfacher die Gleichung ohne Umformung in ein CAS einzugeben:
Wolfram Alpha: 20000*1.021^(8)+R*(1.021^(4)-1)/(1.021-1)*1.021^(2)=60000
Oder in der CAS Ansicht von GeoGebra: Man erspart sich Tipparbeit, wenn man vorab die Konstante q definiert.
→ Die Höhe von R beträgt € 8.455,20.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
2. Teilaufgabe
Die Höhe von R beträgt € 8.455,20.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Eintragen der vier Zahlungen.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Berechnen der Höhe von R.