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Dreiecke

Hier findest du folgende Inhalte

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Formeln
    Formeln
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    Allgemeines Dreieck

    Ein allgemeines Dreieck erhält man, indem man drei beliebige, nicht auf einer Geraden liegende Punkte durch Strecken verbindet.

    \(\begin{array}{l} a \ne b \ne c\\ \gamma \ne 90^\circ \end{array}\)

    • Mit drei Bestimmungsstücken (Seitenlänge, Innenwinkel), von denen mindestens eines eine Seitenlänge sein muss, ist ein Dreieck eindeutig definiert
    • Rechtwinkelige Dreiecke sind in der technischen Praxis der wichtigste Spezialfall der allgemeinen Dreiecke. Nur für diesen Spezialfall gilt der Satz des Pythagoras. Mit Hilfe der Höhen kann man allgemeine Dreiecke in zwei rechtwinkelige Dreiecke zerlegen.
    • Der längsten Seite liegt der größte Winkel gegenüber
    • Mindestens zwei der drei Innenwinkel sind spitze Winkel

    Beschriftung im allgemeinen Dreieck

    Im allgemeinen Dreieck ist es üblich, die Dreieckseiten mit a, b und c zu beschriftet. Üblich ist es, die längste Seite – die Hypotenuse – mit „c“ zu bezeichnen. Weiter gilt, auch bei „unüblicher“ Beschriftung, d.h. wenn a oder b als Hypotenuse vorgegeben sind:

    • Der Seite „a“ gegenüber liegt der Winkel „\(\alpha\)“
    • Der Seite „b“ gegenüber liegt der Winkel „\(\beta\)“
    • Der Seite „c“ gegenüber liegt der Winkel „\(\gamma\)“
    • Die Winkel und die Seiten werden gegen den Uhrzeigersinn beschriftet

    Illustration zur Beschriftung im allgemeinen Dreieck

    Bogen d Bogen d: Umkreisbogen(F, G, I) Winkel α Winkel α: Winkel zwischen B, A, C Winkel α Winkel α: Winkel zwischen B, A, C Winkel β Winkel β: Winkel zwischen C, B, A Winkel β Winkel β: Winkel zwischen C, B, A Winkel γ Winkel γ: Winkel zwischen A, C, B Winkel γ Winkel γ: Winkel zwischen A, C, B Strecke c Strecke c: Strecke A, B Strecke a Strecke a: Strecke B, C Strecke b Strecke b: Strecke A, C Strecke f Strecke f: Strecke K, I Strecke g Strecke g: Strecke K, I Strecke h Strecke h: Strecke J, I Vektor u Vektor u: Vektor(E, D) Vektor u Vektor u: Vektor(E, D) c Text1 = “c” a Text2 = “a” b Text3 = “b” α Text7 = “α” β Text8 = “β” γ Text9 = “γ”


    Dreiecksungleichungen

    Die Dreiecksungleichungen besagen, dass die Summe zweier Seitenlängen immer größer ist, als die dritte Seite

    \(a + b > c;\,\,\,\,\,a + c > b;\,\,\,\,\,b + c > a\)


    Winkelsumme im allgemeinen Dreieck

    • Innenwinkel: Die Summe aller 3 Innenwinkel beträgt 180°
      \(\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \)
    • Außenwinkel: Die Summe aller 3 Außenwinkel beträgt 360°
    • Außenwinkelsatz: Ein Außenwinkel (er ergänzt den Innenwinkel auf 180°) ist immer gleich groß, wie die Summe der zwei nicht anliegenden Innenwinkel

    Illustration zur Winkelsumme im allgemeinen Dreieck

    Dreieck poly1 Dreieck poly1: Polygon A, B, C Winkel α Winkel α: Winkel zwischen i, b Winkel α Winkel α: Winkel zwischen i, b Winkel β Winkel β: Winkel zwischen a, i Winkel β Winkel β: Winkel zwischen a, i Winkel γ Winkel γ: Winkel zwischen j, b Winkel γ Winkel γ: Winkel zwischen j, b Winkel δ Winkel δ: Winkel zwischen B, A, C Winkel δ Winkel δ: Winkel zwischen B, A, C Winkel ε Winkel ε: Winkel zwischen C, B, A Winkel ε Winkel ε: Winkel zwischen C, B, A Winkel ζ Winkel ζ: Winkel zwischen A, C, B Winkel ζ Winkel ζ: Winkel zwischen A, C, B Gerade i Gerade i: Linie A, B Gerade j Gerade j: Linie B, C Gerade l Gerade l: Linie C, A Strecke c Strecke c: Strecke A, B Strecke a Strecke a: Strecke B, C Strecke b Strecke b: Strecke C, A Punkt A A = (3.64, 5.98) Punkt A A = (3.64, 5.98) Punkt B B = (11.64, 5.96) Punkt B B = (11.64, 5.96) Punkt C C = (10.02, 10.98) Punkt C C = (10.02, 10.98) c Text1 = “c” a Text2 = “a” b Text3 = “b” A Text4 = “A” B Text5 = “B” C Text6 = “C” γ Text7 = “γ” α Text8 = “α” β Text9 = “β”


    Sinussatz

    Mit dem Sinussatz kann man in allgemeinen (also nicht unbedingt rechtwinkeligen) Dreiecken fehlende gegenüber liegende Seiten oder Winkel berechnen. Der Sinussatz gilt auch in Dreiecken OHNE rechtem Winkel. Der Sinussatz wird angewendet, wenn 1 Seite und 2 Winkel oder 2 Seiten und 1 Winkel gegeben sind, wobei die beiden gegebenen Seiten den gegebenen Winkel nicht einschließen dürfen.

    Der Sinussatz besagt, dass im allgemeinen Dreieck der Quotient aus jeder Seitenlänge und dem Sinus vom jeweils gegenüber liegenden Winkel, gleich groß ist.

    \(\dfrac{a}{{\sin \alpha }} = \dfrac{b}{{\sin \beta }} = \dfrac{c}{{\sin \gamma }}\)

    Wichtig: Die Beschriftung ist so zu wählen, dass jeweils die Seiten a, b und c den Winkeln \(\alpha ,\,\beta \,\,\,{\text{und }}\gamma \) gegenüber liegen.


    Kosinussatz

    Mit dem Kosinussatz kann die 3. Seite eines allgemeinen Dreiecks berechnen, wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt sind. Wichtig: Der Kosinussatz gilt auch in Dreiecken OHNE rechtem Winkel. Der Satz des Pythagoras ist ein Spezialfall vom Kosinussatz für Dreiecke MIT rechtem Winkel. Man sieht das auch sofort, da der Subtrahend im Kosinussatz zu null wird, weil der Kosinus von 90° null ist. Der Kosinus-Satz wird angewendet, wenn 3 Seiten oder 2 Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

    \(\begin{array}{l} {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc \cdot \cos \left( {\angle bc} \right)\\ {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac \cdot \cos \left( {\angle ac} \right)\\ {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab \cdot \cos \left( {\angle ab} \right) \end{array}\)

    Wichtig: Die Beschriftung ist so zu wählen, dass jeweils die Seiten a, b und c den Winkeln \(\alpha ,\,\beta \,\,\,{\text{und }}\gamma \) gegenüber liegen.


    Umfang eines allgemeinen Dreiecks

    Der Umfang eines jeden Dreiecks ergibt sich aus der Summe der drei Seitenlängen
    \(U = a + b + c\)


    Flächeninhalt eines allgemeinen Dreiecks

    Der Flächeninhalt eines allgemeinen Dreiecks errechnet sich aus "Seite mal zugehöriger Höhe halbe"
    \(A = a \cdot \dfrac{{{h_a}}}{2} = b \cdot \dfrac{{{h_b}}}{2} = c \cdot \dfrac{{{h_c}}}{2}\)

    Trigonometrische Flächenformel

    Der Flächeninhalt eines allgemeinen Dreiecks errechnet sich aus dem halben Produkt zweier Seiten mit dem Sinus des eingeschlossenen Winkels:

    \(A = \dfrac{{b \cdot c}}{2} \cdot \sin \alpha = \dfrac{{a \cdot c}}{2} \cdot \sin \beta = \dfrac{{a \cdot b}}{2} \cdot \sin \gamma\)


    Heron'sche Flächenformel

    Die Heron'sche Flächenformel dient zur Berechnung der Fläche eines allgemeinen Dreiecks, wenn alle 3 Seitenlängen a, b und c gegeben sind. Man erspart es sich dabei den Zwischenschritt, eine der Dreieckshöhen auszurechnen.

    \(\begin{array}{l} s = \dfrac{{a + b + c}}{2}\\ A = \sqrt {s \cdot \left( {s - a} \right) \cdot \left( {s - b} \right) \cdot \left( {s - c} \right)} \end{array}\)


    Aufteilung eines allgemeinen Dreiecks in zwei rechtwinkelige Dreiecke

    Mit Hilfe der Höhen ist es möglich aus einem allgemeinen Dreieck zwei rechtwinkelige Dreiecke zu machen, für die dann wieder der Satz vom Pythagoras gilt.

    \(\eqalign{ & {h_a} = b \cdot \sin \gamma = c \cdot \sin \beta \cr & {h_b} = c \cdot \sin \alpha = a \cdot \sin \gamma \cr & {h_c} = a \cdot \sin \beta = b \cdot \sin \alpha \cr} \)

    Für die Gültigkeit obiger Formeln muss die Seite c nicht die Hypotenuse sein, der Seite a muss aber der Winkel \(\alpha \) gegenüber liegen, usw.


    Illustration eines allgemeinen Dreiecks, welches entlang der Höhe hb in zwei rechtwinkelige Dreiecke aufgeteilt wird

    Dreieck d1 Dreieck d1: Polygon A, U, B Dreieck d2 Dreieck d2: Polygon C, U, B Bogen k Bogen k: Kreisbogen(M, N, O) Bogen poly2 Bogen poly2: Kreisbogen(C, S, T) Winkel α Winkel α: Winkel zwischen V, U, W Winkel α Winkel α: Winkel zwischen V, U, W Winkel β Winkel β: Winkel zwischen B_1, C_1, A_1 Winkel β Winkel β: Winkel zwischen B_1, C_1, A_1 Strecke c Strecke c: Strecke A, B Strecke a Strecke a: Strecke B, C Strecke b Strecke b: Strecke C, A Strecke g Strecke g: Strecke B, E Strecke b_1 Strecke b_1: Strecke A, U Strecke a_1 Strecke a_1: Strecke U, B Strecke u Strecke u: Strecke B, A Strecke b_2 Strecke b_2: Strecke C, U Strecke c_1 Strecke c_1: Strecke U, B Strecke u_1 Strecke u_1: Strecke B, C Punkt P P = (8.28, 9.3) Punkt P P = (8.28, 9.3) Punkt Z Z = (8.76, 9.67) Punkt Z Z = (8.76, 9.67) h_b text2 = “h_b” h_b text2 = “h_b” c Text1 = “c” a Text2 = “a” b Text3 = “b” A Text4 = “A” B Text5 = “B” C Text6 = “C” γ Text7 = “γ” $$\alpha $$ Text8 = “$$\alpha $$”


    Umkreisradius vom allgemeinen Dreieck

    Jedes allgemeine Dreieck hat einen Umkreis, dessen Mittelpunkt auf der Streckensymmetrale liegt. Bei spitzwinkeligen Dreiecken liegt er im Dreiecksinneren, bei rechtwinkeligen Dreiecken liegt er am Mittelkreis der Hypotenuse und bei einem Dreieck bei dem ein Winkel größer als 90° ist, liegt er außerhalb vom Dreieck.

    \({r_U} = \dfrac{a}{{2 \cdot \sin \alpha }} = \dfrac{b}{{2 \cdot \sin \beta }} = \dfrac{c}{{2 \cdot \sin \gamma }} = \dfrac{{a \cdot b \cdot c}}{{4 \cdot A}}\)


    Illustration vom Umkreis eines allgemeinen Dreiecks

    Kreis e Kreis e: Kreis durch M mit Mittelpunkt L Winkel α Winkel α: Winkel zwischen B, A, C Winkel α Winkel α: Winkel zwischen B, A, C Winkel β Winkel β: Winkel zwischen C, B, A Winkel β Winkel β: Winkel zwischen C, B, A Winkel γ Winkel γ: Winkel zwischen A, C, B Winkel γ Winkel γ: Winkel zwischen A, C, B Gerade i Gerade i: Streckensymmetrale b Gerade j Gerade j: Streckensymmetrale a Gerade k Gerade k: Streckensymmetrale c Strecke c Strecke c: Strecke A, B Strecke a Strecke a: Strecke B, C Strecke b Strecke b: Strecke A, C Vektor v Vektor v: Vektor(O, N) Vektor v Vektor v: Vektor(O, N) c Text1 = “c” a Text2 = “a” b Text3 = “b” α Text7 = “α” β Text8 = “β” γ Text9 = “γ” r_U Text10 = “r_U” r_U Text10 = “r_U”

    Allgemeines Dreieck
    Beschriftung allgemeines Dreieck
    Sinussatz
    Kosinussatz
    Umfang Dreieck
    Fläche allgemeines Dreieck
    Winkelsumme allgemeines Dreieck
    Heronsche Flächenformel
    Dreiecksungleichungen
    Umkreis allgemeines Dreieck
    Trigonometrische Flächenformel
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    Gleichschenkeliges Dreieck

    Ein gleichschenkeliges Dreieck ist ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten, den sogenannten Schenkeln und einer Basis. Bei einem gleichschenkeligen Dreieck sind die beiden Basiswinkel gleich groß. Das gleichseitige Dreieck ist ein Sonderfall vom gleichschenkeligen Dreieck, bei dem alle drei Seiten gleich lang sind. Man spricht dann aber wieder von "Seiten" und nicht von "Schenkeln".


    Basiswinkel im gleichschenkeligen Dreieck

    Die Basiswinkel im gleichschenkeligen Dreieck sind gleich groß
    \(\alpha = \beta ;\,\,\,\gamma \ne 90^\circ \)


    Schenkel vom gleichschenkeligen Dreieck

    Die Schenkel vom gleichschenkeligen Dreiecksind gleich lang
    \(a = b \ne c\)


    Schenkellänge im gleichschenkeligen Dreieck

    Die Länge der Schenkel im gleichschenkeligen Dreieck errechnet sich aus der Länge der Basis und aus der Höhe auf die Basis
    \(a = b = \sqrt {{{\left( {\dfrac{c}{2}} \right)}^2} + {h_c}^2} \)


    Basislänge im gleichschenkeligen Dreieck

    Die Länge der Basis im gleichschenkeligen Dreieck errechnet sich aus der Schenkellänge und aus der Höhe auf die Basis
    \(c = 2 \cdot \sqrt {{a^2} - {h_c}^2} \)


    Höhe auf die Basis im gleichschenkeligen Dreieck

    Die Höhe hc teilt das gleichschenkelige Dreieck in zwei kongruente Dreiecke, weil sie eine Symmetrieachse ist. Die Höhe auf die Basis halbiert die Basis.
    \({h_c} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{c}{2}} \right)}^2}} \)


    Umfang vom gleichschenkeligen Dreieck

    Der Umfang vom gleichschenkeligen Dreieck ergibt sich als doppelte Schenkellänge plus Basislänge
    \(U = 2a + c\)


    Fläche vom gleichschenkeligen Dreieck

    Die Fläche vom gleichschenkeligen Dreieck errechnet sich aus Basis mal halber Höhe auf die Basis
    \(A = c \cdot \dfrac{{{h_c}}}{2} = \dfrac{c}{2} \cdot \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{c^2}}}{4}} \)​


    Illustration vom gleichschenkeligen Dreieck

    Dreieck poly1 Dreieck poly1: Polygon A, B, C Bogen d Bogen d: Kreisbogen[E, F, G] Bogen e Bogen e: Kreisbogen[C, H, I] Strecke c Strecke c: Strecke [A, B] von Dreieck poly1 Strecke a Strecke a: Strecke [B, C] von Dreieck poly1 Strecke b Strecke b: Strecke [C, A] von Dreieck poly1 Strecke f Strecke f: Strecke [C, D] Punkt J J = (8.18, 8.74) Punkt J J = (8.18, 8.74) h_c text1 = "h_c" h_c text1 = "h_c" A Text1 = "A" B Text2 = "B" C Text3 = "C" c Text4 = "c" a Text5 = "a" b Text6 = "b" γ Text7 = "γ" α Text8 = "α" β Text9 = "β"

    Gleichschenkeliges Dreieck
    Basiswinkel gleichschenkeliges Dreieck
    Schenkellänge gleichschenkeliges Dreieck
    Basislänge gleichschenkeliges Dreieck
    Umfang gleichschenkeliges Dreieck
    Fläche gleichschenkeliges Dreieck
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    Gleichseitiges Dreieck

    Beim gleichseitigen Dreieck handelt es sich um ein Dreieck mit drei gleichlangen Seiten


    Seitenlänge beim gleichseitigen Dreieck

    Beim gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten gleich lang
    \(a = b = c = \dfrac{{2 \cdot h}}{{\sqrt 3 }}\)


    Innenwinkel beim gleichseitigen Dreieck

    Beim gleichseitigen Dreieck betragen alle drei Innenwinkel 60°
    \(\alpha = \beta = \gamma\)


    Höhe beim gleichseitigen Dreieck

    Beim gleichseitigen Dreieck sind alle drei Höhen gleich lang
    \(h = \dfrac{a}{2} \cdot \sqrt 3 \)


    Umfang vom gleichseitigen Dreieck

    Beim gleichseitigen Dreieck errechnet sich der Umfang als Summe der drei gleichlangen Seiten
    \(U = a + a + a = 3a\)


    Fläche vom gleichseitigen Dreieck

    Beim gleichseitigen Dreieck errechnet sich die Fläche als Produkt der Seitenlänge mal halber Höhe
    \(A = {a^2} \cdot \dfrac{{\sqrt 3 }}{4} = a \cdot \dfrac{h}{2}\)


    Illustration vom gleichseitigen Dreieck

    Dreieck poly1 Dreieck poly1: Polygon A, B, C Bogen d Bogen d: Kreisbogen[E, F, G] Bogen e Bogen e: Kreisbogen[C, H, I] Kreis g Kreis g: Kreis durch L mit Mittelpunkt K Kreis h Kreis h: Kreis durch K mit Mittelpunkt L Kreis k Kreis k: Kreis durch K mit Mittelpunkt M Strecke c Strecke c: Strecke [A, B] von Dreieck poly1 Strecke a Strecke a: Strecke [B, C] von Dreieck poly1 Strecke b Strecke b: Strecke [C, A] von Dreieck poly1 Strecke f Strecke f: Strecke [C, D] Punkt J J = (8.18, 8.74) Punkt J J = (8.18, 8.74) Punkt K Punkt K: Schnittpunkt von c, b Punkt K Punkt K: Schnittpunkt von c, b Punkt L Punkt L: Schnittpunkt von c, a Punkt L Punkt L: Schnittpunkt von c, a Punkt M Punkt M: Schnittpunkt von g, h Punkt M Punkt M: Schnittpunkt von g, h h_c text1 = "h_c" h_c text1 = "h_c" A Text1 = "A" B Text2 = "B" C Text3 = "C" c Text4 = "c" a Text5 = "a" b Text6 = "b" γ Text7 = "γ" α Text8 = "α" β Text9 = "β"

    Gleichseitiges Dreieck
    Seitenlänge gleichseitiges Dreieck
    Innenwinkel gleichseitiges Dreieck
    Höhe gleichseitiges Dreieck
    Umfang gleichseitiges Dreieck
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    Aufgaben

    Rechtwinkeliges Dreieck

    Das rechtwinkelige Dreieck ist ein Dreieck mit einem rechten Winkel. Dem rechten Winkel gegenüber liegt die längste Seite, die Hypotenuse. Die beiden an den rechten Winkel angrenzenden Seiten sind kürzer und heißen Katheten.


    Bezeichnungen im rechtwinkeligen Dreieck

    • Die Hypotenuse wird durch die Höhenlinie in 2 Hypotenusenabschnitte p und q geteilt.
    • Die Satzgruppe des Pythagoras, bestehend aus dem Satz des Pythagoras, dem Katheten- und dem Höhensatz des Euklid beschreiben die jeweiligen Zusammenhänge.
    • Für jeden der beiden spitzen Winkel gilt, dass an ihm eine Kathete anliegt - die Ankathete und dass ihm die andere Kathete gegenüber liegt - die Gegenkathete
    • Wichtig ist, dass obige Sätze nur in Dreiecken MIT rechtem Winkel gelten. Der Satz des Pythagoras ist ein Spezialfall vom Kosinus-Satz. Letzterer gilt auch in Dreiecken OHNE rechtem Winkel.
    a Gegenkathete, liegt gegenüber von \(\alpha\)
    b Ankathete, liegt \(\alpha\) an
    c Hypotenuse, die längste Seite, liegt gegenüber vom rechten Winkel
    \(\alpha\) Winkel, der von Ankathete und Hypotenuse eingeschlossen wird
    p, q Hypotenusenabschnitte

    Hypotenuse

    Die Hypotenuse ist die längste Seite im rechtwinkeligen Dreieck. Sie liegt gegenüber vom rechten Winkel.


    Katheten

    Die Katheten sind die beiden kürzeren Seiten im rechtwinkeligen Dreieck. Sie liegen links und rechts vom rechten Winkel


    Innenwinkel im rechtwinkeligen Dreieck

    Die Summe aller 3 Innenwinkel im rechtwinkeligen Dreieck beträgt 180°
    \(\alpha + \beta = 90^\circ = \gamma \)


    Umfang vom rechtwinkeligen Dreieck

    Der Umfang eines jeden Dreiecks ergibt sich aus der Summe der drei Seitenlängen
    \(U = a + b + c\)


    Flächeninhalt vom rechtwinkeligen Dreieck

    Der Flächeninhalt eines jeden Dreiecks errechnet sich aus "Seite mal zugehöriger Höhe halbe"
    \(A = \dfrac{{a \cdot b}}{2} = a \cdot \dfrac{{{h_a}}}{2} = b \cdot \dfrac{{{h_b}}}{2} = c \cdot \dfrac{{{h_c}}}{2}\)


    Illustration vom rechtwinkeligen Dreieck

    Dreieck poly1 Dreieck poly1: Polygon A, B, C Bogen d Bogen d: Kreisbogen(E, F, G) Bogen e Bogen e: Kreisbogen(C, H, I) Winkel α Winkel α: Winkel zwischen M, A, L Winkel α Winkel α: Winkel zwischen M, A, L Winkel β Winkel β: Winkel zwischen O, B, N Winkel β Winkel β: Winkel zwischen O, B, N Strecke c Strecke c: Strecke A, B Strecke a Strecke a: Strecke B, C Strecke b Strecke b: Strecke C, A Strecke f Strecke f: Strecke C, D Strecke i Strecke i: Strecke B, P Strecke j Strecke j: Strecke Q, A Punkt A A = (4.14, 8.5) Punkt A A = (4.14, 8.5) Punkt B B = (11.36, 8.5) Punkt B B = (11.36, 8.5) Punkt C C = (6.12, 12.34) Punkt C C = (6.12, 12.34) Punkt J J = (6.34, 8.74) Punkt J J = (6.34, 8.74) Punkt K K = (6.25, 12.04) Punkt K K = (6.25, 12.04) h_c text1 = “h_c” h_c text1 = “h_c” A Text1 = “A” B Text2 = “B” C Text3 = “C” c = Hypotenuse Text4 = “c = Hypotenuse” a = Kathete Text5 = “a = Kathete” b = Kathete Text6 = “b = Kathete” γ Text7 = “γ” α Text8 = “α” β Text9 = “β” h_b Text10 = “h_b” h_b Text10 = “h_b” h_a Text11 = “h_a” h_a Text11 = “h_a” p Text12 = “p” q Text13 = “q”


    Satz des Pythagoras

    Der Satz vom Pythagoras besagt, dass in jedem rechtwinkeligen Dreieck die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den beiden Katheten a,b, gleich ist dem Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse c. Nochmals laut und deutlich: Der Satz des Pythagoras gilt nur im rechtwinkeligen Dreieck, nicht im allgemeinen Dreieck! Der Satz des Pythagoras ist ein Spezialfall vom Kosinussatz, der auch für allgemeine Dreiecke gilt.

    \({a^2} + {b^2} = {c^2}\)

    Der Satz des Pythagoras stellt eine Beziehung zwischen den drei Seiten eines rechtwinkeligen Dreieck her, die es ganz einfach erlaubt aus je zwei Seiten die dritte Seite zu errechnen.

    \(\eqalign{ & a = \sqrt {{c^2} - {b^2}} \cr & b = \sqrt {{c^2} - {a^2}} \cr & c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \cr} \)


    Illustration vom Satz des Pythagoras

    Vieleck poly1 Vieleck poly1: Vieleck[A, B, 4] Vieleck poly1 Vieleck poly1: Vieleck[A, B, 4] Vieleck poly2 Vieleck poly2: Vieleck[D, E, 4] Vieleck poly2 Vieleck poly2: Vieleck[D, E, 4] Vieleck poly3 Vieleck poly3: Vieleck[E, C, 4] Vieleck poly3 Vieleck poly3: Vieleck[E, C, 4] Strecke f Strecke f: Strecke [A, B] von Vieleck poly1 Strecke g Strecke g: Strecke [B, C] von Vieleck poly1 Strecke h Strecke h: Strecke [C, D] von Vieleck poly1 Strecke i Strecke i: Strecke [D, A] von Vieleck poly1 Strecke j Strecke j: Strecke [D, E] von Vieleck poly2 Strecke k Strecke k: Strecke [E, F] von Vieleck poly2 Strecke l Strecke l: Strecke [F, G] von Vieleck poly2 Strecke m Strecke m: Strecke [G, D] von Vieleck poly2 Strecke n Strecke n: Strecke [E, C] von Vieleck poly3 Strecke p Strecke p: Strecke [C, H] von Vieleck poly3 Strecke q Strecke q: Strecke [H, I] von Vieleck poly3 Strecke r Strecke r: Strecke [I, E] von Vieleck poly3 c^2 text1 = "c^2" c^2 text1 = "c^2" b^2 text2 = "b^2" b^2 text2 = "b^2" a^2 text3 = "a^2" a^2 text3 = "a^2" c Text1 = "c" a Text2 = "a" b Text3 = "b" A Text4 = "A" B Text5 = "B" C Text6 = "C"

    Beispiel
    Gegeben sei von einem rechtwinkeligen Dreieck die Hypotenuse c=5 und eine Kathete mit b=4 Längeneinheiten.
    Gesucht ist die Länge der fehlenden Kathete a

    \(a = \sqrt {{c^2} - {b^2}} = \sqrt {{5^2} - {4^2}} = \sqrt {25 - 16} = \sqrt 9 = 3\)


    Kathetensatz des Euklid

    Der Kathetensatz des Euklid besagt, dass in jedem rechtwinkeligen Dreieck der Flächeninhalt des Quadrats über jeder der beiden Katheten a bzw. b gleich ist dem Flächeninhalt des Rechtecks aus der Hypotenuse c und dem der jeweiligen Kathete anliegenden Hypotenusenabschnitt p bzw. q.

    \(\eqalign{ & {a^2} = c \cdot q \cr & {b^2} = c \cdot p \cr} \)


    Illustration vom Kathetensatz des Euklid

    Vieleck poly2 Vieleck poly2: Vieleck(D, E, 4) Vieleck poly2 Vieleck poly2: Vieleck(D, E, 4) Vieleck poly3 Vieleck poly3: Vieleck(E, C, 4) Vieleck poly3 Vieleck poly3: Vieleck(E, C, 4) Viereck Vieleck1 Viereck Vieleck1: Polygon A, M, N, J Viereck Vieleck2 Viereck Vieleck2: Polygon M, B, K, N Bogen c Bogen c: Halbkreis durch J und K Strecke j Strecke j: Strecke D, E Strecke k Strecke k: Strecke E, F Strecke l Strecke l: Strecke F, G Strecke m Strecke m: Strecke G, D Strecke n Strecke n: Strecke E, C Strecke p Strecke p: Strecke C, H Strecke q Strecke q: Strecke H, I Strecke r Strecke r: Strecke I, E Strecke s Strecke s: Strecke E, M Strecke a Strecke a: Strecke A, M Strecke m_1 Strecke m_1: Strecke M, N Strecke n_1 Strecke n_1: Strecke N, J Strecke j_1 Strecke j_1: Strecke J, A Strecke m_2 Strecke m_2: Strecke M, B Strecke b Strecke b: Strecke B, K Strecke k_1 Strecke k_1: Strecke K, N Strecke n_2 Strecke n_2: Strecke N, M A Text1 = “A” B Text2 = “B” C Text3 = “C” a Text4 = “a” b Text5 = “b” q Text6 = “q” p Text7 = “p” c Text8 = “c” $$c \cdot q$$ Text9 = “$$c \cdot q$$” $$c \cdot q$$ Text9 = “$$c \cdot q$$” $$c \cdot q$$ Text9 = “$$c \cdot q$$” $$c \cdot p$$ Text10 = “$$c \cdot p$$” $$c \cdot p$$ Text10 = “$$c \cdot p$$” $$c \cdot p$$ Text10 = “$$c \cdot p$$” b² Text11 = “b²” a² Text12 = “a²”


    Höhensatz des Euklid

    Der Höhensatz des Euklid besagt, dass in jedem rechtwinkeligen Dreieck der Flächeninhalt des Quadrats über der Höhe hc gleich ist dem Flächeninhalt des Rechtecks, aus den beiden Hypotenusenabschnitten p und q.


    Hypotenusenabschnitt

    Zeichnet man im rechtwinkeligen Dreieck die Höhe auf die Hypotenuse ein, so teilt der Fußpunkt der Höhe die Hypotenuse in die beiden Hypotenusenabschnitte, die üblicher Weise mit p und q bezeichnet werden

    \({h_c}^2 = p \cdot q;\)


    Illustration vom Höhensatz des Euklid

    Viereck poly1 Viereck poly1: Polygon A, B, C, D Vieleck poly2 Vieleck poly2: Vieleck(B, E, 4) Vieleck poly2 Vieleck poly2: Vieleck(B, E, 4) Bogen e Bogen e: Kreisbogen(B, C, W) Bogen p Bogen p: Kreisbogen(H, W, I) Bogen q Bogen q: Kreisbogen(J, I, K) Winkel α Winkel α: Winkel zwischen A, G, W Winkel α Winkel α: Winkel zwischen A, G, W Strecke a Strecke a: Strecke A, B Strecke b Strecke b: Strecke B, C Strecke c Strecke c: Strecke C, D Strecke d Strecke d: Strecke D, A Strecke f Strecke f: Strecke B, E Strecke g Strecke g: Strecke E, F Strecke h Strecke h: Strecke F, G Strecke i Strecke i: Strecke G, B Strecke j Strecke j: Strecke A, G Strecke k Strecke k: Strecke G, W Strecke l Strecke l: Strecke L, W Punkt N N = (8.9, 8.71) Punkt N N = (8.9, 8.71) h_c^2 text1 = “h_c^2” h_c^2 text1 = “h_c^2” h_c^2 text1 = “h_c^2” p.q text2 = “p.q” h_c Text1 = “h_c” h_c Text1 = “h_c” p Text2 = “p” q Text3 = “q” q Text4 = “q”


    Beispiel:
    Bevor ein Transporter durch einen Tunnel mit Gegenverkehr fährt prüft der Fahrer ob sich die Durchfahrt mit der Höhe überhaupt ausgeht. Er schätzt den Gehsteig links und rechts auf je 1m Breite und die Fahrbahn auf 6m Breite. Aus den Wagenpapieren entnimmt er die Höhe seines Transporters zu 2,477m. Er beabsichtigt so weit wie möglich rechts, also direkt neben dem Gehsteig zu fahren.

    Viereck v1 Viereck v1: Polygon T, S, R, H Viereck v2 Viereck v2: Polygon A_1, B_1, V_1, U_1 Viereck v2 Viereck v2: Polygon A_1, B_1, V_1, U_1 Viereck v3 Viereck v3: Polygon C_1, D_1, B_1, A_1 Viereck v3 Viereck v3: Polygon C_1, D_1, B_1, A_1 Viereck v4 Viereck v4: Polygon E_1, F_1, D_1, C_1 Viereck v4 Viereck v4: Polygon E_1, F_1, D_1, C_1 Viereck v5 Viereck v5: Polygon G_1, H_1, F_1, E_1 Viereck v5 Viereck v5: Polygon G_1, H_1, F_1, E_1 Viereck v6 Viereck v6: Polygon I_1, J_1, H_1, G_1 Viereck v6 Viereck v6: Polygon I_1, J_1, H_1, G_1 Dreieck d1 Dreieck d1: Polygon J_1, K_1, H_1 Dreieck d1 Dreieck d1: Polygon J_1, K_1, H_1 Viereck v7 Viereck v7: Polygon L_1, M_1, J_1, I_1 Viereck v7 Viereck v7: Polygon L_1, M_1, J_1, I_1 Viereck v8 Viereck v8: Polygon M_1, N_1, K_1, J_1 Viereck v8 Viereck v8: Polygon M_1, N_1, K_1, J_1 Viereck v9 Viereck v9: Polygon O_1, P_1, M_1, L_1 Viereck v9 Viereck v9: Polygon O_1, P_1, M_1, L_1 Viereck v10 Viereck v10: Polygon P_1, Q_1, N_1, M_1 Viereck v10 Viereck v10: Polygon P_1, Q_1, N_1, M_1 Viereck v11 Viereck v11: Polygon R_1, S_1, P_1, O_1 Viereck v11 Viereck v11: Polygon R_1, S_1, P_1, O_1 Viereck v12 Viereck v12: Polygon S_1, T_1, Q_1, P_1 Viereck v12 Viereck v12: Polygon S_1, T_1, Q_1, P_1 Viereck v13 Viereck v13: Polygon W_1, Z_1, A_2, R_1 Viereck v13 Viereck v13: Polygon W_1, Z_1, A_2, R_1 Viereck v14 Viereck v14: Polygon Z_1, B_2, C_2, A_2 Viereck v14 Viereck v14: Polygon Z_1, B_2, C_2, A_2 Viereck v15 Viereck v15: Polygon B_2, I_2, H_2, C_2 Viereck v15 Viereck v15: Polygon B_2, I_2, H_2, C_2 Dreieck d2 Dreieck d2: Polygon T_1, L_2, Q_1 Dreieck d2 Dreieck d2: Polygon T_1, L_2, Q_1 Viereck v16 Viereck v16: Polygon I_2, G_2, F_2, H_2 Viereck v16 Viereck v16: Polygon I_2, G_2, F_2, H_2 Viereck v17 Viereck v17: Polygon G_2, D_2, E_2, F_2 Viereck v17 Viereck v17: Polygon G_2, D_2, E_2, F_2 Viereck v18 Viereck v18: Polygon E_2, N_2, O_2, P_2 Viereck v18 Viereck v18: Polygon E_2, N_2, O_2, P_2 Viereck v19 Viereck v19: Polygon P_2, O_2, Q_2, R_2 Viereck v19 Viereck v19: Polygon P_2, O_2, Q_2, R_2 Dreieck d3 Dreieck d3: Polygon Q_2, M_2, R_2 Dreieck d3 Dreieck d3: Polygon Q_2, M_2, R_2 Viereck v20 Viereck v20: Polygon N_2, V_2, S_2, O_2 Viereck v20 Viereck v20: Polygon N_2, V_2, S_2, O_2 Viereck v21 Viereck v21: Polygon O_2, S_2, W_2, Q_2 Viereck v21 Viereck v21: Polygon O_2, S_2, W_2, Q_2 Viereck v22 Viereck v22: Polygon V_2, U_2, T_2, S_2 Viereck v22 Viereck v22: Polygon V_2, U_2, T_2, S_2 Viereck v23 Viereck v23: Polygon S_2, T_2, Z_2, W_2 Viereck v23 Viereck v23: Polygon S_2, T_2, Z_2, W_2 Viereck v24 Viereck v24: Polygon U_2, B_3, A_3, T_2 Viereck v24 Viereck v24: Polygon U_2, B_3, A_3, T_2 Dreieck d4 Dreieck d4: Polygon Z_2, T_2, A_3 Dreieck d4 Dreieck d4: Polygon Z_2, T_2, A_3 Viereck v25 Viereck v25: Polygon B_3, C_3, D_3, A_3 Viereck v25 Viereck v25: Polygon B_3, C_3, D_3, A_3 Viereck v26 Viereck v26: Polygon C_3, E_3, F_3, D_3 Viereck v26 Viereck v26: Polygon C_3, E_3, F_3, D_3 Viereck v27 Viereck v27: Polygon E_3, G_3, H_3, F_3 Viereck v27 Viereck v27: Polygon E_3, G_3, H_3, F_3 Viereck v28 Viereck v28: Polygon G_3, I_3, J_3, H_3 Viereck v28 Viereck v28: Polygon G_3, I_3, J_3, H_3 Bogen c Bogen c: Kreisbogen(G, K, M) Strecke f Strecke f: Strecke N, F Strecke g Strecke g: Strecke F, L Strecke h Strecke h: Strecke L, M Strecke i Strecke i: Strecke N, P Strecke j Strecke j: Strecke P, Q Strecke k Strecke k: Strecke Q, O Strecke l Strecke l: Strecke O, H Strecke m Strecke m: Strecke H, J Strecke n Strecke n: Strecke J, K Strecke p Strecke p: Strecke F, H Strecke q Strecke q: Strecke M, E Strecke t Strecke t: Strecke T, S Strecke s Strecke s: Strecke S, R Strecke r Strecke r: Strecke R, H Strecke h_1 Strecke h_1: Strecke H, T Strecke a Strecke a: Strecke E, R Strecke b Strecke b: Strecke R, I Strecke d Strecke d: Strecke K, I Strecke a_1 Strecke a_1: Strecke A_1, B_1 Strecke b_1 Strecke b_1: Strecke B_1, V_1 Strecke f_1 Strecke f_1: Strecke V_1, U_1 Strecke g_1 Strecke g_1: Strecke U_1, A_1 Strecke c_1 Strecke c_1: Strecke C_1, D_1 Strecke d_1 Strecke d_1: Strecke D_1, B_1 Strecke i_1 Strecke i_1: Strecke B_1, A_1 Strecke j_1 Strecke j_1: Strecke A_1, C_1 Strecke e_1 Strecke e_1: Strecke E_1, F_1 Strecke k_1 Strecke k_1: Strecke F_1, D_1 Strecke l_1 Strecke l_1: Strecke D_1, C_1 Strecke m_1 Strecke m_1: Strecke C_1, E_1 Strecke n_1 Strecke n_1: Strecke G_1, H_1 Strecke p_1 Strecke p_1: Strecke H_1, F_1 Strecke q_1 Strecke q_1: Strecke F_1, E_1 Strecke r_1 Strecke r_1: Strecke E_1, G_1 Strecke s_1 Strecke s_1: Strecke I_1, J_1 Strecke t_1 Strecke t_1: Strecke J_1, H_1 Strecke f_2 Strecke f_2: Strecke H_1, G_1 Strecke g_2 Strecke g_2: Strecke G_1, I_1 Strecke h_2 Strecke h_2: Strecke J_1, K_1 Strecke i_2 Strecke i_2: Strecke K_1, H_1 Strecke j_2 Strecke j_2: Strecke H_1, J_1 Strecke k_2 Strecke k_2: Strecke L_1, M_1 Strecke l_2 Strecke l_2: Strecke M_1, J_1 Strecke m_2 Strecke m_2: Strecke J_1, I_1 Strecke n_2 Strecke n_2: Strecke I_1, L_1 Strecke p_2 Strecke p_2: Strecke M_1, N_1 Strecke q_2 Strecke q_2: Strecke N_1, K_1 Strecke r_2 Strecke r_2: Strecke K_1, J_1 Strecke s_2 Strecke s_2: Strecke J_1, M_1 Strecke o_1 Strecke o_1: Strecke O_1, P_1 Strecke t_2 Strecke t_2: Strecke P_1, M_1 Strecke a_2 Strecke a_2: Strecke M_1, L_1 Strecke b_2 Strecke b_2: Strecke L_1, O_1 Strecke c_2 Strecke c_2: Strecke P_1, Q_1 Strecke d_2 Strecke d_2: Strecke Q_1, N_1 Strecke e_2 Strecke e_2: Strecke N_1, M_1 Strecke f_3 Strecke f_3: Strecke M_1, P_1 Strecke g_3 Strecke g_3: Strecke R_1, S_1 Strecke h_3 Strecke h_3: Strecke S_1, P_1 Strecke i_3 Strecke i_3: Strecke P_1, O_1 Strecke j_3 Strecke j_3: Strecke O_1, R_1 Strecke k_3 Strecke k_3: Strecke S_1, T_1 Strecke l_3 Strecke l_3: Strecke T_1, Q_1 Strecke m_3 Strecke m_3: Strecke Q_1, P_1 Strecke n_3 Strecke n_3: Strecke P_1, S_1 Strecke w_1 Strecke w_1: Strecke W_1, Z_1 Strecke z_1 Strecke z_1: Strecke Z_1, A_2 Strecke p_3 Strecke p_3: Strecke A_2, R_1 Strecke q_3 Strecke q_3: Strecke R_1, W_1 Strecke r_3 Strecke r_3: Strecke Z_1, B_2 Strecke s_3 Strecke s_3: Strecke B_2, C_2 Strecke t_3 Strecke t_3: Strecke C_2, A_2 Strecke a_3 Strecke a_3: Strecke A_2, Z_1 Strecke b_3 Strecke b_3: Strecke B_2, I_2 Strecke c_3 Strecke c_3: Strecke I_2, H_2 Strecke d_3 Strecke d_3: Strecke H_2, C_2 Strecke e_3 Strecke e_3: Strecke C_2, B_2 Strecke f_4 Strecke f_4: Strecke T_1, L_2 Strecke g_4 Strecke g_4: Strecke L_2, Q_1 Strecke h_4 Strecke h_4: Strecke Q_1, T_1 Strecke i_4 Strecke i_4: Strecke I_2, G_2 Strecke j_4 Strecke j_4: Strecke G_2, F_2 Strecke k_4 Strecke k_4: Strecke F_2, H_2 Strecke l_4 Strecke l_4: Strecke H_2, I_2 Strecke m_4 Strecke m_4: Strecke G_2, D_2 Strecke n_4 Strecke n_4: Strecke D_2, E_2 Strecke p_4 Strecke p_4: Strecke E_2, F_2 Strecke q_4 Strecke q_4: Strecke F_2, G_2 Strecke r_4 Strecke r_4: Strecke E_2, N_2 Strecke s_4 Strecke s_4: Strecke N_2, O_2 Strecke o_2 Strecke o_2: Strecke O_2, P_2 Strecke t_4 Strecke t_4: Strecke P_2, E_2 Strecke a_4 Strecke a_4: Strecke P_2, O_2 Strecke b_4 Strecke b_4: Strecke O_2, Q_2 Strecke c_4 Strecke c_4: Strecke Q_2, R_2 Strecke d_4 Strecke d_4: Strecke R_2, P_2 Strecke e_4 Strecke e_4: Strecke Q_2, M_2 Strecke f_5 Strecke f_5: Strecke M_2, R_2 Strecke g_5 Strecke g_5: Strecke R_2, Q_2 Strecke h_5 Strecke h_5: Strecke N_2, V_2 Strecke v_2 Strecke v_2: Strecke V_2, S_2 Strecke i_5 Strecke i_5: Strecke S_2, O_2 Strecke j_5 Strecke j_5: Strecke O_2, N_2 Strecke k_5 Strecke k_5: Strecke O_2, S_2 Strecke l_5 Strecke l_5: Strecke S_2, W_2 Strecke w_2 Strecke w_2: Strecke W_2, Q_2 Strecke m_5 Strecke m_5: Strecke Q_2, O_2 Strecke n_5 Strecke n_5: Strecke V_2, U_2 Strecke u_2 Strecke u_2: Strecke U_2, T_2 Strecke p_5 Strecke p_5: Strecke T_2, S_2 Strecke q_5 Strecke q_5: Strecke S_2, V_2 Strecke r_5 Strecke r_5: Strecke S_2, T_2 Strecke s_5 Strecke s_5: Strecke T_2, Z_2 Strecke z_2 Strecke z_2: Strecke Z_2, W_2 Strecke t_5 Strecke t_5: Strecke W_2, S_2 Strecke a_5 Strecke a_5: Strecke U_2, B_3 Strecke b_5 Strecke b_5: Strecke B_3, A_3 Strecke c_5 Strecke c_5: Strecke A_3, T_2 Strecke d_5 Strecke d_5: Strecke T_2, U_2 Strecke e_5 Strecke e_5: Strecke Z_2, T_2 Strecke f_6 Strecke f_6: Strecke T_2, A_3 Strecke g_6 Strecke g_6: Strecke A_3, Z_2 Strecke h_6 Strecke h_6: Strecke B_3, C_3 Strecke i_6 Strecke i_6: Strecke C_3, D_3 Strecke j_6 Strecke j_6: Strecke D_3, A_3 Strecke k_6 Strecke k_6: Strecke A_3, B_3 Strecke l_6 Strecke l_6: Strecke C_3, E_3 Strecke m_6 Strecke m_6: Strecke E_3, F_3 Strecke n_6 Strecke n_6: Strecke F_3, D_3 Strecke p_6 Strecke p_6: Strecke D_3, C_3 Strecke q_6 Strecke q_6: Strecke E_3, G_3 Strecke r_6 Strecke r_6: Strecke G_3, H_3 Strecke s_6 Strecke s_6: Strecke H_3, F_3 Strecke t_6 Strecke t_6: Strecke F_3, E_3 Strecke a_6 Strecke a_6: Strecke G_3, I_3 Strecke b_6 Strecke b_6: Strecke I_3, J_3 Strecke c_6 Strecke c_6: Strecke J_3, H_3 Strecke d_6 Strecke d_6: Strecke H_3, G_3 Vektor u Vektor u: Vektor(U, V) Vektor u Vektor u: Vektor(U, V) Vektor v Vektor v: Vektor(V, U) Vektor v Vektor v: Vektor(V, U) Vektor w Vektor w: Vektor(V, W) Vektor w Vektor w: Vektor(V, W) Vektor e Vektor e: Vektor(W, V) Vektor e Vektor e: Vektor(W, V) Vektor u_1 Vektor u_1: Vektor(W, Z) Vektor u_1 Vektor u_1: Vektor(W, Z) Vektor v_1 Vektor v_1: Vektor(Z, W) Vektor v_1 Vektor v_1: Vektor(Z, W) Transporter b=1,904m h=2,477m Text1 = “Transporter b=1,904m h=2,477m” Transporter b=1,904m h=2,477m Text1 = “Transporter b=1,904m h=2,477m” Transporter b=1,904m h=2,477m Text1 = “Transporter b=1,904m h=2,477m” Gehsteig=1m Text2 = “Gehsteig=1m” Gehsteig=1m Text3 = “Gehsteig=1m” Fahrbahn=6m Text4 = “Fahrbahn=6m” p=1m+6m=7m Text5 = “p=1m+6m=7m” q=1m Text6 = “q=1m” h_c=2,65m Text7 = “h_c=2,65m” h_c=2,65m Text7 = “h_c=2,65m” h_c=2,65m Text7 = “h_c=2,65m”

    Lösungsweg:
    Für seine Berechnung zieht der Fahrer den Höhensatz des Euklid heran:
    \(\eqalign{ & {h_c}^2 = p \cdot q \cr & {h_c} = \sqrt {p \cdot q} = \sqrt {7 \cdot 1} = 2,65m > 2,477m \cr} \)

    Die Durchfahrt sollte auch bei Gegenverkehr möglich sein

    Rechtwinkeliges Dreieck
    Gegenkathete
    Ankathete
    Hypotenuse
    Katheten
    Kathetensatz des Euklid
    Satz des Pythagoras
    Innenwinkel rechtwinkeliges Dreieck
    Umfang rechtwinkeliges Dreieck
    Fläche rechtwinkeliges Dreieck
    Höhensatz des Euklid
    Hypotenusenabschnitt
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    Wissenspfad
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    Besondere Punkte im Dreieck

    In jedem Dreieck gibt es vier besondere Punkte

    • Drei davon, der Höhenschnittpunkt, der Umkreismittelpunkt und der Schwerpunkt liegen sogar auf einer gemeinsamen Geraden, der Euler'schen Geraden.
    • Der vierte besondere Punkt ist der Inkreismittelpunkt.

    Höhenschnittpunkt im Dreieck

    Eine Höhenlinie auf eine Seite entspricht dem kürzesten Abstand dieser Seite, dem „Normalabstand“, zum gegenüber liegenden Eckpunkt. Die drei Höhen eines Dreiecks schneiden einander im sogenannten Höhenschnittpunkt H. Der Höhenschnittpunkt liegt innerhalb der Figur bei einem spitzwinkeligen Dreiecks und ausserhalb bei einem stumpfwinkeligen Dreieck. Im stumpfwinkeligen Dreieck muss man daher die Seite über den Eckpunkt hinaus verlängern, um die Höhe in den gegenüber liegenden Eckpunkt zeichnen zu können.

    Gerade ha Gerade ha: Gerade durch A senkrecht zu a Gerade hc Gerade hc: Gerade durch C senkrecht zu c Gerade hb Gerade hb: Gerade durch B senkrecht zu b Strecke c Strecke c: Strecke [A, B] Strecke a Strecke a: Strecke [B, C] Strecke b Strecke b: Strecke [A, C] c Text1 = "c" a Text2 = "a" b Text3 = "b" h_a Text4 = "h_a" h_a Text4 = "h_a" h_c Text5 = "h_c" h_c Text5 = "h_c" h_b Text6 = "h_b" h_b Text6 = "h_b"


    Umkreismittelpunkt im Dreieck

    Eine Streckensymmetrale geht durch den Halbierungspunkt einer Seite des Dreiecks und steht normal auf diese Seite. Die drei Streckensymmetralen schneiden einander im Umkreismittelpunkt, der von allen drei Eckpunkten des Dreiecks gleich weit entfernt liegt. Bei einem stumpfwinkeligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb vom Dreieck.

    Kreis d Kreis d: Kreis durch E mit Mittelpunkt U Gerade f Gerade f: Streckensymmetrale a Gerade g Gerade g: Streckensymmetrale b Gerade h Gerade h: Streckensymmetrale c Strecke c Strecke c: Strecke A, B Strecke a Strecke a: Strecke B, C Strecke b Strecke b: Strecke A, C Punkt U Punkt U: Schnittpunkt von f, g Punkt U Punkt U: Schnittpunkt von f, g Punkt U Punkt U: Schnittpunkt von f, g c Text1 = “c” a Text2 = “a” b Text3 = “b” s_c Text4 = “s_c” s_c Text4 = “s_c” s_b Text5 = “s_b” s_b Text5 = “s_b” s_a Text6 = “s_a” s_a Text6 = “s_a”


    Schwerpunkt im Dreieck

    Eine Schwerelinie verläuft vom Halbierungspunkt einer Seite in den gegenüber liegenden Eckpunkt des Dreiecks. Die drei Schwerelinien schneiden einander im Schwerpunkt. Man kann ein Dreieck entlang jeder der drei Schwerelinien ausbalancieren. Im Schwerpunkt ist das Dreieck an einem einzigen Punkt ausbalanciert.

    Gerade i Gerade i: Linie D, B Gerade j Gerade j: Linie G, A Gerade k Gerade k: Linie F, C Strecke c Strecke c: Strecke A, B Strecke a Strecke a: Strecke B, C Strecke b Strecke b: Strecke A, C Punkt D Punkt D: Schnittpunkt von g, b Punkt D Punkt D: Schnittpunkt von g, b Punkt F Punkt F: Schnittpunkt von h, c Punkt F Punkt F: Schnittpunkt von h, c Punkt G Punkt G: Schnittpunkt von f, a Punkt G Punkt G: Schnittpunkt von f, a Punkt H Punkt H: Schnittpunkt von i, j Punkt H Punkt H: Schnittpunkt von i, j Punkt H Punkt H: Schnittpunkt von i, j c Text1 = “c” a Text2 = “a” b Text3 = “b” s_c Text4 = “s_c” s_c Text4 = “s_c” s_b Text5 = “s_b” s_b Text5 = “s_b” s_a Text6 = “s_a” s_a Text6 = “s_a”


    Inkreismittelpunkt im Dreieck

    Eine Winkelsymmetrale halbiert einen Winkel. Alle Punkte welche die Winkelsymmetrale bilden, sind von den beiden Schenkeln des Winkels gleich weit entfernt. Die drei Winkelsymmetralen eines Dreiecks schneiden einander im sogenannten Inkreismittelpunkt I. Der Inkreismittelpunkt ist nämlich von allen drei Seiten des Dreiecks gleich weit entfernt.

    Kreis k Kreis k: Kreis mit Mittelpunkt I und Radius 0.64 Gerade d Gerade d: Winkelsymmetrale von b, c Gerade f Gerade f: Winkelsymmetrale von a, b Gerade i Gerade i: Winkelsymmetrale von a, c Strecke c Strecke c: Strecke A, B Strecke a Strecke a: Strecke B, C Strecke b Strecke b: Strecke A, C Punkt I Punkt I: Schnittpunkt von d, f Punkt I Punkt I: Schnittpunkt von d, f c Text1 = “c” a Text2 = “a” b Text3 = “b” w_α Text4 = “w_α” w_α Text4 = “w_α” w_β Text5 = “w_β” w_β Text5 = “w_β” ${w_\gamma }$ Text6 = “${w_\gamma }$” ${w_\gamma }$ Text6 = “${w_\gamma }$” γ/2 Text7 = “γ/2” γ/2 Text7 = “γ/2” γ/2 Text7 = “γ/2” γ/2 Text8 = “γ/2” γ/2 Text8 = “γ/2” γ/2 Text8 = “γ/2”

    Besondere Punkte im Dreieck
    Eulersche Gerade
    Inkreismittelpunkt Dreieck
    Schwerpunkt eines Dreiecks
    Schwerelinie
    Umkreismittelpunkt Dreieck
    Höhenschnittpunkt im Dreieck
    Höhenlinie im Dreieck
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    Hier sind einige der wesentlichen Alleinstellungsmerkmale von maths2mind.com:

    • Kostenlose Prüfungsvorbereitung: Nicht jede Familie kann es sich leisten, für Prüfungsvorbereitung zu bezahlen. Nutzer von maths2mind benötigen keine Kreditkarte, da es keine kostenpflichtigen Abonnementpakete gibt. Alle Inhalte sind kostenlos zugänglich!
    • Privatsphäre: Es werden keine zustimmungspflichtigen Cookies verwendet, es gibt keine webseitenübergreifende oder personalisierte Werbung. 
    • Anonymes Lernen: Alle Inhalte sind ohne Anmeldung zugänglich, sodass Schüler anonym lernen können.
    • Autoren Dream-Team: Die Inhalte werden von Experten mit facheinschlägigem Universitätsabschluss erstellt. Zusätzlich erfolgte eine Recherche auf Vollständigkeit mittels künstlicher Intelligenz.
    • Probeschularbeiten: Lehrer können bei jeder Aufgabe einen Link kopieren, und durch simples "kopieren - einfügen" eine Probeschularbeit zusammenstellen und diese ihren Schülern elektronisch zum Selbststudium verfügbar machen.
    • Verständliche Erklärungen – schneller Lernerfolg – mehr Freizeit: Ehemalige Matura- bzw. Abiturbeispiele werden schriftlich vorgerechnet, damit Schüler den vollständigen Rechenweg 1:1 nachvollziehen können. Die ehemaligen Aufgaben sind sowohl chronologisch nach Prüfungstermin, als auch inhaltlich nach Lehrstoff sortiert, mittels anklickbarer Tags auffindbar.
    • Vernetzung von Lehrstoff und Rechenaufgaben über Tags: "Aufgaben passend zum Lernstoff" oder "Grundlagenwissen zur jeweiligen Aufgabe" sind mittels Tags leicht zu finden.
    • 1.000 Videos zum Rechenweg: Auch Dank der freundlichen Genehmigung des Bundesministeriums für Bildung, binden wir direkt in den Lösungsweg von Maturabeispielen, videobasierte Erklärungen ein.
    • 4.000 MINT-Fachbegriffe: Nutzer können gezielt nach Fachbegriffen suchen. Bei mehreren Treffern erfolgt die Auswahl über stichwortartige Zusammenfassungen.
    • 2.000 GeoGebra Illustrationen: Alle unsere rd. 2.000 selbst erstellten vektorbasierten Grafiken wurden mit GeoGebra erstellt. Zusätzlich verlinken wir auf anschauliche interaktive Illustrationen auf der GeoGebra Lernplattform.
    • Exzellent lesbare MINT-Inhalte: Die Inhalte sind vektorbasiert und daher auf allen Geräten, vom Smartphone bis zum XXL-Screen, gestochen scharf lesbar. Das gilt besonders für komplexe Formeln und anschauliche Illustrationen.
    • Wissenspfade: Zu jeder Lerneinheit werden gut strukturiert empfohlenes Vorwissen, verbreiterndes und vertiefendes Wissen angezeigt.
    • Umfassende Unterstützung: Maths2mind begleitet Schüler bis zum erfolgreichen Lehrabschluss mit Matura, dem Berufseinstieg nach Matura/Abitur und auch beim Studieneinstieg.
    • Soziale Mission: Als E-Learning Plattform mit sozialer Mission bietet maths2mind Chancen-Fairness durch genderneutralen Bildungszugang. Unabhängig von sozioökonomischem Umfeld, Wohnort, Einstellung oder Kulturkreis der Eltern, Sympathiewert des Lehrenden, finanzieller Schulausstattung oder Tagespolitik.
    • Kostenlose Fragen per E-Mail: Bei Unklarheiten können Fragen kostenlos per E-Mail gestellt werden.

    Maths2Mind.com ist somit eine umfassende Plattform, die nicht nur Wissen vermittelt, sondern auch auf individuelle Bedürfnisse eingeht und einen fairen Zugang zur Bildung ermöglicht.

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