Potenzfunktionen

Potenzfunktionen sind Funktionen, bei denen x zu einer höheren als der 1. Potenz vorkommt.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = c \cdot {x^n}{\text{ }}...{\text{Potenzfunktion}} \cr & f\left( x \right) = c \cdot {x^{2n}}{\text{ }}...{\text{gerade Funktion}} \cr & f\left( x \right) = c \cdot {x^{2n + 1}}{\text{ }}...{\text{ungerade Funktion}} \cr}\)

Exponent	Exponent
n ist gerade	n ist positiv bzw. xⁿ	gerade Funktion d.h. symmetrisch zur y-Achse Graph mit nur einem Ast Graph nur im Bereich der positiven y-Achse Graph verläuft durch die Punkte \(P\left( { - 1\left\| 1 \right.} \right);\,\,\,Q\left( {1\left\| 1 \right.} \right)\) Es gibt nur eine NST: \(N\left( {0\left\| 0 \right.} \right)\) \({D_f} = {\Bbb R};\,\,{W_f} = {{\Bbb R}^ + }\) Grenzwerte: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } c \cdot {x^n} = + \infty \)
n ist ungerade	n ist positiv bzw. xⁿ	ungerade Funktion d.h. symmetrisch zum Ursprung Graph mit nur einem Ast Graph hat sowohl negative als auch positive Funktionswerte Graph verläuft durch die Punkte \(P\left( { - 1\left\| -1 \right.} \right);\,\,\,Q\left( {1\left\| 1 \right.} \right)\) Es gibt nur eine NST: \(N\left( {0\left\| 0 \right.} \right)\) \({D_f} = {\Bbb R};\,\,{W_f} = {{\Bbb R} }\) Grenzwerte: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } c \cdot {x^n} = \pm \infty \)
n ist gerade	n ist negativ bzw. \({x^{ - n}} = \dfrac{1}{{{x^n}}}\)	gerade Funktion d.h. symmetrisch zur y-Achse Graph mit 2 Ästen Graph nur im Bereich der positiven y-Achse Graph verläuft durch die Punkte \(P\left( { - 1\left\| 1 \right.} \right);\,\,\,Q\left( {1\left\| 1 \right.} \right)\) Es gibt keine NST \({D_f} = {\Bbb R}\backslash 0;\,\,{W_f} = {{\Bbb R}^ + }\) Grenzwerte: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } c \cdot {x^n} = 0;\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} c \cdot {x^n} = \infty \)
n ist ungerade	negativ bzw. \({x^{ - n}} = \dfrac{1}{{{x^n}}}\)	ungerade Funktion d.h. symmetrisch zum Ursprung Graph mit 2 Ästen Graph hat sowohl negative als auch positive Funktionswerte Graph verläuft durch die Punkte \(P\left( { - 1\left\| -1 \right.} \right);\,\,\,Q\left( {1\left\| 1 \right.} \right)\) Es gibt keine NST \({D_f} = {\Bbb R}\backslash 0;\,\,{W_f} = {\Bbb R}\backslash 0\) Grenzwerte: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } c \cdot {x^n} = 0;\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} c \cdot {x^n} = - \infty ;\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} c \cdot {x^n} = \infty ;\)
\(f\left( x \right) = c \cdot {x^0} = c\)	0	Graph liegt bei positivem c im 1. und 2. Quadranten Graph liegt bei negativem c im 3. und 4. Quadranten Graph ist eine Gerade, die parallel zur y-Achse verläuft und von dieser den Abstand c hat.

Verschiebungen vom Graph zufolge von Klammerausdrücken:

(x+n): Der Graph ist um n nach links verschoben
(x-n): Der Graph ist um n nach rechts verschoben

Unterschied Potenzfunktion zu Exponentialfunktion

Potenzfunktion

Bei der Potenzfunktion fungiert die Variable x als Basis, während der Exponent n eine Konstante ist → weitere Details siehe unter "Potenzfunktion"

\(f\left( x \right) = c \cdot {x^n}\)

Exponentialfunktion

Bei der Exponentialfunktion fungiert die Variable x als Exponent, während die Basis a eine Konstante ist → weitere Details siehe unter "Exponentialfunktion"
\(f\left( x \right) = c \cdot {a^x}\)

Potenzfunktionen

Gerade Funktion

Ungerade Funktion

Unterschied Potenzfunktion zu Exponentialfunktion

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