Potenzfunktionen

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Potenzfunktionen

Potenzfunktionen sind Funktionen, bei denen x zu einer höheren als der 1. Potenz vorkommt.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = c \cdot {x^n}{\text{ }}...{\text{Potenzfunktion}} \cr & f\left( x \right) = c \cdot {x^{2n}}{\text{ }}...{\text{gerade Funktion}} \cr & f\left( x \right) = c \cdot {x^{2n + 1}}{\text{ }}...{\text{ungerade Funktion}} \cr}\)

Exponent Exponent  
n ist gerade n ist positiv bzw. xn
  • gerade Funktion d.h. symmetrisch zur y-Achse
  • Graph mit nur einem Ast
  • Graph nur im Bereich der positiven y-Achse
  • Graph verläuft durch die Punkte \(P\left( { - 1\left| 1 \right.} \right);\,\,\,Q\left( {1\left| 1 \right.} \right)\)
  • Es gibt nur eine NST: \(N\left( {0\left| 0 \right.} \right)\)
  • \({D_f} = {\Bbb R};\,\,{W_f} = {{\Bbb R}^ + }\)
  • Grenzwerte: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } c \cdot {x^n} = + \infty \)
n ist ungerade n ist positiv bzw. xn
  • ungerade Funktion d.h. symmetrisch zum Ursprung
  • Graph mit nur einem Ast
  • Graph hat sowohl negative als auch positive Funktionswerte
  • Graph verläuft durch die Punkte \(P\left( { - 1\left| -1 \right.} \right);\,\,\,Q\left( {1\left| 1 \right.} \right)\)
  • Es gibt nur eine NST: \(N\left( {0\left| 0 \right.} \right)\)
  • \({D_f} = {\Bbb R};\,\,{W_f} = {{\Bbb R} }\)
  • Grenzwerte: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } c \cdot {x^n} = \pm \infty \)
n ist gerade n ist negativ bzw. \({x^{ - n}} = \dfrac{1}{{{x^n}}}\)
  • gerade Funktion d.h. symmetrisch zur y-Achse
  • Graph mit 2 Ästen
  • Graph nur im Bereich der positiven y-Achse
  • Graph verläuft durch die Punkte \(P\left( { - 1\left| 1 \right.} \right);\,\,\,Q\left( {1\left| 1 \right.} \right)\)
  • Es gibt keine NST
  • \({D_f} = {\Bbb R}\backslash 0;\,\,{W_f} = {{\Bbb R}^ + }\)
  • Grenzwerte: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } c \cdot {x^n} = 0;\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} c \cdot {x^n} = \infty \)
n ist ungerade negativ bzw. \({x^{ - n}} = \dfrac{1}{{{x^n}}}\)
  • ungerade Funktion d.h. symmetrisch zum Ursprung
  • Graph mit 2 Ästen
  • Graph hat sowohl negative als auch positive Funktionswerte
  • Graph verläuft durch die Punkte \(P\left( { - 1\left| -1 \right.} \right);\,\,\,Q\left( {1\left| 1 \right.} \right)\)
  • Es gibt keine NST
  • \({D_f} = {\Bbb R}\backslash 0;\,\,{W_f} = {\Bbb R}\backslash 0\)
  • Grenzwerte: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } c \cdot {x^n} = 0;\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} c \cdot {x^n} = - \infty ;\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} c \cdot {x^n} = \infty ;\)
n = 0 \(f\left( x \right) = c \cdot {x^0} = c\)
  • Graph liegt bei positivem c im 1. und 2. Quadranten
  • Graph liegt bei negativem c im 3. und 4. Quadranten
  • Graph ist eine Gerade, die parallel zur y-Achse verläuft und von dieser den Abstand c hat.

 

 

Verschiebungen vom Graph zufolge von Parametern

  • (x+n): Der Graph ist um n nach links, also entlang der negativen x-Achse, verschoben
  • (x-n): Der Graph ist um n nach rechts, also entlang der positiven x-Achse, verschoben
  • \(c \cdot {x^z} + b\): Der Graph wird nach oben, also entlang der positiven y-Achse, verschoben
  • b=0: Der Graph verläuft durch den Ursprung
  • \(c \cdot {x^z} - b\): Der Graph wird nach unten, also entlang der negativen y-Achse, verschoben

Unterschied Potenzfunktion zu Exponentialfunktion

​Potenzfunktion

Bei der Potenzfunktion fungiert die Variable x als Basis, während der Exponent n eine Konstante ist → weitere Details siehe unter "Potenzfunktion"

\(f\left( x \right) = c \cdot {x^n}\)​

Exponentialfunktion

Bei der Exponentialfunktion fungiert die Variable x als Exponent, während die Basis a eine Konstante ist →​ weitere Details siehe unter "Exponentialfunktion"
\(f\left( x \right) = c \cdot {a^x}\)

Potenzfunktionen
Gerade Funktion
Ungerade Funktion
Unterschied Potenzfunktion zu Exponentialfunktion

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