Determinante

Determinante

Die Determinante det A ist ein Zahlenwert (ein Skalar), den man von quadratischen Matrizen (n,n) bilden kann. Für nicht-quadratische Matrizen sind Determinanten nicht definiert.

\(\det A = \left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right| = {a_{11}}.{a_{22}} - {a_{12}}.{a_{21}}\)

• Eine Determinante hat den Wert Null, wenn
  • eine Zeile bzw. eine Spalte ausschließlich aus Nullen besteht
  • zwei Zeilen bzw. zwei Spalten eine Linearkombination anderer Zeilen oder Spalten sind, bzw. im einfachsten Fall ident sind
• Vertauscht man 2 benachbarte Zeilen oder Spalten einer Determinante, so ändert sich das Vorzeichen vom Wert der Determinante
• Eine Matrix A und die zugehörige transponierte Matrix A^T haben dieselbe Determinante \(\det A = \det {A^T}\)
• Die Cramer‘sche Regel (Determinantenmethode) ist ein Verfahren um Systeme von n-linearen Gleichungen mit n Variablen zu lösen. Mit ihrer Hilfe kann man auch feststellen, ob ein lineares Gleichungssystem überhaupt eindeutig lösbar ist, was nicht zwangsweise der Fall sein muss.

Determinante 2. Ordnung bzw. Determinante einer 2x2 Matrix

Die Determinante 2. Ordnung ist ein Zahlenwert (ein Skalar), den man von quadratischen 2x2 Matrizen bilden kann. Merkregel: "links oben mal rechts unten minus rechts oben mal links unten"

\(\begin{array}{l} {A_2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right| = \\ = {a_{11}}.{a_{22}} - {a_{12}}.{a_{21}} \end{array}\)

Determinante 3. Ordnung bzw. Determinante einer 3x3 Matrix - Regel von Sarrus

Die Determinante 3. Ordnung ist ein Zahlenwert (ein Skalar), den man von quadratischen 3x3 Matrizen bilden kann. Um den Zahlenwert der Determinante zu berechnen, bedient man sich der Regel von Sarrus

• Man schreibt die 1. und die 2. Spalte rechts neben der Determinante nochmals an
• Man bildet die 3 Summen der Produkte entlang der 3 Hauptdiagonalen (links oben nach rechts unten)
• Davon subtrahiert man die 3 Summen der Produkte entlang der 3 Nebendiagonalen(rechts oben nach links unten)
• Die Regel von Sarrus kann man nicht für Determinanten vom Grad >3 anwenden. Man muss dann den Laplace'schen Entwicklungssatz oder den Gauß Algorithmus anwenden.

\(\begin{array}{l} {A_3} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right|\begin{array}{*{20}{l}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}} \end{array} = \\ = {a_{11}}.{a_{22}}.{a_{33}} + {a_{12}}.{a_{23}}.{a_{31}} + {a_{13}}.{a_{21}}.{a_{32}} - \\ - \left( {{a_{13}}.{a_{22}}.{a_{31}} + {a_{11}}.{a_{23}}.{a_{32}} + {a_{12}}.{a_{21}}{a_{33}}} \right) \end{array}\)

Determinante n-ter Ordnung bzw. Determinante einer \(n \times n\) Matrix

Den Wert einer nxn Determinante kann man allgemein, also für jedes n, wie folgt berechnen:

\(\det A = \sum\limits_{k = 1}^n {{a_{ik}}} \cdot {\left( { - 1} \right)^{i + k}} \cdot \det {A_{ik}}\)

Ausgeschrieben sieht das dann am Beispiel einer 4x4 Matrix wie folgt aus:
\(\begin{array}{l} \det A = \sum\limits_{k = 1}^n {{a_{ik}}} \cdot {\left( { - 1} \right)^{i + k}} \cdot \det {A_{ik}}\\ A = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a&b&c&d\\ e&f&g&h\\ i&j&k&l\\ m&n&o&p \end{array}} \right| = \\ = a \cdot {\left( { - 1} \right)^{1 + 1}} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot &f&g&h\\ \cdot &j&k&l\\ \cdot &n&o&p \end{array}} \right| + b \cdot {\left( { - 1} \right)^{1 + 2}} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ e& \cdot &g&h\\ i& \cdot &k&l\\ m& \cdot &o&p \end{array}} \right| + c \cdot {\left( { - 1} \right)^{1 + 3}} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ e&f& \cdot &h\\ i&j& \cdot &l\\ m&n& \cdot &p \end{array}} \right| + d \cdot {\left( { - 1} \right)^{1 + 4}} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ e&f&g& \cdot \\ i&j&k& \cdot \\ m&n&o& \cdot \end{array}} \right| = \\ = a \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} f&g&h\\ j&k&l\\ n&o&p \end{array}} \right| - b \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} e&g&h\\ i&k&l\\ m&o&p \end{array}} \right| + c \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} e&f&h\\ i&j&l\\ m&n&p \end{array}} \right| - d \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} e&f&g\\ i&j&k\\ m&n&o \end{array}} \right| \end{array}\)

Den Wert einer Determinante kann man auch mit Hilfe vom Laplace' scher Entwicklungssatz (für kleine n) oder mit Hilfe vom Gaußverfahren für Determinanten (für große n) berechnen:

Laplace' scher Entwicklungssatz für Determinanten (für kleine n)

Beim Laplace'schen Entwicklungssatz reduziert man schrittweise den Grad der zu berechnenden Determinante um 1, bis letztlich eine 3x3 Matrix übrig bleibt, die man gemäß der Regel von Sarrus berechnet. Man entwickelt dabei nach jener Zeile oder Spalte, welche die meisten Nullen enthält. Der Wert der Determinante ist natürlich unabhängig von der Auswahl der Zeile bzw. der Spalte nach der man entwickelt hat.

Entwicklung nach einer Zeile, wobei i ein beliebiger Zeilenindex ist, gemäß
\(\begin{array}{l} \det A = \sum\limits_{k = 1}^n {{a_{ik}}{{\left( { - 1} \right)}^{i + k}}} \det {A_{ik}} = \\ = \sum\limits_{k = 1}^n {{a_{ik}} \cdot {C_{ik}}} = \\ {a_{i1}} \cdot {C_{i1}} + {a_{i2}} \cdot {C_{i2}} + ... + {a_{in}} \cdot {C_{in}} \end{array}\)

A_ik ist die um einen Grad reduzierte Matrix, die entsteht, wenn in der Matrix A die i-te Zeile und die k-te Spalte gestrichen wird.

Der Term \({\left( { - 1} \right)^{i + k}}\) sorgt für den zyklischen Vorzeichenwechsel. i ist ein beliebiger Zeilenindex und A_ik ist die Matrix die entsteht, wenn man in der Matrix A die i-te Zeile und die k-te Spalte streicht.

Entwicklung nach einer Spalte, wobei j ein beliebiger Spaltenindes ist, gemäß
\(\begin{array}{l} \det A = \sum\limits_{l = 1}^n {{a_{lj}}{{\left( { - 1} \right)}^{l + j}}} \det {A_{lj}} = \\ = \sum\limits_{l = 1}^n {{a_{lj}} \cdot {C_{lj}} = } \\ = {a_{1j}} \cdot {C_{1j}} + {a_{2j}} \cdot {C_{2j}} + ... + {a_{nj}} \cdot {C_{nj}} \end{array}\)
A_lj ist die um einen Grad reduzierte Matrix die entsteht, wenn in der Matrix A die l-te Zeile und die j-te Spalte gestrichen wird.

C_ik bzw. C_lj bezeichnet man als Co-Faktor, der sich wie folgt durch streichen der i-ten Zele und der j-ten Spalte berechnet
\({C_{ij}} = {\left( { - 1} \right)^{i + j}}\left| {\begin{array}{*{20}{l}} {{a_{11}}}&{...}&{{a_{a,j - 1}}}&{streichen}&{{a_{1,j + 1}}}&{...}&{{a_{1n}}}\\ {{a_{21}}}&{...}&{{a_{2,j - 1}}}&{streichen}&{{a_{2,j + 1}}}&{...}&{}\\ {...}&{...}&{...}&{streichen}&{}&{...}&{}\\ {streichen}&{streichen}&{streichen}&{streichen}&{streichen}&{streichen}&{}\\ {...}&{...}&{...}&{streichen}&{...}&{...}&{...}\\ {{a_{n1}}}&{}&{{a_{n,j - 1}}}&{streichen}&{{a_{n,j + 1}}}&{...}&{{a_{nn}}} \end{array}} \right|\)

Gaußverfahren für Determinanten (für große n)

Erklärung folgt zu einem späteren Zeitpunkt