Flächeninhalt zwischen 2 einander schneidender Graphen
An der Schnittstelle der beiden Graphen sind die Integrale zu teilen. Für die beiden Integrale gilt grundsätzlich "obere minus untere" Funktion
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Formeln
Bestimmtes Integral - Flächeninhalte
Das bestimmte Integral ermöglicht es, Flächen zu berechnen, die von einem oder mehreren Funktionsgraphen und/oder einer Koordinatenachse begrenzt werden.
Bestimmtes Integral - Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse
Der Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse von stetigen positiven Funktionen f(x), ist mit Hilfe der zugehörigen Stammfunktion berechenbar.
\(A = \int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx} = F\left( x \right)\left| {_a^b} \right. = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)
Ist in einem betrachteten Intervall f(x) < 0, so ergibt sich ein negativer Wert für den Flächeninhalt. Die zugehörige Fläche wird als „negativ orientiert“ bezeichnet.
Bestimmtes Integral - Flächeninhalt zwischen 2 einander nicht schneidender Graphen
Der Flächeninhalt zwischen 2 Graphen, die sich im Intervall [a,b] nicht schneiden, kann aus der Differenz der jeweiligen Flächeninhalte zwischen dem zugehörigem Graphen und der x-Achse berechnet werden. Dabei gilt grundsätzlich "obere Funktion" minus "untere Funktion"
\(A = \int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx - \int\limits_a^b {g\left( x \right)\,\,dx = } } \int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]\,\,dx} \)
Der Flächeninhalt zwischen 2 Graphen, die sich im Intervall [a,b] an der Stelle x1 schneiden
- Am einfachsten zu merken ist die 1. Art:
- An der Schnittstelle x1 der beiden Graphen sind die Integrale zu teilen.
- Es gilt grundsätzlich "obere minus untere" Funktion
- Bei der 2. und 3. Art ist zu bedenken, dass in diesem Fall das rechte bestimmte Integral eine negativ Fläche ausweist. Das Vorzeichen dieser negativen Fläche kann auf 2 Arten umgekehrt werden:
- durch ein "minus" oder
- durch den "Betrag"
Anmerkung:
- a, x1 und b sind dabei z.B. die 3 Schittpunkte der beiden Funktionen f(x) und g(x). Damit man das bestimmte Integral berechnen kann, muss man die Schnittpunkte durch Gleichsetzen der beiden Funktionen f(x)=g(x) ermitteln.
- Während a und b auch von Schnittpunkten abweichende Integrationsgrenzen sein können, ist bei einander schneidenden Funktionen x1 auf jeden Fall ein Schnittpunkt.
\(\eqalign{ & A = \int\limits_a^{{x_1}} {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]\,\,dx + \int\limits_{{x_1}}^b {\left[ {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]} } \,\,dx = \cr & A = \int\limits_a^{{x_1}} {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,\,dx - \int\limits_{{x_1}}^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,\,dx = \cr & A = \left| {\int\limits_a^{{x_1}} {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,\,dx} \right| + \left| {\int\limits_{{x_1}}^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,\,dx} \right| \cr} \)
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