Aufgabe 1500
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2016 - Teil-1-Aufgaben - 18. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Halbierung einer Fläche
Gegeben ist die reelle Funktion f mit \(f\left( x \right) = {x^2}\)
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Stelle b so, dass die Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion f im Intervall [2; 4] in zwei gleich große Flächen A1 und A2 geteilt wird (siehe Abbildung)!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Potenzen integrieren
\(\eqalign{ & {\text{für }}n \ne - 1 \cr & f\left( x \right) = {x^n} \cr & F\left( x \right) = \int {{x^n}.dx = \dfrac{1}{{n + 1}} \cdot {x^{n + 1}}} + C \cr}\)
Lösungsweg
Wir berechnen zuerst die Fläche A1, als das bestimmte Integral von f(x) zwischen den Grenzen 2 und b.
Danach berechnen wir die Fläche A2, als das bestimmte Integral von f(x) zwischen den Grenzen b und 4.
\(\eqalign{ & \int\limits_2^b {{x^2}} \,\,dx = \dfrac{1}{{2 + 1}} \cdot {x^{2 + 1}}\left| {_2^b} \right. = \dfrac{{{b^3}}}{3} - \frac{{{2^3}}}{3} = \dfrac{{{b^3} - 8}}{3} \cr & \int\limits_b^4 {{x^2}\,\,dx = \dfrac{1}{{2 + 1}}} \cdot {x^{2 + 1}}\left| {_b^4} \right. = \dfrac{{{4^3}}}{3} - \frac{{{b^3}}}{3} = \dfrac{{64 - {b^3}}}{3} \cr} \)
Da die beiden Flächen A1 und A2 gleich groß sein sollen, setzen wir die Gleichungen ihrer jeweiligen Flächen gleich und errechnen daraus die einzige Unbekannte b
\(\eqalign{ & \dfrac{{{b^3} - 8}}{3} = \dfrac{{64 - {b^3}}}{3}\,\,\,\,\,\left| { \cdot 3} \right. \cr & {b^3} - 8 = 64 - {b^3}\,\,\,\,\,\left| { + {b^3}} \right. \cr & 2{b^3} - 8 = 64\,\,\,\,\,\left| { + 8} \right. \cr & 2{b^3} = 64 + 8 = 72\,\,\,\,\,\left| {:2} \right. \cr & {b^3} = \dfrac{{72}}{2} = 36 \cr & b = \root 3 \of {36} \approx 3,3019 \cr} \)
Eine optische Kontrolle zeigt, dass das Resultat \(b \approx 3,30\) plausibel erscheint, denn die Grenze b muss rechts von der Mitte (3,0) liegen, was auch der Fall ist.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(b \approx 3,30\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.
Toleranzintervall: [3,29; 3,31]