Zusammenhang Stammfunktion - Funktion - Ableitungsfunktion
Formel
Stammfunktion einer Funktion auffinden
"Die Differentiation ist ein Handwerk, die Integration dagegen ist eine Kunst"
Differential- und Integralrechnung hängen eng zusammen: Durch Integration der Ableitungsfunktion f'(x) erhält man die Funktion f(x). Durch Integration der Funktion f(x) erhält man die Stammfunktion F(x). Durch Differenzieren der Stammfunktion F(x) erhält man die Funktion f(x) und durch Differenzieren der Funktion f(x) erhält man die Ableitungsfunktion f'(x). Bei Differenzieren berechnet man Steigung der Funktion, beim Integrieren berechnet man die Fläche unter der Funktion.
Die nachfolgende Illustration veranschaulicht den Zusammenhang zwischen Stammfunktion, Funktion und Ableitungsfunktion jeweils für die Differential- und die Integralrechnung
Für viele wichtige Funktionen sind die zugehörigen Stammfunktionen bekannt. Aber selbst relativ einfach erscheinende Funktionen wie \(f\left( x \right) = {e^{ - {x^2}}}\) sind nicht elementar integrierbar, d.h. ihre Stammfunktion lässt sich nicht durch elementare Funktionen darstellen.
\(\begin{array}{l} \int {f(x)\,\,dx = F\left( x \right) + C} \\ F'\left( x \right) = f\left( x \right) \end{array}\)
Zusammenhang Stammfunktion F(x) - Funktion f(x) - Ableitungsfunktion f'(x)
Beim Auffinden von Stammfunktionen bedient man sich gerne einer Tabelle in der die wichtigsten Funktionen f(x) und Ihre Ableitungsfunktionen f'(x) sowie die zugehörigen Stammfunktionen F(x) angeführt sind. Nachfolgend die für die Sekundarstufe 2 wichtigsten Zusammenhänge:
| Stammfunktion F(x) | Funktion f(x) | Ableitungsfunktion f'(x) | |
| gängige Funktionen | |||
| Konstante Funktion | \(F\left( x \right) = k \cdot x\) | \(f\left( x \right) = k\) | \(f'\left( x \right) = 0\) |
| Potenzfunktion | \(\begin{array}{l} F\left( x \right) = \dfrac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}\,\,\,\,\,für\,\,n \ne - 1\\ F\left( x \right) = \ln \left( {\left| x \right|} \right)\,\,\,\,\,fü r\,\,n = - 1 \end{array}\) | \(\eqalign{ & f\left( x \right) = {x^n} \cr & f\left( x \right) = {x^{ - n}} = \dfrac{1}{x} \cr} \) |
\(f'\left( x \right) = n \cdot {x^{n - 1}}\) |
| Eulersche Funktion | \(F\left( x \right) = {e^x}\) | \(f\left( x \right) = {e^x}\) | \(f'\left( x \right) = {e^x}\) |
| Exponetialfunktion | \(F\left( x \right) = \dfrac{{{a^x}}}{{\ln \left( a \right)}}\) | \(f\left( x \right) = {a^x}\) | \(f'\left( x \right) = \ln \left( a \right) \cdot {a^x}\) |
| Logarithmusfunktion | \(F\left( x \right) = x \cdot \ln \left( x \right) - x\) | \(f\left( x \right) = \ln \left( x \right)\) | \(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\) |
| Logarithmusfunktion | \(F\left( x \right) = \dfrac{1}{{\ln \left( a \right)}} \cdot \left( {x \cdot \ln \left( x \right) - x} \right)\) | \(f\left( x \right) = {\log _a}\left( x \right)\) | \(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{x \cdot \ln \left( a \right)}}\) |
| Sinusfunktion | \(F\left( x \right) = - \cos \left( x \right)\) | \(f\left( x \right) = \sin \left( x \right)\) | \(f'\left( x \right) = \cos \left( x \right)\) |
| Kosinusfunktion | \(F\left( x \right) = \sin \left( x \right)\) | \(f\left( x \right) = \cos \left( x \right)\) | \(f'\left( x \right) = - \sin \left( x \right)\) |
| Tangensfuntkion | \(F\left( x \right) = - \ln \left( {\left| {\cos \left( x \right)} \right|} \right)\) | \(f\left( x \right) = \tan \left( x \right)\) | \(f'\left( x \right) = 1 + {\tan ^2}\left( x \right) = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\left( x \right)}}\) |
| Rechenregeln: | |||
| Konstanten- oder Faktorenregel | \(G\left( x \right) = k \cdot F\left( x \right)\) | \(g\left( x \right) = k \cdot f\left( x \right)\) | \(g'\left( x \right) = k \cdot f'\left( x \right)\) |
| Summen- bzw. Differenzenregel | \(H\left( x \right) = F\left( x \right) \pm G\left( x \right)\) | \(h\left( x \right) = f\left( x \right) \pm g\left( x \right)\) | \(h'\left( x \right) = f'\left( x \right) \pm g'\left( x \right)\) |
| Partielle Integration | \(H(x) = f\left( x \right) \cdot g\left( x \right) - \int {f\left( x \right) \cdot g'\left( x \right)} \,\,dx\) | \(h(x) = f'\left( x \right) \cdot g\left( x \right)\,\,dx\) | |
| Integration durch Substitutions | \(F\left( x \right) = \int {f\left( {g\left( u \right)} \right)} \cdot g'\left( u \right)\,\,du\) | \(f\left( x \right)\) | |
| Sonderfall der Substitutionsregel | \(H\left( x \right) = \ln \left| {f\left( x \right)} \right|\) | \(h\left( x \right) = \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}\) |
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
| Stammfunktion F(x) zur Funktion f(x) auffinden | Das Aufsuchen der Stammfunktion F(x) für ein gegebenes f(x) heißt unbestimmtes Integrieren. |
Aktuelle Lerneinheit
| Zusammenhang Stammfunktion - Funktion - Ableitungsfunktion | Beim Auffinden von Stammfunktionen bedient man sich gerne einer Tabelle in der die wichtigsten Funktionen und Ihre Ableitungsfunktionen sowie die Stammfunktionen angeführt sind, darüber hinaus gibt es noch Integrationsregeln |
Verbreitere dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit
| Bestimmtes Integral - Bogenlänge | Das bestimmte Integral ermöglicht es, die Bogenlänge von einem Graphen zu berechnen, der durch eine Funktionsgleichung gegeben ist. |
| Anwendungen der Integralrechnung | Die Integralrechnung ist aus dem Wunsch nach der Berechnung von Flächen entstanden, die über die Flächen einfacher geometrischer Figuren mit simplen Formen hinausgehen. |
| Integration spezieller Funktionen | Das Auffinden der Stammfunktion von spezieller Funktionen wird man wohl nicht auswendig können, sondern bei Bedarf nachlesen. |
| Integrationsregeln | Wenn f(x) mehrere Terme umfasst, die durch Rechenzeichen verbunden sind, dann bedient man sich der Integrationsregeln. Die gängigsten Integrationsregeln sollte man ebenfalls auswendig können. |
| Auffinden gängiger Stammfunktionen | Steht im Integrand nur eine Konstante, so ist deren Integral die Konstante mal derjenigen Variablen, nach der integriert wird |
| Bestimmtes Integral - Rotationskörper | Die Mantelfläche einer Funktion f(x) bei Rotation um die x bzw. y Achse kann mit Hilfe der Integralrechnung berechnet werden |
| Bestimmtes Integral - Schwerpunkt von Flächen | Die x- und y-Koodinaten vom Schwerpunkt einer Fläche, zwischen zwei Graphen f(x) und g(x) einerseits und einer unteren und einer oberen Grenze andererseits, kann mit Hilfe der Integralrechnung berechnet werden. |
| Bestimmtes Integral - Flächeninhalt | Der Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse von stetigen positiven Funktionen f(x), ist mit Hilfe der zugehörigen Stammfunktion berechenbar. |
| Rechenregeln für bestimmte Integrale | Das bestimmte Integral der Funktion f(x) zwischen den Grenzen [a,b], entspricht grafisch der Fläche unter der Funktion und über der x-Achse, sowie zwischen der oberen und der unteren Intervallgrenze |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 1629
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Beziehungen zwischen Funktion, Ableitungs- und Stammfunktion
Es sei f eine Polynomfunktion dritten Grades, f ′ ihre Ableitungsfunktion und F eine der Stammfunktionen von f.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte Aussage entsteht!
Die zweite Ableitungsfunktion der Funktion ____1____ ist die Funktion ____2____ .
| 1 | |
| f | A |
| f' | B |
| F | C |
| 2 | |
| f | I |
| f' | II |
| F | III |
Aufgabe 1676
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2019 - Teil-1-Aufgaben - 15. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Zusammenhang zwischen Funktion und Stammfunktionen
Die Funktionen g und h sind unterschiedliche Stammfunktionen einer Polynomfunktion f vom Grad n ≥ 1.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
- Aussage 1: \(g'\left( x \right) = h'\left( x \right)\)
- Aussage 2: \(g\left( x \right) + h\left( x \right) = c,\,\,\,\,\,c \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
- Aussage 3: \(\int\limits_0^2 {g\left( x \right)} \,\,dx = f\left( 2 \right) - f\left( 0 \right)\)
- Aussage 4: \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)} \,\,dx = h\left( 2 \right) - h\left( 0 \right)\)
- Aussage 5: \(g\left( x \right) = c \cdot h\left( x \right),\,\,\,\,\,c \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)