Aufgabe 1676
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2019 - Teil-1-Aufgaben - 15. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Zusammenhang zwischen Funktion und Stammfunktionen
Die Funktionen g und h sind unterschiedliche Stammfunktionen einer Polynomfunktion f vom Grad n ≥ 1.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
- Aussage 1: \(g'\left( x \right) = h'\left( x \right)\)
- Aussage 2: \(g\left( x \right) + h\left( x \right) = c,\,\,\,\,\,c \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
- Aussage 3: \(\int\limits_0^2 {g\left( x \right)} \,\,dx = f\left( 2 \right) - f\left( 0 \right)\)
- Aussage 4: \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)} \,\,dx = h\left( 2 \right) - h\left( 0 \right)\)
- Aussage 5: \(g\left( x \right) = c \cdot h\left( x \right),\,\,\,\,\,c \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)
Lösungsweg
Die Angabe besagt, dass es eine Polynomfunktion f(x) gibt. Weiters besagt sie, dass sowohl g(x) als auch h(x) Stammfunktionen von f(x) sind. Dass eine Funktion mehrere Stammfunktionen hat, ist etwas ganz normales, wobei sich die Stammfunktionen durch die additive Integrationskonstante unterscheiden wodurch der Graph der Stammfunktionen lediglich entlang der y-Achse verschoben wird.
- Aussage 1: Richtig, weil g(x) und h(x) ja Stammfunktionen der selben Polynomfunktion sind
- Aussage 2: Falsch, weil wenn man 2 Stammfunktionen addiert man die zweifache Stammfunktion erhält. Würde man hingegen die eine Stammfunktion von der anderen Stammfunktion subtrahieren, dann bliebe nur eine Konstante zufolge der unterschiedlichen Integrationskonstanten über
- Aussage 3: Falsch, weil auf der linken Seite das Integral einer Stammfunktion und auf der rechten Seite die Differenz zweier Funktionswerte stehen
- Aussage 4: Richtig, weil das bestimmte Integral einer Funktion die Differenz zwischen oberer und unterer Grenze der Stammfunktion ist und h(x) eben eine Stammfunktion von f(x) ist
- Aussage 5: Falsch, weil sich die zwei Stammfunktionen f(x) und h(x) durch eine additive Konstante und nicht durch einen multiplikativen Faktor unterscheiden.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Aussagen angekreuzt sind.