Kovarianzprinzip

Relativitätstheorien

Newtonsche Theorien

Die Newtonsche Mechanik berücksichtigt die Gravitation als eine Kraft wie jede andere Kraft. Die Gravitationskraft hängt von der Masse der beteiligten Objekte, dem Quadrat ihres Abstands und von einer Gravitationskonstante ab. Die Newtonsche Gravitation gilt nur für Geschwindigkeiten die sehr viel kleiner sind als die Lichtgeschwindigkeit. Die Lichtgeschwindigkeit wird bei Newton als „unendlich“ angesehen.

Spezielle Relativitätstheorie (SRT - 1905)

Ausgehend vom Experiment von Michelson und Morley, welches zeigte, dass das Licht - anders als Schall - kein Medium (namentlich den Lichtäther als bevorzugtes Bezugssystem) zu seiner Ausbreitung und zum damit verbundenen Energietransport benötigt, basiert die SRT auf dem Prinzip der Konstanz der (endlichen) Lichtgeschwindigkeit. Aus der rein theoretischen Betrachtung von gegeneinander mit konstanter Geschwindigkeit bewegter Bezugssysteme, leiten sich Phänomene wie die Längenkontraktion und die Zeitdilation ab, die erst Jahrzehnte später experimentell bewiesen werden konnten. In der SRT sind Ort, Zeit und Geschwindigkeit relativ, nur die Beschleunigung und die Lichtgeschwindigkeit sind absolut. Auf Grund des späten experimentellen Nachweises hat Einstein auch nie einen Nobelpreis für die Relativitätstheorien erhalten! Weiters wurde im Rahmen der SRT die Äquivalenz von Energie und Masse gemäß \(E = m \cdot {c^2}\) hergeleitet.

Allgemeine Relativitätstheorie (ART - 1915)

Beinhaltet vollständig die SRT und geht weit darüber hinaus und zwar durch die Betrachtung von gegeneinander beschleunigten Bezugssysteme und der Einbeziehung der Gravitation unter relativistischen Gesichtspunkten. Betrachtet wird die 4-dimensionale Raumzeit (x,y,z und t). Masse krümmt alle 4 Dimensionen der Raumzeit. Körper sowie Lichtstrahlen bewegen sich entlang von Geodäten, die den kürzesten Weg in dieser gekrümmten Raumzeit darstellen. Die Formeln der ART basieren mathematisch auf Tensoren. In der ART sind Ort, Zeit, Geschwindigkeit und Beschleunigung relativ, nur die Lichtgeschwindigkeit ist endlich und absolut. Die Gültigkeit der ART wurde durch die Lichtablenkung von Sternenlicht durch die Sonne nachgewiesen, durch die Laufzeitverzögerung von Radarsignalen, durch die Frequenzänderung von Licht zufolge des Gravitationsfeldes der Erde, durch den Nachweis von Gravitationswellen, die durch den Zusammenprall von schwarzen Löchern entstanden sind und die sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten.

Grundidee der Allgemeinen Relativitätstheorie

Körper und Lichtstrahlen bewegen sich entlang von Geodäten in einer gekrümmten Raumzeit.  Einstein beschreibt die Gravitation nicht mehr als Kraft (wie bei Newton), sondern als geometrische Eigenschaft von Raum und Zeit. Materie, die keiner Kraft ausgesetzt ist, bewegt sich durch die Raumzeit entlang von Geodäten. Die Bewegung entlang der Geodäten nehmen wir als Gravitation wahr.

Die Beschreibung der Raumzeitkrümmung baut auf folgenden Prinzipien auf

• Starkes Äquivalenzprinzip, demzufolge „träge Masse“ und „schwere Masse“ äquivalent sind bzw. es keinen Unterschied zwischen Schwerkraft und Kräften zufolge von Beschleunigung gibt
• Kovarianzprinzip, demzufolge in allen Bezugssystemen dieselben physikalischen Gesetze gelten. Die Anwesenheit von Materie oder Energie verursacht eine Krümmung der Raumzeit. Raum, Zeit und Materie sind untrennbar mit einander verbunden.

Die ART gilt als grundsätzlich richtige aber unvollständige Theorie, ähnlich wie man Newtons Theorien als grundsätzlich richtig aber doch nur ein Spezialfall der SRT bzw. ART verstehen kann.

Unvollständigkeit der ART

Sosehr sich die Allgemeine Relativitätstheorie ART auch bewährt, so versagt sie doch an zwei wichtigen Stellen.

Einerseits an den beiden Krümmungssingularitäten der Astronomie, weil sie dort keine Verknüpfung zwischen Energie bzw. Masse und der Krümmung der Raumzeit machen kann:

1. Raumzeit-Singularität: Im Zentrum eines schwarzen Lochs
2. Urknall-Singularität: Im unendlich kleinen Universum zum Zeitpunkt des Urknalls

Hier treten mathematisch nicht definierte Zustände (Division durch Null) auf und führen zu den beiden genannten Singularitäten. 

Andererseits ist es bis heute noch nicht gelungen, die ART in Einklang mit der Quantenphysik zu bringen und eine Theorie der Quantengravitation zu schaffen.

1960 wurde Stephen Hawking berühmt für den Beweis der notwendigen Existenz von Singularitäten in der ART, und dass die ART daher unvollständig ist und in irgend einer Weise nachgebessert werden muss. Seit 1970 beschäftigte sich Stephen Hawking damit, diese Unzulänglichkeiten der ART durch eine Quantentheorie der Gravitation, also einer Quantisierung der Gravitation, die ohne Singularitäten auskommt, zu beheben.

Kovarianzprinzip

Das Kovarianzprinzip besagt, dass die Naturgesetze in allen Bezugssystemen gleich sind. Es gibt kein „ausgezeichnetes“ Inertialsystem, keine Physik die von Koordinatensystemen abhängig ist.

Die Umrechnung von einem zu einem anderen Bezugssystem erfolgt über die

• Galilei-Transformation für die Newton’sche Mechanik
• Lorentz-Transformation gemäß der speziellen Relativitätstheorie
• Transformationsgesetze von Tensoren gemäß der allgemeinen Relativitätstheorie

Galilei - Transformation

Translationen dienen der Umrechnung von Vorgängen, die in zwei gegeneinander verschobenen Bezugssystemen stattfinden. Der Newtonschen Mechanik liegt die Galilei Transformation zu Grunde. Sie gilt für unbeschleunigte Inertialsysteme, also für Koordinatensysteme die sich mit konstanter Geschwindigkeit zu einander bewegen, bei \(v \ll {c_0}\) . Solche Koordinatensysteme kann man durch Messungen nicht von einander unterscheiden, man nennt sie daher Inertialsysteme.

Zum Zeitpunkt t=0 habe ein nur in Richtung der x-Achse bewegtes Koordinatensystem S' und ein ruhendes Koordinatensystem S deckungsgleiche Ursprünge. Nach der Zeit t hat S' in x-Richtung den Weg v.t zurückgelegt. Es geben sich somit folgenden Transformationsgleichungen für die 3 Ortskoordinaten und die Zeitkoordinate:

Lorentz-Transformation

Translationen dienen der Umrechnung von Vorgängen, die in zwei gegeneinander verschobenen Bezugssystemen stattfinden. Der speziellen Relativitätstheorie liegt die Lorentz Transformation zu Grunde. Sie gilt für unbeschleunigte Systeme, die sich mit konstanter aber im Verhältnis zur Lichtgeschwindigkeit sehr hoher Geschwindigkeit zu einander bewegen, bei \(v \le {c_0}\). In jedem der beiden Systeme breitet sich das Licht mit der konstanten Lichtgeschwindigkeit aus, unabhängig davon wie schnell sich die beiden Bezugssysteme zu einander bewegen. Die Relativgeschwindigkeit zwischen den beiden Systemen kann nie die Lichtgeschwindigkeit übersteigen.

Die Lorentztransformation bedingt, dass die Längen und die Zeit nicht invariant sind.

Längenkontraktion

Unter der relativistischen Längenkontraktion versteht man, dass alle in Bewegungsrichtung liegenden Längen von einem Objekt, aus einem anderen bewegten Bezugssystem aus betrachtet, verkürzt erscheinen. Strecken senkrecht zur Bewegungsrichtung behalten ihre Länge unverändert bei.

\(\Delta x' = \Delta x \cdot \sqrt {1 - {{\left( {\dfrac{v}{{{c_0}}}} \right)}^2}} \)

Zeitdilatation

Unter der relativistischen Zeitdilatation versteht man, dass in jedem Bezugssystem, die Zeit eines anderen bewegten Bezugssystems gedehnt erscheint. „Bewegte Uhren gehen langsamer“

\(\Delta t' = \dfrac{{\Delta t}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\dfrac{v}{{{c_0}}}} \right)}^2}} }}\)

Relativistische Massenzunahme

Die relativistische Massenzunahme besagt, dass die Masse eines Teilchens geschwindigkeitsabhängig ist. Je mehr sich die Geschwindigkeit v des Körpers der Lichtgeschwindigkeit c nähert, umso mehr nimmt seine Masse bzw. nimmt seine Trägheit zu und geht schließlich gegen Unendlich. Masselose Teilchen fliegen stets mit Lichtgeschwindigkeit.

\({m_v} = \dfrac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \dfrac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }} = \gamma .{m_0}\)

Für v=0 wird der Ausdruck unter der Wurzel gleich 1 und m_v=m₀. Man spricht von der Ruhemasse. 

Lorentzfaktor

In vielen Formeln der speziellen Relativitätstheorie findet man einen Faktor, der auf Grund der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit ausschließlich von der Relativgeschwindigkeit v zweier Inertialsysteme abhängt. Der Lorentzfaktor "Gamma" ist dimensionslos.

\(\gamma = \dfrac{1}{{\sqrt {1 - \dfrac{{{v^2}}}{{{c_0}^2}}} }};\)

• Für v=0 wird der Ausdruck unter der Wurzel und somit der Lorentzfaktor selbst zu 1.
• Nähert sich v der Lichtgeschwindigkeit, so geht der Ausdruck unter der Wurzel gegen unendlich.
• Faustformel: Beträgt die Relativgeschwindigkeit der Systeme 10% von der Lichtgeschwindigkeit, so beträgt der Translationsfaktor ca. 1%. Umgekehrt formuliert: Rechnet man bei 10% der Lichtgeschwindigkeit nicht relativistisch, so beträgt der Fehler ca. 1%.