Lineare Ungleichung mit einer Variablen
Formel
Lineare Ungleichung mit einer Variablen
Bei einer linearen Ungleichung mit einer Variablen enthält die Ungleichung eine einzige Variable und diese wiederum lediglich zur 1. Potenz. Die Lösungsmenge, also all jene x, die die Ungleichung erfüllen, kann man am Zahlenstrahl durch Intervalle visualisieren.
\(ax + b < cx + d\)
Normalform einer linearen Ungleichung mit einer Variablen
Bei der Normalform einer linearen Ungleichung kommt die Variable x nur zur 1. Potenz vor und rechts vom Ungleichheitszeichen steht eine Null. Dazu ist es eventuell erforderlich die Ungleichung durch Äquivalenzumformungen entsprechend umzuformen
Beispiel
\(\eqalign{ & ax + b < cx + d \cr & \left( {a - c} \right) \cdot x + \left( {b - d} \right) < 0 \cr} \)
Zum Lösen der Ungleichung macht man die Variable explizit, indem man allfällige Klammern auflöst, die Therme zusammenfasst und Äquivalenzumformungen so durchführt, dass die Variable und allfällige Konstanten alleine auf einer Seite der Ungleichung stehen. Nicht vergessen: Bei Division oder Multiplikation mit einer negativen Zahl, muss man das Ungleichheitszeichen umdrehen!
\(\eqalign{ & ax + b < 0{\text{ }}...{\text{ mit a}}{\text{,b }} \in {\text{ }}{\Bbb R}{\text{ und a}} \ne {\text{0}} \cr & ax + b > 0{\text{ }}...{\text{ mit a}}{\text{,b }} \in {\text{ }}{\Bbb R}{\text{ und a}} \ne {\text{0}} \cr}\)
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
| Ungleichung | Verbindet man 2 Terme mit einem der nachfolgend angeführten Ungleichheitszeichen, so erhält man eine Ungleichung |
Aktuelle Lerneinheit
| Lineare Ungleichung mit einer Variablen | Enthält die Ungleichung die einzige Variable x lediglich zur 1. Potenz, so spricht man von einer linearen Ungleichung in einer Variablen. |
Verbreitere dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit
| Quadratische Ungleichung mit einer Variablen | Enthält die Ungleichung x zur 2. Potenz, so spricht man von einer quadratischen Ungleichung.
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| Systeme linearer Ungleichungen mit zwei Variablen | Von einem System linearer Ungleichungen mit 2 Variablen spricht man, wenn man die gemeinsame Lösung von 2 oder mehr Ungleichungen mit 2 Variablen finden soll |
| Lineare Ungleichung mit zwei Variablen | Enthalten die beiden Terme einer Ungleichung die beiden Variablen x und y und kommen diese lediglich zur 1. Potenz vor, so spricht man von einer linearen Ungleichung mit 2 Variablen |
| Systeme linearer Ungleichungen mit einer Variablen | Von einem System linearer Ungleichungen spricht man, wenn man die gemeinsame Lösung von 2 oder mehreren linearen Ungleichungen finden soll.
|
| Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen | Unter einer Äquivalenzumformung einer Ungleichung versteht eine Umformung, die den Wahrheitswert der Ungleichung unverändert lässt. |
| Intervalle | Intervalle dienen dazu Zahlenbereiche noch oben und nach unten abzugrenzen. |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 1199
AHS - 1_199 & Lehrstoff: AG 2.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Handytarife
Vom Handy-Netzbetreiber TELMAXFON werden zwei Tarifmodelle angeboten:
- Tarif A: keine monatliche Grundgebühr, Verbindungsentgelt 6,8 Cent pro Minute in alle Netze
- Tarif B: monatliche Grundgebühr € 15, Verbindungsentgelt 2,9 Cent pro Minute in alle Netze
Aufgabenstellung
Interpretieren Sie in diesem Zusammenhang den Ansatz und das Ergebnis der folgenden Rechnung:
\(\begin{array}{*{20}{r}} {15}& + &{0,029 \cdot t}& < &{0,068 \cdot t}\\ {15}&{}&{}& < &{0,039 \cdot t}\\ {}&{}&t& > &{384,6} \end{array}\)
Aufgabe 1200
AHS - 1_200 & Lehrstoff: AG 2.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Biobauer
Bei einem Biobauern kauft man 1 kg Kartoffeln um € 0,38. Für die Fahrtkosten hin und zurück müssen allerdings noch € 7,40 veranschlagt werden. Kauft man 1 kg derselben Kartoffelsorte im Geschäft, so bezahlt man pro Kilogramm € 0,46.
Aufgabenstellung
Bei welcher Menge Kartoffeln ist der Preisunterschied zwischen Geschäft und Biobauern größer als € 25? Geben Sie eine Ungleichung an, mit der Sie diese Fragestellung bearbeiten können, und formulieren Sie eine Antwort für den gegebenen Kontext!
Aufgabe 1088
AHS - 1_086 & Lehrstoff: AG 2.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Lineare Ungleichung
Gegeben ist die lineare Ungleichung \(y < 3x - 4\)
- Aussage 1: \(\left( {2\left| { - 1} \right.} \right)\)
- Aussage 2: \(\left( {2\left| 2 \right.} \right)\)
- Aussage 3: \(\left( {2\left| 5 \right.} \right)\)
- Aussage 4: \(\left( {0\left| 4 \right.} \right)\)
- Aussage 5: \(\left( {0\left| { - 5} \right.} \right)\)
Aufgabenstellung
Welche der angegebenen Zahlenpaare sind Lösung der vorgegebenen Ungleichung? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Zahlenpaare an!