Aufgabe 205
Extremwertaufgabe
Ein Bauer hat 700m Gartenzaun. Er will ein Gemüsebeet mit der größtmöglichen rechteckigen Fläche einzäunen. Welche Länge l bzw. welche Breite b muss er wählen?
Lösungsweg
Es handelt sich um eine Extremwertaufgabe vom Typ: Größte Fläche eines Rechtecks, bei gegebenem Umfang.
Zielfunktion anschreiben – Sie hat 2 unabhängige Variablen:
\(A\left( {l,b} \right) = l \cdot b\)
A soll ein Maximum werden!
Nun schreiben wir die Nebenbedingung(en) an:
\(\begin{array}{l} U = 2(l + b)\\ 700 = U = 2\left( {l \cdot b} \right) \Rightarrow l = 350 - b \end{array}\)
Zielfunktion erneut anschreiben – Sie hat nun nur mehr 1 unabhängige Variable:
\(A\left( b \right) = \left( {350 - b} \right) \cdot b = 350b - {b^2}\)
Durch Differenzieren können wir den Extremwert bestimmen:
\(A' = \dfrac{d}{{db}}\left( {350b - {b^2}} \right) = 350 - 2b\)
Nullstelle bestimmen:
\(350 - 2b = 0 \Rightarrow b = 175\)
Klären ob ein Minimum oder ein Maximum vorliegt:
\({\rm{l = 350 - b = 350 - 175 = 175}}\)
Ein Quadrat mit der Seitenlänge l ist bei gegebenen Umfang das flächengrößte Rechteck.
In unserem Beispiel beträgt die Seitenlänge l=b=175m.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(l = b = 175m\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.