Aufgabe 227
Funktionsgleichung aus Extremwerten bestimmen
Finde die Gleichung der zugehörigen Polynomfunktion 3. Grades
- Hochpunkt \(HP\left( {2\left| 3 \right.} \right)\)
- Wendepunkt \(WP\left( {0\left| 1 \right.} \right)\)
Lösungsweg
Allgemeine Formel für ein Polynom 3. Grades
\(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\)
Wir benötigen also 4 Gleichungen, um die 4 unbekannten Koeffizienten a, b, c und d bestimmen zu können. Wir schauen zunächst, ob wir einen beliebigen Punkt gegeben haben, bei dem x=0 gilt…
erste Gleichung: Aus WP wissen wir, dass an der Stelle x=0 auch y=1 gelten muss
\(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\)
wir setzen \(WP\left( {0\left| 1 \right.} \right)\) ein:
\(\begin{array}{l} f\left( 0 \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 1\\ a \cdot {0^3} + b \cdot {0^2} + c \cdot 0 + d = 1\\ d = 1 \end{array}\)
zweite Gleichung: Für einen WP muss für die 2. Ableitung gelten: f‘‘(x)=0
\(\begin{array}{l} f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\\ f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\\ f''\left( x \right) = 6ax + 2b \end{array}\)
wir setzen \({\rm{W}}{{\rm{P}}_x}{\rm{ = 0}}\) und \({\rm{f''}}\left( 0 \right) = 0\) ein:
\(\begin{array}{l} f''\left( 0 \right) = 3a \cdot {0^2} + 2b = 0\\ 2b = 0\\ b = 0 \end{array}\)
dritte Gleichung: Aus HP wissen wir, dass an der Stelle x=2 auch y=3 gelten muss
\(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\)
wir setzen \(HP\left( {2\left| 3 \right.} \right)\) ein:
\(\begin{array}{l} a \cdot {2^3} + 0 \cdot {2^2} + c \cdot 2 + 1 = 3\\ 8a + 2c + 1 = 3\\ 8a + 2c = 2 \end{array}\)
vierte Gleichung: Aus dem Wissen, dass in jedem Extremwert (TP, HP bw. Min, Max) die Tangente waagrecht ist, gilt k=0
\(\begin{array}{l} f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + 0 + 6\\ f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx = k \end{array}\)
wir setzen \(HP\left( {2\left| 3 \right.} \right)\) ein:
\(\begin{array}{l} f'\left( 2 \right) = 3a \cdot {2^2} + 2b \cdot 2 = 0\\ 12a + 4b = 0 \end{array}\)
Somit verbleiben die beiden Unbekannten a und c, für deren Berechnung wir die erforderlichen 2 Gleichungen kennen:
\(\begin{array}{*{20}{c}} {8a}&{ + 2c}&{ = 2}&{}\\ {12a}&{ + c}&{ = 0}&{\left| { \cdot 2} \right.} \end{array}\)
wir multiplizieren die untere Gleichung mit 2 und erhalten:
\(\begin{array}{*{20}{c}} {8a}&{ + 2c}&{ = 2}&{}\\ {24a}&{ + 2c}&{ = 0}&{} \end{array}\)
wir subtrahieren die untere Gleichung von der oberen Gleichung:
\(\begin{array}{l} - 16a = 2\\ a = - \dfrac{2}{{16}} = - \dfrac{1}{8} = - 0,25 \end{array}\)
wir setzen \({\rm{a = - }}\dfrac{1}{8}\) ein, um c wie folgt zu berechnen:
\(\begin{array}{l} 8 \cdot \left( { - \dfrac{1}{8}} \right){\rm{ + 2c = 2}}\\ - 1 + 2c = 2\\ 2c = 3\\ c = 1,5 \end{array}\)
Jetzt können wir die Lösung wie folgt anschreiben:
\(\begin{array}{l} f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\\ f\left( x \right) = - \dfrac{1}{8}{x^3} + 1,5x + 1 \end{array}\)
Die gesuchte Funktion lautet daher:
\(f\left( x \right) = \dfrac{1}{8}{x^3} + 1,5x + 1\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f\left( x \right) = \dfrac{1}{8}{x^3} + 1,5x + 1\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.