Lagebeziehung zwischen Punkt und Gerade
Formel
Lagebeziehung zwischen Punkt und Gerade
Entweder liegt der Punkt auf der Geraden , oder er liegt außerhalb der Geraden, dann ist sein Normalabstand der kürzeste Abstand zwischen dem Punkt und der Geraden
- \(P \in g\)
- \(P \notin g\)
Prüfen ob ein Punkt auf einer Geraden liegt
Ein Punkt liegt auf einer Geraden, wenn er für alle Koordinatenachsen die Geradengleichung erfüllt
Gegeben sei ein Punkt und eine Gerade
\(P\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_x}}\\ {{P_y}}\\ {{P_z}} \end{array}} \right);\,\,\,\,\,\overrightarrow g = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_x}}\\ {{Q_y}}\\ {{Q_z}} \end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}}\\ {{v_y}}\\ {{v_z}} \end{array}} \right)\)
Wir prüfen ob der Punkt die Geradengleichung erfüllt
\(\begin{array}{*{20}{l}} {{P_x}}& = &{{Q_x}}& + &{{\lambda _1}.{v_x}}& \Rightarrow &{{\lambda _1} = \frac{{{P_x} - {Q_x}}}{{{v_x}}}}\\ {{P_y}}& = &{{Q_y}}& + &{{\lambda _2}.{v_y}}& \Rightarrow &{{\lambda _2} = \frac{{{P_y} - {Q_y}}}{{{v_y}}}}\\ {{P_z}}& = &{{Q_z}}& + &{{\lambda _3}.{v_z}}& \Rightarrow &{{\lambda _3} = \frac{{{P_z} - {Q_z}}}{{{v_z}}}} \end{array}\)
→ Der Punkt liegt auf der Geraden, wenn es für alle Koordinatenachsen einen einzigen und somit einheitlichen Parameter \(\lambda\) gibt, sodass der Punkt die Geradengleichung erfüllt
\({\lambda _1} = {\lambda _2} = {\lambda _3} \Rightarrow P \in \overrightarrow g\)
→ Der Punkt liegt außerhalb der Geraden, wenn es für einzelne Koordinatenachsen unterschiedliche Parameter \(\lambda\) gibt.
Wir prüfen ob der Punkt die Geradengleichung erfüllt:
\(\eqalign{
& y = k \cdot x + d \cr
& P\left( {{P_x}|{P_y}} \right) \cr
& \cr
& P \to y \cr
& {P_y} = k \cdot {P_x} + d \to {\text{wahre Aussage}} \cr} \)
Normalabstand eines Punktes von einer Geraden
Der Normalabstand eines Punktes von einer Geraden entspricht dem Abstand des Punkts zu seinem Lotpunkt auf der Geraden. Der Lotpunkt ist der Schnittpunkt einer Ebene, die einerseits den Punkt enthält und die andererseits orthogonal zur Geraden steht.
- Man stellt zunächst die Gleichung einer Ebene n auf, die durch den Punkt P verläuft und orthogonal zur Geraden g liegt.
- Dann bestimmt man den Lotfußpunkt, das ist jener Punkt L, in dem die Gerade g die Ebene n durchstößt.
- Abschließend bestimmt man den Abstand des Punktes P vom Lotfußpunkt L.
\(\begin{array}{l} d\left( {P,g} \right) = \left| {\overrightarrow {PL} } \right| = \dfrac{{\left| {\left( {\overrightarrow P - \overrightarrow Q } \right) \times \overrightarrow v } \right|}}{{\left| {\overrightarrow v } \right|}}\\ d\left( {P,g} \right) = \dfrac{{\left| {\left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_x}}\\ {{Q_y}}\\ {{Q_z}} \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_x}}\\ {{P_y}}\\ {{P_z}} \end{array}} \right)} \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}}\\ {{v_y}}\\ {{v_z}} \end{array}} \right)} \right|}}{{\sqrt {{v_x}^2 + {v_y}^2 + {v_z}^2} }} = Skalar \end{array}\)
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
Analytische Geometrie | Bei der analytischen Geometrie werden Aufgaben der Geometrie auf Aufgaben der Algebra zurückgeführt |
Aktuelle Lerneinheit
Lagebeziehung zwischen Punkt und Gerade | Entweder liegt der Punkt auf oder außerhalb einer Geraden. |
Verbreitere dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit
Gleichung der Kugel | Die Kugeloberfläche ist die Menge aller Punkte X, die vom Mittelpunkt M, den Abstand r (Kugelradius) haben. |
Gleichung der Ellipse | Die Ellipse ist die Menge aller Punkte P, die in einer Ebene liegen und für die die Summe ihrer Abstände von den zwei festen Brennpunkten den konstanten Wert 2a hat. |
Ebenengleichungen und ihre Darstellungsformen | In der analytischen Geometrie werden Ebenen mit der Hilfe von Punkten und Vektoren dargestellt |
Geradengleichungen und deren Darstellungsformen | In der analytischen Geometrie werden Geraden mit der Hilfe von Vektoren dargestellt, wofür es 1) die Parameterform, 2) die Normalvektorform und 3) die allgemeine Form gibt. Zusätzlich gibt es noch 4) die vektorfreie Form der Geraden |
Gleichung der Parabel | Die Parabel ist die Menge aller Punkte, die in einer Ebene liegen und die von einem festen Brennpunkt und von einer gegebenen Leitgerade den gleichen Abstand haben. |
Gleichung der Hyperbel | Die Hyperbel ist die Menge aller Punkte X, die in einer Ebene liegen und für die die Differenz ihrer Abstände von den zwei Brennpunkten den konstanten Wert 2a hat. |
Gleichung des Kreises | Die Kreislinie ist die Menge aller Punkte X, die in einer Ebene liegen und die von einem gegebenen Mittelpunkt M, den Abstand r (Kreisradius) haben. |
Lagebeziehung zweier Ebenen | Zwei Ebenen können zu einander parallel sein, identisch sein oder sich in einer Schnittgeraden schneiden |
Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene | Eine Gerade kann eine Ebene entweder schneiden, parallel zur Ebene liegen oder in der Ebene liegen |
Lagebeziehung zwischen Punkt und Ebene | Entweder liegt der Punktauf in oder außerhalb einer Ebene |
Lagebeziehung zweier Geraden | Zwei Gerade können deckungsgleich, parallel, komplanar oder windschief zu einander sein |
Lagebeziehung zweier Punkte | Zwei Punkte im Raum können durch einen Vektor verbunden werden. Anschließend kann der Betrag bzw. die Länge des Vektors errechnet werden, und man erhält damit den Abstand der beiden Punkte |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 1297
AHS - 1_297 & Lehrstoff: AG 3.5
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Punkt und Gerade
Gegeben sind der Punkt \(P = \left( { - 1\left| {5\left| 6 \right|} \right.} \right)\) und die Gerade g, die durch die Punkte \(A = \left( {2\left| { - 3\left| 2 \right.} \right.} \right)\) und \(B = \left( {5\left| {1\left| 0 \right.} \right.} \right)\) verläuft.
Aufgabenstellung
Geben Sie an, ob der gegebene Punkt P auf der Geraden g liegt, und überprüfen Sie diese Aussage anhand einer Rechnung!
Aufgabe 1090
AHS - 1_090 & Lehrstoff: AG 3.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Lagebeziehung von Geraden
Gegeben sind die beiden Geraden \(g:X = P + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{g_1}} \\ {{g_2}} \\ {{g_3}} \end{array}} \right)\)und \(h:X = Q + s \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{h_1}} \\ {{h_2}} \\ {{h_2}} \end{array}} \right)\)mit \(t,\,\,\,s \in \mathbb{R}\)
Aufgabenstellung
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht!
Wenn _____1____ gilt, kann man daraus eindeutig schließen, dass die beiden Geraden _____2_____ sind.
1 | |
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{g_1}}\\ {{g_2}}\\ {{g_3}} \end{array}} \right) = r \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{h_1}}\\ {{h_2}}\\ {{h_3}} \end{array}} \right)\) und \(P = Q + s \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{h_1}}\\ {{h_2}}\\ {{h_3}} \end{array}} \right)\) mit \(r,\,\,s \in {\Bbb R}\) | A |
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{g_1}}\\ {{g_2}}\\ {{g_3}} \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{h_1}}\\ {{h_2}}\\ {{h_3}} \end{array}} \right) = 0\) und \(P \ne Q\) | B |
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{g_1}}\\ {{g_2}}\\ {{g_3}} \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{h_1}}\\ {{h_2}}\\ {{h_3}} \end{array}} \right) = 0\) und \(P \ne Q + s \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{h_1}}\\ {{h_2}}\\ {{h_3}} \end{array}} \right))\) mit \(s \in {\Bbb R}\) | C |
2 | |
schneidend | I |
zueinander parallel | II |
ident | III |
Aufgabe 1137
AHS - 1_137 & Lehrstoff: AG 3.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Gerade im dreidimensionalem Raum
Gegeben ist die Gerade g mit der Gleichung \(X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ 2 \\ 4 \end{array}} \right) + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ { - 1} \\ 2 \end{array}} \right){\text{ mit }}t \in \mathbb{R}\)
- Aussage 1: \(X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ 2 \\ 4 \end{array}} \right) + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2 \\ { - 1} \\ 3 \end{array}} \right){\text{ mit }}t \in \mathbb{R}\)
- Aussage 2: \(X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5 \\ 7 \\ 9 \end{array}} \right) + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2 \\ { - 2} \\ 4 \end{array}} \right){\text{ mit }}t \in \mathbb{R}\)
- Aussage 3: \(X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6 \\ 0 \\ 8 \end{array}} \right) + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ { - 1} \\ 2 \end{array}} \right){\text{ mit }}t \in \mathbb{R}\)
- Aussage 4: \(X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ 2 \\ 4 \end{array}} \right) + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1} \\ 1 \\ { - 2} \end{array}} \right){\text{ mit }}t \in \mathbb{R}\)
- Aussage 5: \(X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3 \\ 3 \\ 2 \end{array}} \right) + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}} \right){\text{ mit }}t \in \mathbb{R}\)
Aufgabenstellung:
Zwei der obigen Gleichungen sind ebenfalls Parameterdarstellungen der Geraden g. Kreuzen Sie diese beiden Gleichungen an!