Aufgabe 1137
AHS - 1_137 & Lehrstoff: AG 3.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Gerade im dreidimensionalem Raum
Gegeben ist die Gerade g mit der Gleichung \(X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ 2 \\ 4 \end{array}} \right) + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ { - 1} \\ 2 \end{array}} \right){\text{ mit }}t \in \mathbb{R}\)
- Aussage 1: \(X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ 2 \\ 4 \end{array}} \right) + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2 \\ { - 1} \\ 3 \end{array}} \right){\text{ mit }}t \in \mathbb{R}\)
- Aussage 2: \(X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5 \\ 7 \\ 9 \end{array}} \right) + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2 \\ { - 2} \\ 4 \end{array}} \right){\text{ mit }}t \in \mathbb{R}\)
- Aussage 3: \(X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6 \\ 0 \\ 8 \end{array}} \right) + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ { - 1} \\ 2 \end{array}} \right){\text{ mit }}t \in \mathbb{R}\)
- Aussage 4: \(X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ 2 \\ 4 \end{array}} \right) + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1} \\ 1 \\ { - 2} \end{array}} \right){\text{ mit }}t \in \mathbb{R}\)
- Aussage 5: \(X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3 \\ 3 \\ 2 \end{array}} \right) + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}} \right){\text{ mit }}t \in \mathbb{R}\)
Aufgabenstellung:
Zwei der obigen Gleichungen sind ebenfalls Parameterdarstellungen der Geraden g. Kreuzen Sie diese beiden Gleichungen an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Gegeben ist eine Gerade in Parameterdarstellung \(X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_x}}\\ {{P_y}}\\ {{P_z}} \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{r_{1x}}}\\ {{r_{1y}}}\\ {{r_{1z}}} \end{array}} \right)\), also durch einen Punkt auf der Geraden und einen Richtungsvektor.
Damit eine zweite Gerade in Parameterdarstellung \(X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_x}}\\ {{Q_y}}\\ {{Q_z}} \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{r_{2x}}}\\ {{r_{2y}}}\\ {{r_{2z}}} \end{array}} \right)\)ident zur ersten Geraden ist, müssen folgende 2 Bedingungen erfüllt sein:
- Es muss ein gemeinsames \(\lambda\) geben
Die beiden Richtungsvektoren müssen parallel sein. Dh sie müssen linear abhängig sein, somit muss wie folgt gelten:
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{r_{1x}}}\\ {{r_{1y}}}\\ {{r_{1z}}} \end{array}} \right) = \lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{r_{2x}}}\\ {{r_{2y}}}\\ {{r_{2z}}} \end{array}} \right)\) -
Es muss ein gemeinsames t geben
Der Aufpunkt Q der 2. Geraden muss auch auf der 1. Geraden liegen, dh. deren Gleichung erfüllen:
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_x}}\\ {{Q_y}}\\ {{Q_z}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_x}}\\ {{P_y}}\\ {{P_z}} \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{r_{1x}}}\\ {{r_{1y}}}\\ {{r_{1z}}} \end{array}} \right)\)
Lösungsweg
Wir prüfen jeweils ob es ein gemeinsames \(\lambda\) und ein gemeinsames t gibt:
- Aussage 1: Diese Aussage ist falsch, weil es kein gemeinsames \(\lambda\) gibt:
- Gemäß \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ { - 1}\\ 2 \end{array}} \right){\rm{ = }}\lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ { - 1}\\ 3 \end{array}} \right)\) ist \(\lambda = 2\) für die x-Achse, während für die y-Achse ist \(\lambda = 1\)
- Aussage 2: Diese Aussage ist falsch, weil es zwar ein gemeinsames \(\lambda\) aber kein gemeinsames t gibt:
- Gemäß \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ { - 1}\\ 2 \end{array}} \right){\rm{ = }}\lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ { - 2}\\ 4 \end{array}} \right)\)ist \(\lambda = 2\) , dh die Geraden sind parallel
- Gemäß \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 7\\ 9 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 2\\ 4 \end{array}} \right) + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ { - 1}\\ 2 \end{array}} \right)\) ist t=1 für die x-Achse, während für die y-Achse ist t=-5
- Aussage 3: Diese Aussage ist richtig, weil es sowohl ein gemeinsames \(\lambda\) als auch ein gemeinsames t gibt:
- Gemäß \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ { - 1}\\ 2 \end{array}} \right){\rm{ = }}\lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ { - 1}\\ 2 \end{array}} \right)\) ist \(\lambda = 1\), dh die Geraden sind parallel
- Gemäß \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ 0\\ 8 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 2\\ 4 \end{array}} \right) + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ { - 1}\\ 2 \end{array}} \right)\)ist t=2, dh der Aufpunkt der 2. Geraden liegt auch auf der 1. Geraden.
- Aussage 4: Diese Aussage ist richtig, weil es sowohl ein gemeinsames \(\lambda\) als auch ein gemeinsames t gibt:
- Gemäß \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ { - 1}\\ 2 \end{array}} \right){\rm{ = }}\lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 1\\ { - 2} \end{array}} \right)\) ist \(\lambda = - 1\), dh die Geraden sind parallel
- Gemäß \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 2\\ 4 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 2\\ 4 \end{array}} \right) + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ { - 1}\\ 2 \end{array}} \right)\) ist ist t=0, dh der Aufpunkt der 2. Geraden liegt auch auf der 1. Geraden. Man kann das auch direkt sehen, denn die Aufpunkte der beiden Geraden sind ident: Q=P
- Aussage 5: Diese Aussage ist falsch, weil es kein gemeinsames \(\lambda\) gibt:
- Gemäß \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ { - 1}\\ 2 \end{array}} \right){\rm{ = }}\lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0\\ 1 \end{array}} \right)\)ist \(\lambda = 1\) für die x-Achse, während für die z-Achse ist \(\lambda = 2\), für die y-Achse gibt es gar kein \(\lambda\) mit dem man Null multiplizieren könnte um -1 zu erhalten
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Flasch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Gleichungen angekreuzt sind und beide Kreuze richtig gesetzt sind.