Aufgabe 1090
AHS - 1_090 & Lehrstoff: AG 3.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Lagebeziehung von Geraden
Gegeben sind die beiden Geraden \(g:X = P + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{g_1}} \\ {{g_2}} \\ {{g_3}} \end{array}} \right)\)und \(h:X = Q + s \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{h_1}} \\ {{h_2}} \\ {{h_2}} \end{array}} \right)\)mit \(t,\,\,\,s \in \mathbb{R}\)
Aufgabenstellung
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht!
Wenn _____1____ gilt, kann man daraus eindeutig schließen, dass die beiden Geraden _____2_____ sind.
1 | |
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{g_1}}\\ {{g_2}}\\ {{g_3}} \end{array}} \right) = r \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{h_1}}\\ {{h_2}}\\ {{h_3}} \end{array}} \right)\) und \(P = Q + s \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{h_1}}\\ {{h_2}}\\ {{h_3}} \end{array}} \right)\) mit \(r,\,\,s \in {\Bbb R}\) | A |
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{g_1}}\\ {{g_2}}\\ {{g_3}} \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{h_1}}\\ {{h_2}}\\ {{h_3}} \end{array}} \right) = 0\) und \(P \ne Q\) | B |
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{g_1}}\\ {{g_2}}\\ {{g_3}} \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{h_1}}\\ {{h_2}}\\ {{h_3}} \end{array}} \right) = 0\) und \(P \ne Q + s \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{h_1}}\\ {{h_2}}\\ {{h_3}} \end{array}} \right))\) mit \(s \in {\Bbb R}\) | C |
2 | |
schneidend | I |
zueinander parallel | II |
ident | III |
Lösungsweg
Gegeben sind zwei Gerade jeweils in Parameterdarstellung \(X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_x}}\\ {{P_y}}\\ {{P_z}} \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{r_{1x}}}\\ {{r_{1y}}}\\ {{r_{1z}}} \end{array}} \right)\), also jeweils durch einen Punkt auf der Geraden und einen Richtungsvektor.
Achtung: Die Geraden liegen im Raum, wo sie entweder ident, parallel, schneidend oder windschief zu einander sein können.
Achtung: Das Skalarprodukt im 3-dimensionalen Raum macht zwar eine Aussage ob die beiden Geraden im rechten Winkel auf einander stehen, es macht aber keine Aussage darüber od die beiden Geraden in einer Ebene liegen und einander daher schneiden, oder ob sie in 2 parallelen Ebenen liegen und daher windschief zu einander sind.
Aussage A:
- Hier wird ausgesagt, dass die Richtungsvektoren der Geraden g und h linear abhängig sind. Dh die beiden Geraden g und h sind zu einander parallel.
- Weiters wird ausgesagt, dass der Aufpunkt P der Geraden g auch die Gleichung der Geraden h erfüllt. Dh P liegt auch auf h.
- ⇒ Die beiden Geraden sind also parallel und haben nachweislich einen gemeinsamen Punkt, Dh sie müssen ident sein.
Aussage B
- Hier wird ausgesagt, dass das Skalarprodukt der Richtungsvektoren der Geraden g und h Null ist und die Geraden somit im rechten Winkel auf einander stehen. Im 3-dimensionalen Raum bedeutet das aber nicht, dass die beiden Geraden einander schneiden, denn sie können auch in 2 zu einander parallelen Ebenen "windschief" liegen
- Weiters wird ausgesagt, dass die beiden Aufpunkte P und Q nicht ident sind.
Aussage C:
- Hier wird ausgesagt, dass das Skalarprodukt der Richtungsvektoren der Geraden g und h Null ist und die Geraden somit im rechten Winkel auf einander stehen. Im 3-dimensionalen Raum bedeutet das aber nicht, dass die beiden Geraden einander schneiden, denn sie können auch in 2 zu einander parallelen Ebenen "windschief" liegen
- Weiters wird ausgesagt, dass der Aufpunkt P nicht auf der Geraden h liegt
→ Wenn \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{g_1}}\\ {{g_2}}\\ {{g_3}} \end{array}} \right) = r \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{h_1}}\\ {{h_2}}\\ {{h_3}} \end{array}} \right)\)und \(P = Q + s \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{h_1}}\\ {{h_2}}\\ {{h_3}} \end{array}} \right)\)mit \(r,\,\,s \in {\Bbb R}\) gilt, kann man daraus eindeutig schließen, dass die beiden Geraden ident sind.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Wenn \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{g_1}}\\ {{g_2}}\\ {{g_3}} \end{array}} \right) = r \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{h_1}}\\ {{h_2}}\\ {{h_3}} \end{array}} \right)\)und \(P = Q + s \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{h_1}}\\ {{h_2}}\\ {{h_3}} \end{array}} \right)\)mit \(r,\,\,s \in {\Bbb R}\) gilt, kann man daraus eindeutig schließen, dass die beiden Geraden ident sind.
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn für beide Lücken jeweils die zutreffende Antwortmöglichkeit angekreuzt ist.