Kreis
Ein Kreis ist die Menge all jener Punkte der Ebene, die von einem Punkt, dem Kreismittelpunkt, den gleichen Abstand haben
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Gleichung des Kreises
Die Kreislinie (der Kreis) ist die Menge aller Punkte X, die in einer Ebene liegen und die von einem gegebenen Punkt, dem Mittelpunkt M, den Abstand r (Kreisradius) haben.
\(k\left[ {M,r} \right]:\left\{ {X \in {{\Bbb R}^2}\left| {\overline {XM} = r} \right.} \right\}\)
Kreisgleichung, wobei der Mittelpunkt im Ursprung liegt
Bei einem Kreis in 1. Hauptlage liegt der Mittelpunkt des Kreises im Koordinatenursprung.
Koordinatenschreibweise:
\({r^2} = {x^2} + {y^2}\)
Vektorschreibweise:
\({\overrightarrow x ^2} = {r^2}\)
Kreisgleichung, wobei der Mittelpunkt außerhalb vom Ursprung liegt
Bei der allgemeinen Kreisgleichung ist der Mittelpunkt M des Kreises gegenüber dem Ursprung des Koordinatensystems in x- und / oder y-Richtung verschoben
Koordinatenschreibweise:
\({\left( {x - {M_x}} \right)^2} + {\left( {y - {M_y}} \right)^2} = {r^2}\) wobei \(M\left( {{M_x}\left| {{M_y}} \right.} \right)\)
Vektorschreibweise:
\({\left( {\overrightarrow x - \overrightarrow m } \right)^2} = {r^2}\)
Lagebeziehung Punkt und Kreis
Ein Punkt kann bezüglich einer Kreises innerhalb, außerhalb oder auf dem Kreis liegen
Punkt liegt innerhalb vom Kreis:
\({P_x}^2 + {P_y}^2 < {r^2}\)
Punkt liegt auf dem Kreis:
\({P_x}^2 + {P_y}^2 = {r^2}\)
Punkt liegt außerhalb vom Kreis
\({P_x}^2 + {P_y}^2 > {r^2}\)
Lagebeziehung Gerade und Kreis
Untersucht man ob ein Kreis und eine Gerade gemeinsame Punkte besitzen, so führt dies zu einer quadratischen Gleichung, die dann 2 Lösungen (Sekante), 1 Lösung (Tangente) oder keine reelle Lösung (Passante) hat.
- Sekante bezeichnet eine Gerade, welche einen Kreis in zwei verschiedenen Punkten S1, S2 schneidet.
- Tangente bezeichnet eine Gerade, welche einen Kreis in einem Punkt T berührt. Der Berührradius steht normal auf der Tangente und geht durch T und M.
- Passante bezeichnet eine Gerade, welche keinen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis hat.
\(M\left( {{M_x}\left| {{M_y}} \right.} \right)\) | Mittelpunkt des Kreises |
\(T\left( {{T_x}\left| {{T_y}} \right.} \right)\) | Berührpunkt der Tangente |
t | Tangente im Berührpunkt |
Berührbedingung Gerade an Kreis
Die Berührbedingung vom Kreis ergibt sich aus den Koordinaten vom Kreismittelpunkt sowie aus der Steigung und dem Ordinatenabschnitt der Gerade. Kennt man drei Bestimmungsstücke, so kann man das vierte Bestimmungsstück ausrechnen.
\(\eqalign{ & g:y = kx + d \cr & k:{\left( {x - {M_x}} \right)^2} + {\left( {y - {M_y}} \right)^2} = {r^2} \cr} \)
\({\left( {{M_x} \cdot k + d - {M_y}} \right)^2} = {r^2} \cdot \left( {{k^2} + 1} \right)\)
Spezialfall: M = Ursprung:
\({{\text{d}}^2} = {r^2} \cdot \left( {{k^2} + 1} \right)\)
Spaltform der Tangentengleichung des Kreises
Indem man die Koordinaten vom Kreismittelpunkt und vom Berührpunkt in die Kreisgleichung einsetzt, erhält man die allgemeine (implizite) Form der Tangente. Von der "Spaltform" spricht man, weil man die Quadrate aus der Definitionsgleichung des Kreises aufgespaltet hat in ein \({T_x} \cdot x\) bzw. \({T_y} \cdot y \).
\(\eqalign{ & T\left( {{T_x}\left| {{T_y}} \right.} \right){\text{ mit }}T \in k \cr & k:{\left( {x - {M_x}} \right)^2} + {\left( {y - {M_y}} \right)^2} = {r^2} \cr} \)
\(t:\left( {{T_x} - {M_x}} \right) \cdot \left( {x - {M_x}} \right) + \left( {{T_y} - {M_y}} \right) \cdot \left( {y - {M_y}} \right) = {r^2}\)
Spezialfall: M=Ursprung:
\({T_x} \cdot x + {T_y} \cdot y = {r^2}\)
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung in Ruhe entspannen
Kreis
Ein Kreis ist die Menge all jener Punkte der Ebene, die von einem Punkt, dem Kreismittelpunkt, den gleichen Abstand haben. Ein Kreis ist durch seinen Mittelpunkt und seinen Radius definiert. Will man sprachlich die Außenkontur des Kreises hervorheben, so spricht man von der Kreislinie.
\(k\left( {M;r} \right) = \left\{ {P\left| {\overline {MP} = r} \right.} \right\}\)
- Punkt der Ebene liegt innerhalb vom Kreis \(\overline {MP} < r\)
- Punkt der Ebene liegt auf der Kreislinie \(\overline {MP} = r\)
- Punkt der Ebene liegt außerhalb vom Kreis \(\overline {MP} > r\)
Kreismittelpunkt
Der Kreismittelpunkt ist jener Punkt in der Mitte vom Kreis, von dem alle anderen Punkte auf der Kreislinie den gleichen Abstand haben.
Kreisradius
Der Kreisradius entspricht der Strecke bzw. dem Abstand vom Kreismittelpunkt zu jedem beliebigen Punkt auf der Kreislinie.
\(r = \overline {MP} \)
Kreisdurchmesser
Der Kreisdurchmesser entspricht jeder Strecke, die von einem beliebigen Punkt auf der Kreislinie, durch den Kreismittelpunkt bis zum gegenüber liegenden Punkt am Kreis verläuft. Der Kreisdurchmesser ist doppelt so lang wie der Kreisradius.
\(d = 2r\)
Kreisumfang
Der Kreisumfang entspricht der Länge der Kreislinie.
\(U = 2r\pi = d\pi \)
Kreiszahl π
Die Kreiszahl Pi ist das Verhältnis vom Kreisumfang zum Kreisdurchmesser. Dieser Quotient ist für jeden Kreis, unabhängig von seinem Radius, immer gleich. D.h. der Umfang eines Kreises ist immer das 3,14-fache vom Durchmesser des Kreises. Die Zahl π ist eine irrationale Zahl, d.h. sie kann nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden. Die Kreiszahl hat unendlich viele Nachkommastellen und ist nicht periodisch.
\(\pi = \dfrac{U}{d} \approx 3,141592\)
Näherungen von Pi: Der Bruch \(\dfrac{{355}}{{113}}\) nähert die Zahl Pi auf sieben Stellen genau an. Das entspricht einem Fehler beim Kreisumfang von 26 cm bei einem Kreisdurchmesser von 1.000 km (das sind immerhin ca. 30% vom Monddurchmesser)
Kreisfläche
Die Kreisfläche ist die Fläche innerhalb der Kreislinie. Die Kreisfläche ist die Menge all jener Punkte der Ebene, die von einem Punkt, dem Kreismittelpunkt, einen Abstand haben, der kleiner oder gleich dem Radius ist.
\(\eqalign{ & A\left( {M;r} \right) = \left\{ {P\left| {\overline {MP} } \right. \leqslant r} \right\} \cr & A = {r^2}\pi = \dfrac{{{d^2}}}{4} \cdot \pi \cr} \)
Illustration vom Kreis
Kreissektor
Der Kreissektor wird von zwei Kreisradien und einem davon aufgespannten Kreisbogen gebildet. Seine Fläche und sein Umfang berechnen sich wie folgt:
\(\eqalign{ & A = \dfrac{{{r^2} \cdot \pi \cdot \alpha }}{{360}} = \frac{{b \cdot r}}{2} \cr & U = b + 2r \cr} \)
Beispiel:
Berechne die Fläche vom Kreissektor bei gegebenen Radius und Öffnungswinkel
\(\eqalign{
& r = 5cm \cr
& \alpha = 53^\circ \cr
& A = {\left( {5cm} \right)^2} \cdot \dfrac{{\pi \cdot 53^\circ }}{{360}} = 15,563c{m^2} \cr} \)
Länge vom Kreisbogen
Die Bogenlänge eines Kreissektors berechnet sich aus dem Kreisradius und dem vom zugrunde liegenden Kreissektor eingeschlossenen Öffnungswinkel
\(b = r \cdot \dfrac{{\pi \cdot \alpha }}{{180}}\)
Beispiel:
Berechne die Bogenlänge eines Keissektors bei gegebenem Radius und Öffnungswinkel
\(\eqalign{
& r = 5{\text{ cm}} \cr
& \alpha = 53^\circ \cr
& b = 5cm \cdot d\frac{{\pi \cdot 53^\circ }}{{180^\circ }} \approx 4,625{\text{ cm}} \cr} \)
Illustration von Kreissektor und Kreisbogen
Kreisring
Der Kreisring wird von 2 konzentrischen Kreisen, einem äußeren und einem inneren Kreis, gebildet. Die konzentrischen Kreise haben den selben Kreismittelpunkt.
\(\eqalign{ & U = 2\pi \left( {{r_a} + {r_i}} \right); \cr & A = \pi \left( {r_a^2 - r_i^2} \right);{\text{ mit }}{{\text{r}}_a}{\text{ > }}{{\text{r}}_i}{\text{;}} \cr}\)
Illustration vom Kreisring
Kreissegment
Ein Kreissegment wird von einer Sehne und dem davon aufgespannten Kreisbogen gebildet. r ist der Kreisradius und \(\alpha\) ist der Mittelpunktswinkel, er ist im Bogenmaß einzusetzen und allenfalls gemäß \(\operatorname{arc} \alpha = \alpha \cdot \dfrac{\pi }{{180^\circ }}\) umzurechnen.
\(\eqalign{
& s = 2r \cdot \sin \dfrac{\alpha }{2} \cr
& U = b + s \cr
& A = \dfrac{{{r^2}}}{2}\left( {\alpha - \sin \alpha } \right) \cr} \)
Illustration vom Kreissegment
Aufgaben
Aufgabe 201
Differentialrechnung bei impliziter Darstellung
Gegeben sei die Funktion: \({x^2} + {y^2} = 4;\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung für implizite Darstellung.
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung in Ruhe entspannen