Gleichwert von Wechselstromgrößen
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Formeln
Zusammenhang Momentanwert, Scheitelwert, Effektivwert, Gleichwert und Gleichrichtwert einer Wechselgröße
Bei der Berechnung und vor allem bei der Dimensionierung der elektrischen Isolation in Wechselstromkreisen unterscheidet man zwischen dem Momentanwert, dem Scheitelwert und dem Effektivwert, der zugleich der Nennwert ist
u(t), i(t) | zeitabhängiger Momentanwert |
\(\widehat u,\,\,\widehat i\) | Scheitel- bzw. Maximal- bzw. Spitzenwert bzw. Amplitude einer sinusförmigen Wechselgröße |
\(\sqrt 2 \) | Scheitelfaktor, das ist das Verhältnis vom Scheitelwert zum Effektivwert, \(\sqrt 2 \) gilt für Sinusform |
U=UN=Ueff, I=IN=Ieff | Nennwert, bzw. Effektivwert, bzw. quadratischer Mittelwert, schreibweise ohne Index |
\(\overline u,\,\,\overline i\) | Gleichwert von Wechselstromgrößen |
\(\overline {\left| u \right|} ,\,\,\,\left| {\overline i } \right|\) | Gleichrichtwert von Wechselstromgrößen |
Illustration Momentanwert, Scheitelwert, Effektivwert und Nennwert einer Wechselgröße
Ein Stromnetz mit einer Netz-Nennspannung von 230V hat einen Effektivwert von ebenfalls 230V und einen Scheitelwert gemäß \(\widehat u = 230V \cdot \sqrt 2 = 325V\)
Momentanwert einer Wechselgröße
Der Momentanwert einer sinusförmigen Wechselgröße ändert sich kontinuierlich. Der Momentanwert, auch als Augenblickswert veranschaulicht, nimmt im Laufe eine Periode den Wert Null, den positiven Scheitelwert , den Wert Null, den negativen Scheitelwert und wieder den Wert Null an.
- Strom und Spannung als sich zeitlich ändernde Momentanwerte
\(\eqalign{ & i\left( t \right) = \widehat i \cdot \sin \left( {\omega t + {\varphi _i}} \right) \cr & u\left( t \right) = \widehat u \cdot \sin \left( {\omega t + {\varphi _u}} \right) \cr} \) - Strom und Spannung in komplexer Zeigerdarstellung
\(\eqalign{ & \underline i \left( t \right) = \widehat i \cdot \left[ {\cos \left( {\omega t + {\varphi _i}} \right) + j \cdot \sin \left( {\omega t + {\varphi _i}} \right)} \right] = \widehat i \cdot {e^{j\left( {\omega t + {\varphi _i}} \right)}} \cr & \underline u \left( t \right) = \widehat u \cdot \left[ {\cos \left( {\omega t + {\varphi _u}} \right) + j \cdot \sin \left( {\omega t + {\varphi _u}} \right)} \right] = \widehat u \cdot {e^{j\left( {\omega t + {\varphi _u}} \right)}} \cr}\)
Scheitelwert einer Wechselgröße
Der Scheitelwert ist der Maximalwert einer Wechselgröße während einer Halbperiode. Innerhalb einer vollen Periode einer sinusförmigen Wechselgröße tritt er einmal als positiver und einmal als negativer Scheitelwert auf. Um den Scheitelwert, der im Fall einer sinusförmigen Wechselgröße zugleich der Amplitude entspricht, vom Effektivwert unterscheiden zu können, erhält er ein kleines "Dach" über dem Kleinbuchstaben. Für den Scheitelwert werden aber auch Großbuchstaben US, IS verwendet.
\(\begin{array}{l} \widehat i = I \cdot \sqrt 2 = {I_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {I_N} \cdot \sqrt 2 \\ \widehat u = U \cdot \sqrt 2 = {U_{eff}} \cdot \sqrt 2 = {U_N} \cdot \sqrt 2 \\ {U_N} = {U_{eff}} = 230V \leftrightarrow \widehat u = 325V \end{array}\)
Der Effektivwert
Der Effektivwert ist der quadratische Mittelwert des zugrunde liegenden periodischen Signals. Unter dem - zeitlich konstanten - Effektivwerten Ueff, Ieff einer zeitabhängigen Wechselspannung u(t) bzw. Wechselstroms i(t) versteht man das Äquivalent jener Gleichgröße U, I, die an einem ohmschen Widerstand während einer Periode die gleiche Energie umsetzt. Der Effektivwert wird auch quadratischer zeitlicher Mittelwert genannt. Für eine beliebige - nicht notwendiger Weise sinusförmigen - Kurvenform berechnet sich der Effektivwert gemäß der Formel
\(\eqalign{ & {U_{eff}} = \sqrt {\dfrac{1}{T} \cdot \int\limits_{{t_0}}^{{t_0} + T} {{u^2}\left( t \right)\,\,dt} } \cr & {I_{err}} = \sqrt {\dfrac{1}{T} \cdot \int\limits_{{t_0}}^{{t_0} + T} {{i^2}\left( t \right)\,\,dt} } \cr} \)
Dabei quadriert man den periodischen Strom, dann bildet man den Mittelwert indem man mit 1/T multipliziert und zieht anschließend die Wurzel.
Die Nennspannung, der Nennstrom
Nennspannung ist eine alternative Bezeichnung für die Effektivspannung. Der Effektivwert Ueff der Wechselspannung im Haushalt beträgt UN=230V.
Tatsächlich werden die Haushalte aber mit Drehstrom versorgt.
- Bei der Nennspannung im Wechselstromnetz, etwa im Haushalt, handelt es sich schaltungstechnisch gesehen um die Spannung von 230 V zwischen einem Außenleiter und dem Sternpunkt eines Drehstromsystems. Die Nennspannung von 230 V (zugleich der Effektivwert) ist im Wechselstromkreis um den Faktor \(\sqrt 2 = 1,4142\) kleiner als die Amplitude (zugleich der Scheitelwert) von 325V der sinusförmigen Wechselgröße im Wechselstromkreis.
- Bei der Nennspannung vom Drehstromnetz handelt es sich schaltungstechnisch gesehen um die Spannung von 400V zwischen zwei Außenleitern des Drehstromnetzes. D.h. die Nennspannung vom Drehstrom ist um das \(\sqrt 3 \)-fache höher als die Nennspannung vom Wechselstrom.
\(\eqalign{ & {U_{eff}} = \dfrac{{\widehat u}}{{\sqrt 2 }} \cr & {I_{eff}} = \dfrac{{\widehat i}}{{\sqrt 2 }} \cr} \)
Gesamteffektivwert von Wechselgrößen bei Überlagerung von n sinusförmigen Schwingungen
Der Gesamteffektivwert von Wechselgrößen bei der Überlagerung von mehreren sinusförmigen Schwingungen, wie sie etwa das Resultat einer Fourier-Entwicklung sind, errechnet sich aus der Wurzel von der Summe der quadrierten Effektivwerte der Grund- und der n Oberschwingungen
\(\eqalign{ & I = \sqrt {{I_1}^2 + {I_2}^2 + ... + {I_k}^2} = \sqrt {\sum\limits_{k = 1}^n {{I_k}^2} } = \sqrt {\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {\dfrac{{{{\widehat i}_k}}}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}} } = \dfrac{{\sqrt {\sum {{{\widehat i}^2}} } }}{{\sqrt 2 }} \cr & U = \sqrt {{U_1}^2 + {U_2}^2 + ... + {U_k}^2} = \sqrt {\sum\limits_{k = 1}^n {{U_k}^2} } = \sqrt {\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {\dfrac{{{{\widehat u}_k}}}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}} } = \dfrac{{\sqrt {\sum {{{\widehat u}^2}} } }}{{\sqrt 2 }} \cr}\)
Gleichwert von Wechselstromgrößen
Der Gleichwert einer Wechselstromgröße errechnet sich aus dem Integral des zeitlichen Verlaufs der Wechselgröße, dividiert durch die Periodendauer T, ist also dessen arithmetischer Mittelwert. Wie für arithmetische Mittelwerte üblich, schreibt man einen kleinen Querstrich über den Kleinbuchstaben. Der Gleichwert einer sinusförmigen Wechselgröße ist Null, da sich die Flächen unterhalb bzw. oberhalb der Zeitachse gegenseitig aufheben. Auf einen stromdurchflossenen Leiter in einem Magnetfeld wirkt eine Kraft, die proportional dem Gleichwert des Stroms ist.
\(\eqalign{ & \overline i = \dfrac{1}{T} \cdot \int\limits_t^{t + T} {\left| i \right|\,\,dt} \cr & \overline u = \dfrac{1}{T} \cdot \int\limits_t^{t + T} {u\,\,dt} \cr}\)
Bei einer periodisch schwingenden Wechselgröße mit einem Gleichwert ungleich null handelt es sich um eine Mischgröße, bestehend aus einem Gleichwert und einem Wechselanteil.
Gleichrichtwert von Wechselstromgrößen
Der Gleichrichtwert ist der durch eine Brückenschaltung mit idealen Dioden gleichgerichtete arithmetische Mittelwert einer periodischen Wechselgröße. Es handelt sich um das Integral über die Betragsfunktion der Wechselgröße bezogen auf die Periodendauer.
\(\eqalign{ & \left| {\overline i } \right| = \dfrac{1}{T} \cdot \int\limits_t^{t + T} {\left| i \right|\,\,dt} \cr & \left| {\overline u } \right| = \dfrac{1}{T} \cdot \int\limits_t^{t + T} {\left| u \right|\,\,dt} \cr} \)
Illustration eines gleichgerichteten Wechselstroms
Illustration eines gleichgerichteten Wechselstroms, dessen negative Anteile unter der t-Achse zufolge einer Gleichrichter-Diodenschaltung in den positiven Wertebereich oberhalb der t-Achse geklappt wurden.
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