Arithmetische Folge
Eine Zahlenfolge ist eine Aufzählung von Zahlenwerten, wobei bei der arithmetischen Folge die Differenz zweier aufeinander folgender Glieder konstant ist.
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Zahlenfolgen
Eine Zahlenfolge ist eine (endliche oder unendliche) Aufzählung von (durch Beistrich getrennten) Zahlenwerten.
\(\left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {{a_1},{a_2},{a_3},...,{a_n},{a_{n + 1}},...} \right\rangle ;\)
Für je zwei aufeinander folgende Zahlenwerte existiert eine Bildungsvorschrift.
\({a_n} = f(n),\,\,n \in {\Bbb N}\)
Wenn nicht explizit beschränkt, sind Folgen unendlich.
i | Index der Glieder der Folge |
an | n-tes Glied der Folge (i=n) |
Beispiel:
Gegen sei eine allgemeine Bildungsvorschrift wie folgt:
\(\eqalign{ & {a_n} = \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}} \cr & {\text{Folge:}}\,\,\,\left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {{a_1},{a_2},{a_3},{a_4},...,{a_{n - 1}},{a_n},{a_{n + 1}},...} \right\rangle = 1,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{8},...,\dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}},... \cr}\)
Arithmetische Zahlenfolge
Eine Zahlenfolge ai ist eine (durch Beistriche getrennte) Aufzählung von Zahlenwerten, die zugehörige Zahlenreihe sn entsteht durch Summation der Zahlenwerte. Bei der arithmetischen Zahlenfolge ist die Differenz d zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant.\(\left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {{a_1},\,\,{a_1} + d,\,\,{a_1} + 2d,\,\,{a_1} + 3d,\,\,\,\,\,...,\,\,\,\,\,\,{a_1} + (n - 1) \cdot d} \right\rangle \)
Das Bildungsgesetz ist ein linearer Term in n, wobei:
\({a_1} = {a_1};\,\,\,\,\,{a_2} = {a_1} + 1d;\,\,\,\,\,{a_3} = {a_1} + 2d;\,\,\,\,\,{a_n} = {a_1} + \left( {n - 1} \right) \cdot d\)
\(d = {a_{n + 1}} - {a_n}\)
a1 | Startwert |
d | konstante Differenz |
- d < 0: fallende Folge
- d = 0: konstante Folge
- d > 0: steigende Folge
Rekursive Formel
Ein Bildungsgesetz nennt man „rekursiv“ weil man zur Berechnung des (n+1) Folgeglieds an+1 das n-te Vorgängerglied an kennen muss.
\({a_{n + 1}} = {a_n} + d\)
Explizite Formel
Ein Bildungsgesetz nennt man explizit, wenn man das jeweilige Glied der Folge berechnen kann, ohne andere Glieder der Folge zu kennen.
\({a_n} = {a_1} + \left( {n - 1} \right) \cdot d\)
Jedes Glied ist daher das arithmetische Mittel seiner beiden Nachbarglieder
\({a_n} = \dfrac{{{a_{n - 1}} + {a_{n + 1}}}}{2};\,\,\,n \geqslant 2\)
Beispiel einer arithmetischen Zahlenfolge:
Das Bildungsgesetz für die ungeraden Zahlen lautet:
\(\eqalign{ & {a_n} = 1 + 2 \cdot \left( {n - 1} \right) \cr & \cr & {a_1} = 1 + 2 \cdot 0 = 1 \cr & {a_2} = 1 + 2 \cdot 1 = 3 \cr & {a_3} = 1 + 2 \cdot 2 = 5 \cr & \cr & \left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {1,3,,5,7,...} \right\rangle \cr} \)
Geometrische Zahlenfolge
Eine Zahlenfolge ai ist eine (durch Beistriche getrennte) Aufzählung von Zahlenwerten. Bei der geometrischen Zahlenfolge ist der Quotient q zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant.
\(\left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {{a_1},{a_1} \cdot q,{a_1} \cdot {q^2},{a_1} \cdot {q^3},...,{a_1} \cdot {q^{n - 1}},...} \right\rangle\)
Das Bildungsgesetz ist ein exponentieller Term in n, wobei:
\({a_1} = {a_1};\,\,\,\,\,{a_2} = {a_1} \cdot q;\,\,\,\,\,{a_3} = {a_1} \cdot {q^2};\,\,\,\,\,{a_n} = {a_1} \cdot {q^{n - 1}};\)
\(q = \dfrac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}\)
a1 | Startwert |
d | konstanter Quotient |
- q<0 : alternierende Folge
- 0<q<1 : fallende Folge
- q=1 : konstante Folge
- q>1 : steigende Folge
Rekursive Formel
Ein Bildungsgesetz nennt man „rekursiv“ weil man zur Berechnung des (n+1) Folgeglieds an+1 das n-te Vorgängerglied an kennen muss.
\({a_{n + 1}} = {a_n} \cdot q\)
Explizite Formel
Ein Bildungsgesetz nennt man explizit, wenn man das jeweilige Glied der Folge berechnen kann, ohne andere Glieder der Folge zu kennen.
\({a_n} = {a_1} \cdot {q^{n - 1}}\)
Der Betrag jedes Glieds ist daher das geometrische Mittel seiner beiden Nachbarglieder
\({a_1} = {a_1};\,\,\,\,\,{a_2} = {a_1} \cdot q;\,\,\,\,\,{a_3} = {a_1} \cdot {q^2};\,\,\,\,\,{a_n} = {a_1} \cdot {q^{n - 1}};\)
\({a_n} = \sqrt {{a_{n - 1}} \cdot {a_{n + 1}}} ;\,\,\,n \ge 2;\)
Beispiel:
Eulersche Zahl als Grenzwert einer geometrischen Folge
Die eulersche Zahl kann wie folgt als Grenzwert einer geometrischen Folge dargestellt werden
\(e = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)^n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {1 + \dfrac{1}{{1!}} + \dfrac{1}{{2!}} + ... + \dfrac{1}{{n!}}} \right) = 2,71828...\)
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.
Aufgaben
Aufgabe 4344
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Lauftraining - Aufgabe B_449
Anna, Beate und Clara bereiten sich auf einen Laufwettbewerb vor. Dabei verfolgen sie unterschiedliche Trainingspläne.
Teil a
Anna und Beate überlegen sich folgende Trainingspläne:
Tag 1 | Tag 2 | Tag 3 | Tag 4 | |
km/Tag | km/Tag | km/Tag |
km/Tag |
|
Anna | 1,5 | 1,65 | 1,815 | |
Beate | 1,5 | 2 | 2,5 |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Zeigen Sie, dass die Längen der Trainingsstrecken von Anna an den ersten 3 Tagen eine geometrische Folge bilden.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Stellen Sie für diese Folge ein rekursives Bildungsgesetz auf.
[1 Punkt]
Die Längen der Trainingsstrecken von Beate an den ersten 3 Tagen bilden eine arithmetische Folge.
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Stellen Sie für diese Folge ein rekursives Bildungsgesetz auf.
[1 Punkt]
4. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ergänzen Sie unter Verwendung der jeweiligen Bildungsgesetze die fehlenden Werte in der letzten Spalte der obigen Tabelle.
[1 Punkt]
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.
Aufgabe 4345
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Lauftraining - Aufgabe B_449
Anna, Beate und Clara bereiten sich auf einen Laufwettbewerb vor. Dabei verfolgen sie unterschiedliche Trainingspläne.
Teil b
Clara berechnet die Längen ihrer Trainingsstrecken folgendermaßen:
\({c_n} = 2,75 + 0,125 \cdot n\)
n |
Trainingstag |
cn |
Länge der Trainingsstrecke am n-ten Tag in km |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie, am wievielten Trainingstag Claras Trainingsstrecke eine Länge von 8 km hat.
[1 Punkt]
Aufgabe 4449
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ressourcen - Aufgabe B_512
Im Zeitraum von 1970 bis 2010 hat der jährliche globale Rohstoffverbrauch von 22 Milliarden Tonnen auf 70 Milliarden Tonnen zugenommen.* Im selben Zeitraum hat sich die Weltbevölkerung auf 7 Milliarden verdoppelt.
* Vgl. http://derstandard.at/2000041471018/Weltweiter-Rohstoffverbrauch-seit-1… [26.11.2020].
Teil a
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie auf Basis dieser Angaben den durchschnittlichen jährlichen Rohstoffverbrauch pro Person im Jahr 1970.
[0 / 1 P.]
Die zeitliche Entwicklung des globalen Rohstoffverbrauchs kann durch eine arithmetische Folge oder durch eine geometrische Folge modelliert werden.
Im Modell A wird das jährliche prozentuelle Wachstum bezogen auf das jeweilige Vorjahr als konstant angenommen.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie für das Modell A ein explizites Bildungsgesetz für den globalen Rohstoffverbrauch. Wählen Sie n = 1 für das Jahr 1970, d. h., n = 41 entspricht dem Jahr 2010.
[0 / 1 P.]
Im Modell B wird das jährliche absolute Wachstum als konstant angenommen.
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie für das Modell B ein rekursives Bildungsgesetz für den globalen Rohstoffverbrauch. Wählen Sie n = 1 für das Jahr 1970, d. h., n = 41 entspricht dem Jahr 2010.
[0 / 1 P.]
Für das Jahr 2050 wird ein jährlicher globaler Rohstoffbedarf von 180 Milliarden Tonnen angenommen.
4. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie den fehlenden Exponenten Exp
180 Milliarden Tonnen = 1,8 ∙ 10Exp kg
Exp=
[0 / 1 P.]
Aufgabe 4489
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kartenhaus - Aufgabe B_520
Aus Spielkarten kann man ein Kartenhaus bauen. In der nachstehenden Abbildung sind Kartenhäuser, die aus einer unterschiedlichen Anzahl von Stockwerken bestehen, in der Ansicht von vorne skizziert.
Teil a
Die nachstehende Tabelle gibt an, wie viele Karten für ein n-stöckiges Kartenhaus insgesamt benötigt werden und wie viele davon für das unterste Stockwerk benötigt werden.
Anzahl der Stockwerke | insgesamt benötigte Karten | Karten für das unterste Stockwerk |
1 | 2 | 2 |
2 | 7 | 5 |
3 | 15 | 8 |
4 | 26 | 11 |
5 |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Tragen Sie in der obigen Tabelle die beiden fehlenden Zahlen in die grau markierten Zellen ein.
[0 / 1 P.]
Die Anzahl der Karten für das unterste Stockwerk kann durch die arithmetische Folge zn beschrieben werden.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Erstellen Sie ein explizites Bildungsgesetz für die arithmetische Folge zn.
[0 / 1 P.]
Maria hat ein 24-stöckiges Kartenhaus errichtet und möchte es nun zu einem 25-stöckigen Kartenhaus erweitern.
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie die Anzahl der zusätzlichen Karten, die Maria dafür benötigt.
[0 / 1 P.]