Zahlenreihe
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Formeln
Zahlenreihen
Eine Reihe kann man sich als Summe mit unendlich vielen Summanden vorstellen. Diese Summanden ai sind dabei die Glieder einer zugehörigen Folge ⟨ai⟩
\(\sum\limits_{i = 1}^\infty {{a_i}} = {a_1} + {a_2} + ...{a_n} + {a_{n + 1}} + ...\)
Beispiel:
Bildungsvorschrift:
\(\eqalign{ & {a_n} = \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}} \cr & {\text{Reihe: }}s = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + ... + \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}} + ... = \sum\limits_{i = 1}^\infty {{a_i}} = \dfrac{1}{{1 - \dfrac{1}{2}}} = 2 \cr}\)
Partialsumme
Während bei einer Reihe unendlich viele Glieder aufsummiert werden, summiert man bei einer Partialsumme nur endlich viele Gieder (nämlich vom ersten bis zum n-ten Glied) auf.
\({s_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_n}} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + ...{a_n}\)
Arithmetische Zahlenreihe
Eine Zahlenfolge ai ist eine (durch Beistriche getrennte) Aufzählung von Zahlenwerten.
\(\left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {{a_1},\,\,{a_1} + d,\,\,{a_1} + 2d,\,\,{a_1} + 3d,\,\,\,\,\,...,\,\,\,\,\,\,{a_1} + (n - 1) \cdot d} \right\rangle \)
Die zugehörige arithmetische Zahlenreihe sn entsteht durch Summation der Zahlenwerte. Bei der arithmetischen Zahlenreihe ist die Differenz d zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant.
\({s_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i} = {a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} = n \cdot {a_1} + \dfrac{{\left( {n - 1} \right) \cdot n}}{2}d = n\dfrac{{\left( {{a_1} + {a_n}} \right)}}{2}\)
a1 | Startwert |
d | konstante Differenz |
sn | Anzahl * Durchschnittswert |
Das Bildungsgesetz ist ein linearer Term in n. Wobei:
\({a_1} = {a_1};\,\,\,\,\,{a_2} = {a_1} + 1d;\,\,\,\,\,{a_3} = {a_1} + 2d;\,\,\,\,\,{a_n} = {a_1} + (n-1)d\)
Geometrische Zahlenreihe
Eine Zahlenfolge ai ist eine (durch Beistriche getrennte) Aufzählung von Zahlenwerten.
\(\left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {{a_1},{a_1} \cdot q,{a_1} \cdot {q^2},{a_1} \cdot {q^3},...,{a_1} \cdot {q^{n - 1}},...} \right\rangle\)
Die zugehörige geometrische Zahlenreihe sn entsteht durch Summation der Zahlenwerte. Bei der geometrischen Zahlenreihe ist der Quotient q zweier aufeinander folgender Glieder konstant. Abhängig von der Größe von q bevorzugt man einer der zwei folgenden gleichwertigen Fomeln:
Für \(q < 1\): \({s_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i} = {a_1} + {a_2} + ... + {a_n} = {a_1} \cdot \dfrac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}}} \)
Für \(q > 1\): \({s_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i} = {a_1} + {a_2} + ... + {a_n} = {a_1} \cdot \dfrac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}} \)
Für \(\left| q \right| > 1\) konvergiert die geometrische Reihe. Ihr Grenzwert für \(n \to \infty \) ergibt sich zu:
\({s_n} = {a_1} \cdot {q^{n - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {s_n} = \frac{{{a_1}}}{{1 - q}}\)
Das Bildungsgesetz ist ein exponentieller Term in n, wobei
\({a_1} = {a_1};\,\,\,\,\,{a_2} = {a_1} \cdot q;\,\,\,\,\,{a_3} = {a_1} \cdot {q^2};\,\,\,\,\,{a_n} = {a_1} \cdot {q^{n - 1}};\)
Beispiel:
Eulersche Zahl als Reihe
Die Euler'sche Zahl kann wie folgt als Summe aller Glieder einer geometrischen Reihe dargestellt werden
\(e = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\dfrac{1}{{n!}}} = \dfrac{1}{{0!}} + \dfrac{1}{{1!}} + \dfrac{1}{{2!}} + ... + ... = 2,71828...\)
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