Aufgabe 4395
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
W-LAN - Aufgabe B_475
In einer Fabrikshalle wird mit Access-Points und Repeatern ein W-LAN eingerichtet. Ein Access-Point verbindet einen Laptop kabellos mit einem Netzwerk. Ein Repeater verstärkt das Signal. Die Datenübertragungsrate beschreibt die übertragene Datenmenge pro Zeiteinheit und wird meist in der Einheit Megabit pro Sekunde (Mbit/s) angegeben.
Teil c
Im Rahmen einer Testinstallation werden in der Fabrikshalle ein Access-Point, ein Repeater und 2 Laptops auf gleich hohe Tische gestellt (siehe nachstehende schematische Abbildung, Ansicht von oben).
Im Punkt A = (30 | 0) befindet sich der Access-Point. Die Laptops in den Punkten P1 = (20 | 2) und P2 = (45 | 20) sollen diesen Access-Point nutzen können.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Zeigen Sie mithilfe der Vektorrechnung, dass der Winkel α kleiner als 120° ist.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Zeichnen Sie in der obigen Abbildung denjenigen Punkt P3 ein, der folgendermaßen bestimmt werden kann:
\(\overrightarrow {O{P_3}} = \overrightarrow {O{P_2}} - \dfrac{1}{3} \cdot \overrightarrow {{P_1}{P_2}} \)
1 Punkt]
Ein Repeater soll im Punkt R = (xR | 30) in einem Abstand von 40 m vom Access-Point im Punkt A montiert werden (siehe obige Abbildung).
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie xR.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Die Formel für den Richtungsvektor lautet:
\(\overrightarrow r = \overrightarrow {PQ} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_x} - {P_x}}\\ {{Q_y} - {P_y}} \end{array}} \right)\)
Wir stellen die beiden Richtungsvektoren auf:
\(\begin{array}{l} A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {30}\\ 0 \end{array}} \right);\,\,\,\,{P_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {20}\\ 2 \end{array}} \right);\,\,\,\,\,{P_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {45}\\ {20} \end{array}} \right);\\ \\ \overrightarrow {A{P_1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {20 - 30}\\ {2 - 0} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 10}\\ 2 \end{array}} \right)\\ \overrightarrow {A{P_2}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {45 - 30}\\ {20 - 0} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {15}\\ {20} \end{array}} \right) \end{array}\)
Der Winkel zwischen zwei Vektoren errechnet sich mit Hilfe vom Skalarprodukt und der Beträge der beiden Vektoren.
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {A{P_1}} \circ \overrightarrow {A{P_2}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 10}\\ 2 \end{array}} \right) \circ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {15}\\ {20} \end{array}} \right) = \left( { - 10} \right) \cdot 15 + 2 \cdot 20 = - 150 + 40 = - 110\\ \left| {\overrightarrow {A{P_1}} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 10} \right)}^2} + {2^2}} = \sqrt {104} \\ \left| {\overrightarrow {A{P_2}} } \right| = \sqrt {{{15}^2} + {{20}^2}} = \sqrt {626} = 25\\ \\ \cos \left( \alpha \right) = \left( {\dfrac{{\overrightarrow {A{P_1}} \circ \overrightarrow {A{P_2}} }}{{\left| {\overrightarrow {A{P_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {A{P_2}} } \right|}}} \right)\\ \alpha = \arccos \left( {\dfrac{{ - 110}}{{\sqrt {104} *25}}} \right) = 115,6^\circ < 120^\circ \end{array}\)
→ Der Winkel ist kleiner als 120°
2. Teilaufgabe:
Um zum Punkt P3 zu kommen, müssen wir vom Ursprung zum Punkt P2 gehen, und von P2 aus ein Drittel der Strecke in Richtung P1 gehen. Dh wir müssen die Strecke \(\overrightarrow {{P_2}{P_1}} \) dritteln.
Dazu nimmt man entweder das Lineal zur Hilfe.
Oder man konstruiert die Drittelung geometrisch – in grün eingezeichnet - wie folgt:
- Zeichne vom Punkt P1 eine beliebige Gerade.
- Nimm eine beliebige Strecke in den Zirkel und schlage diese Strecke dreimal auf der Geraden ab. So entstehen 3 Schnittpunkte.
- Verbinde den 3. Schnittpunkt mit dem Punkt P2, so entsteht eine Gerade.
- Verschiebe diese Gerade parallel in den 2. Schnittpunkt.
- Dort wo diese Parallele die Strecke \(\overrightarrow {{P_2}{P_1}} \) schneidet befindet sich der Punkt P3.
3. Teilaufgabe:
Wir wissen, dass der Betrag der Strecke \(\left| {\overrightarrow {AR} } \right| = 40\) Meter beträgt. Somit ergibt sich folgende Bestimmungsgleichung für xR:
\(\begin{array}{l} A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {30}\\ 0 \end{array}} \right);\,\,\,\,R = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_R}}\\ {30} \end{array}} \right);\,\\ \\ \overrightarrow {AR} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_r} - 30}\\ {30 - 0} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_r} - 30}\\ {30} \end{array}} \right)\\ \left| {\overrightarrow {AR} } \right| = 40 = \sqrt {{{\left( {{x_r} - 30} \right)}^2} + {{30}^2}} \end{array}\)
Die Lösung bestimmen wir mit Hilfe von Technologie:
Wolfram Alpha: 40=Sqrt[(x-30)^(2)+30^(2)]
Für die quadratische Gleichung gibt es 2 Lösungen, wir verwenden die Lösung für die \({x_R} < {x_A}\) gilt:
\(\begin{array}{l} {x_{R1}} \approx 3,5425\\ \left( {{x_{R2}} \approx 56,458} \right) \end{array}\)
Nachfolgendes Video des BMBWF, welches in den Lösungsweg dieser Aufgabe eingebettet ist, um ein breites Spektrum an Informationen anzubieten, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Der Winkel ist kleiner als 120°
2. Teilaufgabe
3. Teilaufgabe
\({x_{R}} \approx 3,5425\)
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
1 × D: für das richtige Nachweisen mithilfe der Vektorrechnung
2. Teilaufgabe
1 × A: für das richtige Einzeichnen des Punktes P3
3. Teilaufgabe
1 × B: für das richtige Berechnen von xR