Aufgabe 4433
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Flughafen - Aufgabe B_506
Teil c
In der nachstehenden Abbildung ist modellhaft ein Koffer auf einem Gepäckförderband dargestellt. Der Koffer bewegt sich mit der Geschwindigkeit \(\overrightarrow v = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1,2} \\ {0,5} \end{array}} \right)\,\,\dfrac{m}{s}\) vom Punkt A zum Punkt B.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie \(\left| {\overrightarrow v } \right|{\text{ in }}\dfrac{m}{{\min }}\)
[0 / 1 P.]
Anschließend bewegt sich der Koffer mit der Geschwindigkeit \(\overrightarrow w = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1} \\ {{y_w}} \end{array}} \right)\dfrac{m}{s}\) vom Punkt B zum Punkt C. Die beiden Vektoren v und w stehen normal aufeinander.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie yw.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Der Betrag eines Vektors errechnet sich wie folgt:
\(\left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt {{v_x}^2 + {v_y}^2} \)
Somit:
\(\left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt {{{1,2}^2} + {{0,5}^2}} = 1,3{\rm{ }}\dfrac{m}{s} \buildrel \wedge \over = 1,3 \cdot 60{\rm{ }}\dfrac{m}{{\min }} = 78{\rm{ }}\dfrac{m}{{\min }}\)
→ Die Geschwindigkeit vom Koffer beträgt 78 m pro Minute.
2. Teilaufgabe:
1. Variante:
Den Normalvektor zu einem gegebenen Vektor erhält man gemäß der Links- bzw. Rechtskippregel, dh es werden die x bzw. y Komponenten des Vektors vertauscht und bei einer der beiden Komponente wird auch das Vorzeichen vertauscht.
\(\begin{array}{l} \overrightarrow v = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1,2}\\ {0,5} \end{array}} \right)\,\overrightarrow v = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1,2}\\ {0,5} \end{array}} \right)\,\,\dfrac{m}{s}\\ \overrightarrow {{v_ \bot }} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 0,5}\\ {1,2} \end{array}} \right) \end{array}\)
Dann ermitteln wir einen Skalierungsfaktor Lambda so, dass \(\overrightarrow w = \lambda \cdot \overrightarrow {{v_ \bot }} \)
\(\overrightarrow w = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ {{y_w}} \end{array}} \right)\dfrac{m}{s} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\lambda \cdot \left( { - 0,5} \right)}\\ {\lambda \cdot 1,2} \end{array}} \right) \to \lambda = 2 \to \overrightarrow w = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ {2,4} \end{array}} \right)\dfrac{m}{s}\)
→ yw = 2,4
2. Variante:
Man hätte alternativ auch mit dem Skalarprodukt und dem Orthogonalitätskriterium arbeiten können. 2 Vektoren stehen im rechten Winkel zueinander, wenn ihr Skalarprodukt Null ist.
\(\begin{array}{l} \overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a \circ \overrightarrow b = 0\\ {a_x} \cdot {b_x} + {a_y} \cdot {b_y} = 0 \end{array}\)
Wir setzen ein:
\(\begin{array}{l} 1,2 \cdot \left( { - 1} \right) + 0,5 \cdot {y_w} = 0\\ - 1,2 + 0,5 \cdot {y_w} = 0\,\,\,\,\,\left| { + 1,2} \right.\\ 0,5 \cdot {y_w} = 1,2\,\,\,\,\,\left| {:0,5} \right.\\ {y_w} = 2,4 \end{array}\)
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet
1. Teilaufgabe
Die Geschwindigkeit vom Koffer beträgt 78 m pro Minute.
2. Teilaufgabe
yw = 2,4
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Berechnen vom Betrag des Vektors v in m/min.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Ermitteln von yw.