Rechenregeln beim Potenzieren
Formel
Rechenregeln für Potenzen
Potenzrechnung geht vor Punktrechnung geht vor Strichrechnung
- \({0^0}...{\text{nicht definiert}}\)
- \({0^{ - n}}...{\text{nicht definiert}}\)
- \({0^n} = 0\)
- \({a^0} = 1\)
- \({a^1} = a\)
- \(n \in {{\Bbb N}_u}:\,\,\,{\left( { - a} \right)^n} = - {a^{n}}\)
- \(n \in {{\Bbb N}_g}:\,\,\,{\left( { - a} \right)^n} = {a^{n}}\)
- \({a^{ - n}} = \dfrac{1}{{{a^n}}}\)
Potenzen addieren bzw. subtrahieren, wenn die Basen und die Exponenten überein stimmen
Zwei Potenzen haben den selben Wert, wenn sie in Basis und Exponent übereinstimmen. Man kann in diesem Fall beim Addieren bzw. Subtrahieren die Potenz "herausheben".
\(\eqalign{ & x \cdot {a^b} + y \cdot {a^b} = (x + y) \cdot {a^b} \cr & x \cdot {a^b} - y \cdot {a^b} = (x - y) \cdot {a^b} \cr}\)
Potenzen multiplizieren bzw. dividieren, wenn die Basen übereinstimmen
Potenzen gleicher Basis werden multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert. Bei der Division werden die beiden Exponenten subtrahiert.
\(\eqalign{
& {a^r} \cdot {a^s} = {a^{r + s}} \cr
& {a^r}:{a^s} = \frac{{{a^r}}}{{{a^s}}} = {a^{r - s}} \cr} \)
Potenzen multiplizieren bzw. dividieren, wenn die Exponenten übereinstimmen
Potenzen mit unterschiedlicher Basis aber übereinstimmenden Exponenten werden multipliziert bzw. dividiert indem man das Produkt bzw. den Quotient der Basen bildet und den Exponenten unverändert übernimmt
\(\eqalign{ & {a^r} \cdot {b^r} = {(a \cdot b)^r} \cr & {a^r}:{b^r} = {\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^r} = {a^r} \cdot {b^{ - r}} \cr}\)
Potenzen potenzieren bzw. radizieren
Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert. Man zieht die Wurzel aus Potenzen, indem man den Exponenten der Potenz durch den Wurzelexponenten dividiert wobei die Basis unverändert bleibt.
\(\eqalign{ & {\left( {{a^r}} \right)^s} = {a^{r \cdot s}} = {\left( {{a^s}} \right)^r} \cr & \root s \of {{a^r}} = {a^{\dfrac{r}{s}}} \cr}\)
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.
rgb(244,123,130)
Bild
Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
| Potenzieren, Wurzelziehen und Logarithmieren | Potenzen, Wurzeln und Logarithmen ermöglichen es x zu berechnen wenn x unter einer Wurzel steht oder wenn x die Basis oder der Exponent einer Potenz ist. |
Aktuelle Lerneinheit
| Rechenregeln beim Potenzieren | Potenzrechnung geht vor Punktrechnung geht vor Strichrechnung |
Verbreitere dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit
| Rechenregeln für Logarithmen | Bild
 |
| Rechenregeln für Wurzelziehen | Wurzelrechnung geht vor Punktrechnung geht vor Strichrechnung |
| Logarithmen Grundbegriffe | Bild
 |
| Radizieren bzw. Wurzelziehen | Radizieren bzw. Wurzelziehen ermöglicht es, x zu errechnen, wenn x die Basis einer Potenz ist. |
| Potenzieren | Potenzieren ermöglicht es, x zu errechnen, wenn x unter einer Wurzel steht. |
| Potenzen von Binomen | Ein Binom ist ein Polynom mit genau 2 Gliedern. Es kann eine Summe oder eine Differenz sein. |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 38
Potenzen mit reellen Exponenten
Vereinfache:
\(w = {a^0}{\text{ für }}a \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
Aufgabe 40
Potenzen mit reellen Exponenten
Vereinfache:
\(w = {0^n}{\text{ für }}n \ne 0\)
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.
rgb(244,123,130)
Bild
Aufgabe 44
Potenzen mit reellen Exponenten
Vereinfache:
\(w = {( - 1)^{2n - 1}}\)
Aufgabe 45
Potenzen mit reellen Exponenten
Vereinfache:
\(w = {( - 1)^{2n + 1}}\)
Schon den nächsten Badeurlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Damit niemand mehr bei Mathe in's Schwimmen kommt!
Bild
Aufgabe 4250
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sicherheit auf dem Schulweg - Aufgabe A_293
Im Nahbereich von Schulen stellen die zu- und abfahrenden Fahrzeuge ein großes Problem dar.
Teil c
Der relative Anteil derjenigen Schüler/innen, die mit dem Auto zur Schule gebracht werden, kann für einen bestimmten Zeitabschnitt modellhaft durch die Funktion f beschrieben werden.
\(f\left( t \right) = 0,1 + 0,2 \cdot {b^t}\)
mit:
- t ... Zeit ab Beginn der Beobachtung
- f(t) ... relativer Anteil derjenigen Schüler/innen, die mit dem Auto zur Schule gebracht werden, zur Zeit t
- b ... Parameter (b > 0, b ≠ 1)
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Beschreiben Sie den Einfluss des Parameters b auf das Monotonieverhalten der Funktion f.
[1 Punkt]
Folgende Berechnung wurde durchgeführt:
\(f\left( 0 \right) = 0,1 + 0,2 \cdot {b^0} = 0,1 + 0 = 0,1\)
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Beschreiben Sie, welcher Fehler bei dieser Berechnung gemacht wurde.
[1 Punkt]
Aufgabe 4479
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Holzfeuchte und Holztrocknung - Aufgabe A_307
Teil b
Holzbretter der gleichen Holzsorte mit verschiedenen Dicken trocknen unterschiedlich schnell. Dieser Zusammenhang kann näherungsweise durch die nachstehende Formel beschrieben werden.
\(\dfrac{T}{t} = {\left( {\dfrac{D}{d}} \right)^{1,5}}\)
| Dicke | Trockenzeit | |
| Holzbrett 1 | d | t |
| Holzbrett 2 | D | T |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Kreuzen Sie denjenigen Ausdruck an, der nicht dem obigen Zusammenhang entspricht.
[1 aus 5]
- Ausdruck 1: \(\dfrac{T}{t} = {\left( {\dfrac{D}{d}} \right)^{\dfrac{3}{2}}}\)
- Ausdruck 2: \(\dfrac{T}{t} = {\left( {\dfrac{d}{D}} \right)^{ - 1,5}}\)
- Ausdruck 3: \(\dfrac{T}{t} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{D}{d}} \right)}^3}} \)
- Ausdruck 4: \(\dfrac{t}{T} = {\left( {\dfrac{d}{D}} \right)^{ - \dfrac{3}{2}}}\)
- Ausdruck 5: \(\dfrac{t}{T} = {\left( {\dfrac{d}{D}} \right)^{1,5}}\)
Aufgabe 48
Potenzen mit übereinstimmenden Basen und Exponenten
Vereinfache:
\(w = \left( {{a^2} - 2a} \right) \cdot 4 - ({a^2} - 8a)\)
Aufgabe 49
Potenzen mit übereinstimmenden Basen
Vereinfache:
\(w = \left( { - \dfrac{2}{3}} \right) \cdot {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^3}\)
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.
Bild
