Wachstums- und Zerfallsprozesse
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Formeln
Exponentialfunktion
Exponentialfunktionen sind Funktionen mit einer festen Basis a (die positiv und ungleich 1 ist) und einem variablen Exponenten x. Da die Variable x im Exponenten steht, heißt die Funktion Exponentialfunktion. c ist der Streckungsfaktor und zugleich der Anfangswert. Die Basis a ist ein Maß für die relative Zu- oder Abnahme. Bei einer Exponentialfunktion steigt der Funktionswert innerhalb von gleichbleibenden Zeitintervallen um den gleichen Prozentwert.
Allgemeine Form einer Exponentialfunktion
\(f\left( x \right) = c \cdot {a^{\lambda \cdot x}}{\text{ mit c}}{\text{,}}\lambda \in {\Bbb R}{\text{, a}} \in {{\Bbb R}^ + }\)
Einfachste Form einer Exponentialfunktion
\(f\left( x \right) = {a^x}\) mit \(a \in {{\Bbb R}^ + }\)
\(f'\left( x \right) = {a^x} \cdot \ln a\)
wobei: \(\eqalign{ & f\left( {x + 1} \right) = a \cdot f\left( x \right) \cr & a = \dfrac{{f\left( {x + 1} \right)}}{{f\left( x \right)}} \cr}\)
- a ist die Basis, die Variable x ist der Exponent
- alle Funktionswerte sind positiv: f(x)>0
- Graph - die Exponentialkurve - verläuft durch \(P(0\left| 1 \right.){\text{ und }}Q(1\left| a \right.)\)
- Die x-Achse bildet die Asymptote der Exponentialfunktion
- Die Exponentialfunktion hat keine Nullstellen und kein Symmetrieverhalten.
- für die Basis a, die ein Maß für die relative Zu-/Abnahme ist, gilt:
- 1-a entspricht der relativen Zu- bzw. Abnahme pro Zeitintervall
- z.B.: a=0,9917 → 1-0,9917=0,0083→ Abnahme um 0,83%
- z.B.: Einer Abnahme um 8% pro Zeitintervall entspricht eine Abnahme auf 92%. Daher muss a=0,92 sein
- a<0: Die Exponentialfunktion ist für negative a nicht definiert, so ist \(f\left( x \right) = {\left( { - 1,3} \right)^x}\) keine Exponentialfunktion
- 0<a<1: Exponentielle Abnahme: Der Graph verläuft streng monoton fallend, man spricht von einer Abnahmefunktion
- a=1: Sonderfall: Wegen \(f\left( x \right) = {1^x} = 1\) wird die Funktion zu einer konstanten Funktion
- a>1: Exponentielle Zunahme: Der Graph verläuft streng monoton steigend. So bedeutet a=1,35 eine relative Zunahme um 35%. Man spricht von einer Wachstumsfunktion
- a=e: natürliche Exponentialfunktion, hat die Eulersche Zahl e als Basis und x als Exponent
- sign x: Ein negativer Exponent, also \(f\left( x \right) = {a^{ - x}}\)kehrt das oben genannte Monotonieverhalten gegenüber \(f\left( x \right) = {a^x}\) um
- 1-a entspricht der relativen Zu- bzw. Abnahme pro Zeitintervall
- \(f\left( x \right) = {a^x}{\text{ und g}}\left( x \right) = {\left( {\dfrac{1}{a}} \right)^x}\) sind achsensymmetrisch zur y-Achse
- Exponentialfunktionen sind bijektive Funktionen, d.h. sie besitzen eine Umkehrfunktion. Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion: \(f\left( x \right) = {a^x} \leftrightarrow {f^{ - 1}}\left( x \right) = {}^a\operatorname{logx} = lo{g_a}x\)
- Die häufigste Exponentialfunktion ist jene, bei der die Basis a gleich der Eulerschen Zahl e (=2,7182) ist, die sogenannte Natürliche Exponentialfunktion. Deren Umkehrfunktion ist die ln-Funktion.
- Man kann Exponentialfunktionen (mit der Basis a) mittels \(f\left( x \right) = {a^x} = {e^{bx}}{\text{ mit b = }}\ln \left( a \right)\) in natürliche Exponentialfunktionen (mit der Basis e) umrechnen
- Die Funktionalgleichung besagt: \(f\left( x \right) \cdot f\left( y \right) = f\left( {x + y} \right)\)
Exponentialfunktion mit Anfangswert c
\(f\left( x \right) = c \cdot {a^x}\) mit \(c \in {\Bbb R}{\text{ und }}a \in {{\Bbb R}^ + }\)
\(f'\left( x \right) = c \cdot {a^x} \cdot \ln a\)
- c ist der Streckungsfaktor und zugleich der Anfangswert, weil \(f\left( {x = 0} \right) = c \cdot {a^0} = c\)
- der Wert von c verändert die Steilheit vom Graph der Funktion
- 0<c<1: gestaucht gegenüber \(f\left( x \right) = {a^x}\)
- c=1: identisch zu \(f\left( x \right) = {a^x}\)
- c>1: gestreckt gegenüber \(f\left( x \right) = {a^x}\)
- sign c: ein negatives Vorzeichen von c kehrt das Monotonieverhalten gegenüber dem Verhalten von \(f\left( x \right) = {a^x}\) um
- für die Basis a, die ein Maß für die relative Zu-/Abnahme ist, gilt:
- 1-a entspricht der relativen Zu- bzw. Abnahme pro Zeitintervall
- z.B.: a=0,9917 → 1-0,9917=0,0083→ Abnahme um 0,83%
- z.B.: Einer Abnahme um 8% pro Zeitintervall entspricht eine Abnahme auf 92%. Daher muss a=0,92 sein
- \(0 < a < 1\) und \(c > 0\): Exponentialfunktion bleibt monoton fallend
- \(0 < a < 1\) und \(c < 0\): Exponentialfunktion wird monoton steigend
- \(a > 1\) und \(c > 1\): Exponentialfunktion bliebt monoton steigend
- \(a > 1\) und \(c < 1\): Exponentialfunktion wird monoton fallend
- 1-a entspricht der relativen Zu- bzw. Abnahme pro Zeitintervall
- für dem Exponenten x gilt
- sign x: Ein negativer Exponent, also \(f\left( x \right) = c \cdot {a^{ - x}}\)kehrt das oben genannte Monotonieverhalten gegenüber \(f\left( x \right) = c \cdot {a^x}\) um
- \(\left| x \right|\): Je größer der Wert von x umso schneller steigt die Funktion an
- c entspricht dem Funktionswert an der Stelle x=0: f(x=0)=c
- Graph verläuft durch \(P(0\left| {c)} \right.\)
Wachstums- und Zerfallsprozesse
übliche Schreibweise:
f(x) → N(t)
c→N0
a→e
Wenn man die Halbwertszeit kennt, kann man das Lambda wie folgt berechnen:
\({T_{0,5}} = \dfrac{{\ln \left( {0,5} \right)}}{\lambda } \to \lambda = \dfrac{{\ln \left( {0,5} \right)}}{T}\)
- Exponentielles Wachstum: l ... Wachstumskonstante
\(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {e^{\lambda t}}\)
- Exponentieller Zerfall: -l Zerfallskonstante
\(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {e^{ - \lambda t}}\)
Exponentialfunktion - Illustration zeigt das Monotonieverhalten abhängig von der Basis a, bei fixem c=1
Exponentialfunktion - Interaktive Illustration
Die interaktive Illustration zeigt das Monotonieverhalten abhängig von der Basis a und dem Anfangswert c auf der Website von Geogebra.org:
Illustration auf GeoGebra.org anzeigen
- Regler a: Verändere die Basis
- Regler c: Verändere den Faktor
Wenn Du obigem Link folgst, verlässt Du unsere Website. Die Website des Fremdanbieters wird sich in einem neuen Fenster öffnen.
Relative und die absolute Änderung der Exponentialfunktion mit Anfangswert
Nachfolgend betrachten wir die relative und die absolute Änderung der Exponentialfunktion mit Anfangswert:
\(\eqalign{ & N\left( t \right) = {N_0} \cdot {a^t} \cr & N(t + 1) = {N_0} \cdot {a^{t + 1}} = {N_0} \cdot {a^t} \cdot a = a \cdot N(t) \cr} \)
Für die relative Änderung ergibt sich folgender Zusammenhang, der unabhängig von der Zeit t ist und daher in gleichen Zeitintervallen gleich groß ist:
\(\dfrac{{\Delta {y_n}}}{{{y_n}}} = \dfrac{{{y_{n + 1}} - {y_n}}}{{{y_n}}} = \dfrac{{a \cdot N\left( t \right) - N\left( t \right)}}{{N\left( t \right)}} = \dfrac{{N\left( t \right) \cdot \left( {a - 1} \right)}}{{N\left( t \right)}} = a - 1\)
Für die absolute Änderung ergibt sich folgender Zusammenhang, der abhängig von der Zeit ist, und daher in gleichen Zeitintervallen unterschiedlich groß ist:
\(\Delta y = {y_{n + 1}} - {y_n} = a \cdot N\left( t \right) - N\left( t \right) = N\left( t \right) \cdot \left( {a - 1} \right)\)
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Aufgaben
Aufgabe 1006
AHS - 1_006 & Lehrstoff: AN 1.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wirkstoffe im Körper
Ein Patient, der an Bluthochdruck leidet, muss auf ärztliche Empfehlung ab sofort täglich am Morgen eine Tablette mit Wirkstoffgehalt 100 mg zur Therapie einnehmen. Der Körper scheidet im Laufe eines Tages 80 % des Wirkstoffs wieder aus.
Die Wirkstoffmenge Wn im Körper des Patienten nach n Tagen kann daher (rekursiv) aus der Menge des Vortags Wn–1 nach folgender Beziehung bestimmt werden: \({W_n} = 0,2 \cdot {W_{n - 1}} + 100;\,\,\,\,\,{W_0} = 100\,\,\,\left( {{{\text{W}}_{\text{i}}}{\text{ in mg}}} \right)\). In welcher Weise wird sich die Wirkstoffmenge im Körper des Patienten langfristig entwickeln?
Aufgabenstellung:
Die beiden Textfelder sind so zu ergänzen, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht. Kreuzen Sie dazu in der ersten und der zweiten Spalte jeweils die passende Aussage an!
Die Wirkstoffmenge im Körper des Patienten wird langfristig _____1______ , weil ______2_______ .
1 | |
unbeschränkt wachsen | A |
beschränkt wachsen | B |
wieder sinken | C |
I | der Körper des Patienten mit steigendem Wirkstoffgehalt im Körper absolut immer mehr abbaut und damit der Abbau letztlich die Zufuhr übersteigt |
II | dem Körper täglich zusätzlicher Wirkstoff zugeführt wird, der nur zu 80 % abgebaut werden kann, und somit die Zufuhr im Vergleich zum Abbau überwiegt |
III | der Körper des Patienten mit steigendem Wirkstoffgehalt im Körper absolut immer mehr davon abbaut, auch wenn der Prozentsatz gleich bleibt |
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