Koordinaten
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Formeln
Koordinatensysteme
Koordinatensysteme, auch Bezugssysteme genannt, dienen dazu, die gegenseitige Beziehung von Punkten zueinander und zum Ursprung des Koordinatensystems in zweckmäßig vielen Dimensionen anzugeben. Jeder Dimension entspricht eine Koordinatenachse. Rechnerisch einfach sind orthogonale Koordinatensysteme, bei denen die Koordinatenachsen im rechten Winkel zu einander stehen und sich im Ursprung des Koordinatensystems schneiden.
Koordinaten
Koordinaten sind Zahlenwerte in Bezug auf die Koordinatenachsen, die entweder einem Abstand vom Ursprung oder einem Winkel zwischen Richtungsvektor und einer Koordinatenachse entsprechen.
Transformation
Unter einer Transformation versteht man die Umrechnung von einem Bezugssystem in ein anderes Bezugssystem.
- Beispiele aus der Physik: Galilei-Transformation, Lorenz-Transformation
- Beispiele aus der Mathematik: Kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten, z-Transformation der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Zweidimensionale Koordinatensysteme
Zweidimensionale Koordinatensysteme repräsentieren zwei Dimensionen, die durch 2 Abstände oder 1 Abstand und 1 Winkel quantifiziert werden
- Kartesische Koordinaten: 2 Abstände
- Polarkoordinaten: 1 Abstand + 1 Winkel
Dreidimensionale Koordinatensysteme
Dreidimensionale Koordinatensysteme repräsentieren drei Dimensionen, die durch 3 Abstände oder 2 Abstände und 1 Winkel oder 1 Abstand und 2 Winkel quantifiziert werden
- Kartesische Koordinaten: 3 Abstände
- Zylinderkoordinaten: 2 Abstände + 1 Winkel
- Kugelkoordinaten: 1 Abstand + 2 Winkel
Mehrdimensionale Koordinatensysteme
In der Physik ist es zweckmäßig Hyperräume wie die Raum-Zeit (4 Dimensionen) einzuführen. In der allgemeinen Relativitätstheorie kommen auch 10-dimensionale Koordinatensysteme zum Einsatz und in der fraktalen Geometrie gibt es auch nicht-ganzzahlige Dimensionen.
Ganzzahlige Dimension
Der Begriff Dimension geht auf die euklidische Geometrie zurück und bedeutet soviel wie „Anzahl der Ausdehnungen“. Eine Dimension ist die Ausdehnung in eine eigene "Richtung / Qualität", die nicht bereits durch eine andere Dimension dargestellt werden kann. Regelmäßige Gebilde, mit „glatten“ Randlinien, wie Quadrate, Kreise, Quader oder Kugeln haben ganzzahlige Dimensionen.
- D=0: Punkt
- D=1: Länge, Begrenzungslinie einer Fläche
- D=2: Flächeninhalt
- D=3: Rauminhalt, Volumen
- D=4: Hyperräume, etwa die Raum-Zeit
- D=10: allgemeine Relativitätstheorie
- D=4+6: Stringtheorie mit vierdimensionaler Raumzeit und 6 eng aufgerollten Extradimensionen
Nicht ganzzahlige Dimension
Da die euklidische Geometrie unregelmäßige Formen wie Küstenlinien nicht abbilden kann, begann Mandelbrot über den Begriff der Dimension nachzuforschen. Er führte neben den ganzzahligen Dimensionen auch gebrochenzahlige, sogenannte fraktale Dimensionen ein. Die Küste ist nämlich ein Mittelding zwischen Linie und Fläche und hat eine nicht ganzzahlige Dimension. Die fraktale Dimension D lässt sich in Abhängigkeit von der Teileanzahl a und einem Skalierungsfaktor s berechnen.
\(D = - \dfrac{{\ln \left( {a\left( s \right)} \right)}}{{\ln \left( s \right)}}\)
Die Länge der Küstenlinie einer Insel hängt von der Größe des Maßstabs der Karte ab: Obwohl die Fläche einer Insel endlich groß ist, nähert sich die Länge der Küstenlinie bei beliebiger Verkleinerung des Maßstabs der Karte dem Wert Unendlich. An keinem Punkt der Küste ist Differenzierbarkeit gewährleistet.
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