Umrechnung Kugelkoordinaten auf kartesische Koordinaten
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Formeln
Kugelkoordinaten
Die Position eines Punktes im 3 dimensionalen Raum wird durch 3 Werte, dem Abstand r vom Ursprung, dem Winkel φ in der xy-Ebene und dem Winkel ϑ in der rz-Ebene dargestellt.
\(P\left( {r,\varphi ,\vartheta } \right)\)
Es gelten dabei folgende Konventionen:
- r ist der Ortsvektor , also der Vektor vom Koordinatenursprung bis zum Punkt P
- \(\varphi\) ist der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Ortsvektor r wobei \(0 \le \varphi \le 360^\circ \buildrel \wedge \over = 2 \cdot \pi \)
- \(\vartheta\) ist der Winkel zwischen der positiven z-Achse und dem Ortsvektor r wobei \(0 \le \vartheta \le 180^\circ \buildrel \wedge \over = \pi \)
Einordung der Bestimmungsgrößen in den drei gängigen dreidimensionalen Koordinatensystemen
- Kartesische Koordinaten: 3 Abstände
- Kugelkoordinaten: 1 Abstand + 2 Winkel
- Zylinderkoordinaten: 2 Abstände + 1 Winkel
Breitenkreise in Kugelkoordinaten
Breitenkreise verlaufen parallel zum Äquator, bei der Erde spricht man von nördlicher Breite oder südlicher Breite, es gibt 90+90=180 Breitenkreise. Dabei entsprechen 0° nördlicher und südlicher Breite dem Äquator. Bei der Schreibweise mit Kugelkoordinaten gilt r=konstant, ϑ=konstant,
Längenkreise in Kugelkoordinaten
Längenkreise, auch Meridiane genannt, verlaufen durch N und S-Pol, bei der Erde spricht man von westlicher Länge oder östlicher Länge, es gibt 90+90=180 Längenkreise. Bei der Schreibweise mit Kugelkoordinaten gilt r= konstant, φ = konstant,
Umrechnung von Kugel- auf kartesische Koordinaten
Die Umrechnung von Kugel- auf kartesische Koordinaten erfordert die Länge vom Ortsvektor und den Sinus bzw. Kosinus vom jeweiligen Winkel zwischen dem Ortsvektor und der x- bzw. z- Achse
\(\begin{array}{l}
x = r \cdot \sin \vartheta \cdot \cos \varphi \\
y = r \cdot \sin \vartheta \cdot \sin \varphi \\
z = r \cdot \cos \vartheta
\end{array}\)
Umrechnung von kartesischen Koordinaten auf Kugelkoordinaten
Die Umrechnung von kartesischen Koordinaten auf Kugelkoordinaten erfordert die x, y und z-Koordinaten vom Punkt und erfolgt unter Verwendung von ArkusKosinus bzw. ArkusTangens und dem Satz des Pythagoras
\(\begin{array}{l} r = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \\ \varphi = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\arccos \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}{\rm{ \text{ für y}}} \ge {\rm{0}}}\\ {2 \cdot \pi - \arccos \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}{\rm{ \text{ für y} < 0}}} \end{array}} \right.\\ \vartheta = {\mathop{\rm arctan}\nolimits} \dfrac{z}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} \end{array}\)
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