Aufgaben zum Inhaltsbereich AG 2.3: Quadratische Gleichungen in einer Variablen umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung Inhaltsbereich AG 2.3
(Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme
AG 2.3: Quadratische Gleichungen in einer Variablen umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können
Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021
In dieser Übungseinheit lernst du bisherige österreichische AHS Typ I Maturabeispiele zum Themenbereich „Quadratische Gleichungen“ kennen. Folgendes musste man für die bisherigen Beispiele wissen:
- Bei einer quadratischen Gleichung in Normalform ist der Koeffizient a vor dem quadratischen Glied eine "1". Darüber hinaus gibt es noch ein lineares und ein konstantes Glied.
- Bevor man die „abc“ bzw. die „pq“ Formel anwenden kann, muss man gegebenen Falls durch Umformung dafür sorgen, dass rechts vom Gleichheitszeichen eine „0“ steht.
- Für die rechnerische Lösung einer allgemeinen quadratischen Gleichung mittels „abc Formel“, die auch „große Lösungsformel“ oder „Mitternachtsformel“ genannt wird, gilt:
\(\eqalign{ & a{x^2} + bx + c = 0 \cr & {x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \cr & D = {b^2} - 4ac \cr} \) - Für die rechnerische Lösung einer quadratischen Gleichung in Normalform mittels „pq Formel“, die auch „kleine Lösungsformel“ genannt wird, gilt:
\(\eqalign{ & {x^2} + px + q = 0 \cr & {x_{1,2}} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {{{\left( {\frac{p}{2}} \right)}^2} - q} \cr & D = {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2} - q \cr} \) - Quadratische Gleichungen haben, abhängig von der Diskriminante "D" 3 mögliche Lösungsfälle:
- D > 0 → 2 Lösungen in \({\Bbb R}\)
- D = 0 → 1 (eigentlich 2 gleiche) Lösung in \({\Bbb R}\) mit \({x_1} = {x_2} = \dfrac{{ - b}}{{2a}}{\text{ bzw}}{\text{. }}{{\text{x}}_1} = {x_2} = - \dfrac{p}{2}\)
- D < 0 → keine Lösung in \({\Bbb R}\) , aber 2 konjugiert komplexe Lösungen in \({\Bbb C}\)
- Der Wurzelsatz von Vieta stellt den Zusammenhang zwischen den Variablen p und q auf der einen Seite und den Nullstellen z1 und z2 auf der anderen Seite dar. D.h. er bietet sich immer dann an, wenn die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung bekannt sind und man die Koeffizienten p und q bestimmen soll.
\(\eqalign{ & p = - \left( {{z_1} + {z_2}} \right) \cr & q = {z_1} \cdot {z_2} \cr} \) -
Faktorisierte Darstellung einer (quadratischen) Gleichung
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Bei der faktorisierten Darstellung einer Gleichung wird die Gleichung als Produkt dargestellt. Dabei sind die Nullstellen x1, x2 der zugrunde liegenden Funktion an geklammerten Termen sofort ablesbar. Der Satz vom Nullprodukt besagt nämlich, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.
\(f\left( x \right) = a \cdot \left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right) \to L\left\{ {{x_1},{x_2}} \right\}{\text{ mit }}a \ne 0\) - Im Sonderfall einer doppelten Nullstelle sieht die Darstellung der Funktion wie folgt aus:
\(f\left( x \right) = a \cdot {\left( {x - {x_1}} \right)^2} \to L\left\{ {{x_1}} \right\}{\text{ mit }}a \ne 0\) - Von der faktorisierten Darstellung gelangt man durch ausmultiplizieren zur allgemeinen Form.
- Von der allgemeinen Form gelangt man zur faktorisierten Form, indem man die Nullstellen der Gleichung ausrechnet und mit deren Hilfe dann die faktorisierte Form anschreibt.
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Enthaltene Beispiele findest du, indem du die Aufgabennummer in den Suchslot eingibst
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Aufgabe 1347 |
AHS Matura vom 09. Mai 2014 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
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Aufgabe 1371 |
AHS Matura vom 17. September 2014 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
3 |
Aufgabe 1395 |
AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
4 |
Aufgabe 1468 |
AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
5 |
Aufgabe 1490 |
AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe |
6 |
Aufgabe 1540 |
AHS Matura vom 12. Jänner 2017 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
7 |
Aufgabe 1567 |
AHS Matura vom 28. September 2017 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
8 |
Aufgabe 1592 |
AHS Matura vom 16. Jänner 2018 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
9 |
Aufgabe 1616 |
AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
10 |
Aufgabe 1639 |
AHS Matura vom 20. September 2018 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
11 |
Aufgabe 1687 |
AHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
12 |
Aufgabe 1737 |
AHS Matura vom 14. Jänner 2020 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe |
13 |
Aufgabe 1809 |
AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe |
14 |
Aufgabe 1855 |
AHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
15 |
Aufgabe 1880 |
AHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
16 |
Aufgabe 11180 |
AHS Matura vom 03. Mai 2022 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |